1、高等數學知識在實際生活中的應用一、數學建模的應用數學建模的一般方法是理論分析的方法,即根據客觀事物本身的性質,分析因果關系,在適當的假設下用數學工具去描述其數量特征.(一)數學建模的一般方法和步驟(1)了解問題,明確目的.在建模前要對實際問題的背景有深刻的了解,進行全面的、深入細致的觀察.明確所要解決問題的目的和要求,并按要求收集必要的數據.(2)對問題進行簡化和假設.一般地,一個問題是復雜的,涉及的方面較多,不可能考慮到所有的因素,這就要求我們在明確目的、掌握資料的根底上抓住主要矛盾,舍去一些次要因素,對問題進行適當的簡化,提出幾條合理的假設.不同的簡化和假設,有可能得出不同的模型和結果.(

2、3)建立模型.在所作簡化和假設的根底上,選擇適當的數學理論和方法建立數學模型.在保證精度的前提下應盡量用簡單的數學方法,以便推廣使用.(4)對模型進行分析、檢驗和修改.建立模型后,要對模型進行分析,即用解方程、推理、圖解、計算機模擬、定理證實、穩定性討論等數學的運算和證實得到數量結果,將此結果與實際問題進行比擬,以驗證模型的合理性.一般地,一個模型要經過反復地修改才能成功.(5)模型的應用.用已建立的模型分析、解釋已有的現象,并預測未來的開展趨勢,以便給人們的決策提供參考.歸納起來,數學建模的主要步驟可以用下面的框圖來說明：問題*假設*建模*分析應用檢驗、修改圖1二數學建模的范例例教室的墻壁上

3、掛著一塊黑板,學生距離墻壁多遠,能夠看得最清楚這個問題學生在實際中經常遇到,憑我們的實際經驗,看黑板上、下邊緣的視角越大,看得就會越清楚,當我們坐得離黑板越遠,看黑板上、下邊緣的視角就會越小,自然就看不清楚了,那么是不是坐得越近越好呢先建立一個非常簡單的模型：模型1:先對問題進行如下假設：1 .假設這是一個普通的教室不是階梯教室,黑板的上、下邊緣在學生水平視線的上方a米和b處.2 .看黑板的清楚程度只與視角的大小有關.設學生D距黑板x米,視黑板上、下邊緣的的仰角分別為£,P由假設知：所以,當且僅當x=Jab日寸,tana-P最大,從而視角a-P最大.從結果我們可以看出,最正確的座位既

4、不在最前面,也不在最后面.坐得太遠或太近,都會影響我們的視覺,這符合我們的實際情況下面我們在原有模型的根底上,將問題復雜一些.模型2:設教室是一間階梯教室,如圖2.3-2所示.為了簡化計算我們將階梯面看成一個斜面,與水平面成¥角,以黑板所在直線為y軸,以水平線為x軸,建立坐標系(見圖2.3-2).那么直線OE的方程(除原點)為：假設學生D距黑板的水平距離為x,那么D在坐標系中的坐標為(x,xtan¥),那么：tana=,tanP=bxx所以tan(u-a=空4二嗎1tan二tan:設f(x)=x+ab-(atan.btan：')x+tan2*2,要使tan©

5、;,)最大,只要f(x)最小x就可以了.對f(x)求導得：當x>|_ab時,f'(x)>0,那么f(x)隨x的增大而增大；當0<x<口b時,1tan2,1tan2f'(x)>0,那么f(x)隨x的增大而減小,由由于f(x)是連續的,所以當x=ab21tan2時,f(x)取最小值,也就是x=Jab2寸,學生的視角最大.,1tan通過這兩個模型,我們便可以解釋為什么學生總愿意坐在中間幾排.模型1和模型2所應用的根本知識都是相同的,只是由于假設的教室的環境不同,建立的模型有些細微差異,所以結果不同,但這兩個結果都是根本符合實際的.在解題過程中,我們只考慮

6、了一個因素,那就是視角,其實我們還可以考慮更多的因素,比方：前面學生對后面學生的遮擋,學生看黑板的舒適度(視線與水平面成多少度角最舒服),等.我們考慮的因素越多,所的結果就會越合理.但有時如果考慮的因素過多、過細的話,解題過程就會相當繁瑣,有時甚至得不到結果.所以“簡化假設時就需要我們冷靜的分析,在眾多的因素中抓住主要矛盾,作出最正確的選擇.因此在建立模型時既要符合實際,又要力求計算簡便.二、矩陣在實際生活中的應用(一)有關矩陣的乘法矩陣a=iab與a=嘀乘_cd.yAa=abx=axby|_cdycxdyac,一x_Fb1,ux_-a,uX+b,uy_|ax+Kby"y_'

7、cd九yc九x+d九y1cx十八dy(二)矩陣應用的范例一人口流動問題例假設某個中小城市及郊區鄉鎮共有40萬人從事農、工、商工作,假定這個總人數在假設干年內保持不變,而社會調查說明：(1)在這40萬就業人員中,目前約有25萬人從事農業,10萬人從事工業,5萬人經商；(2)在務農人員中,每年約有10峨為務工,10峨為經商；(3)在務工人員中,每年約有10峨為務農,20峨為經商；(4)在經商人員中,每年約有10峨為務農,20峨為務工.現欲預測一、二年后從事各業人員的人數,以及經過多年之后,從事各業人員總數之開展趨勢.解：假設用三維向量(xi,yi,Zi)T表示第i年后從事這三種職業的人員總數,貝U(x°,y°,Z°)T=(25,10,5)t.而欲求(x1,y,z1)t,(x2,y2,Z2)T并考察在n8時(xn,yn,Zn)T的開展趨勢.依題意,一年后,從事農、工、商的人員總數應為即X1=0.8、0.1y00.1Z0TYi=0T1x00.7y00.2Z0以(X0*3",1%15)0.1QA即0%即一年業人員的人數分別為21.5萬10.5萬、8萬人任/019.05即兩年后從事各地人員A勺點數給速U為.19.051萬1|11.1萬、9.85萬人.進而IV|InQC推得.lZ2lZ1