1、第三章練習題1 一根長直導線載有 5.0A直流電流，旁邊有一個與它共面的矩形線圈ABCD,l=20cm,a=10cm,b=20cm;線圈共有 N=1000匝，以v=3.0m/s的速度離開直導線，如下圖。試求線 圈中的感應電動勢的大小與方向。由于為穩恒電流,所以它在空間各點產生的磁場為穩恒磁場.當矩形線圈運動 時不同時刻通過線圈的磁通量發生變化,故有感應電動勢產生取坐標系如圖(a) 所示.設矩形線圈以速度從圖示的位置幵始運動經時間荷線圈的位置如圖所示, 取面積元羽=徐，距長直導線的距離為兀按無限長直載流導線的磁感應強度公式可勉 該面元處啲大小為2托h通過該面積元的磁通量為2處于是通過線圈的磁通量

2、為 ®屮護廠座加空廠竺J盤如2城弄Jfl+n x2k a +vi由法拉第電磁感應定律可知，H匝線圈內的感應電動勢為十國肉UN a +v£ (a +v£)v- (B +vfjvE = _N =-:7di 2 b + vt(a +vi)J 氣&N (a + vi)v - (b + vi)v2 菇(b +vt)(a + v/)令"0,并代入數據，那么得線圈剛離開直導線時的 感應電動勢di |f_0 2rz a b2nab_4irxl0-7xl03xQ.2x5.0x3.0x(0 2-0 1) 2xQ,1x0.2= 3.0xW3(V)按楞次定律可知我方向為

3、圖(b)中的順時針方向。2如下圖，無限長直導線中的電流為I,在它附近有一邊長為2a的正方形線圈，可繞其中心軸- 以勻角速度旋轉，轉軸一一與長直導線的距離為b。試求線圈中的感應電動勢。由于線圈ABCD在磁場中旋轉，穿過其上的磁通量發生變化，那么由法拉第 電磁感應定律可知，將在線圈中產生感應電動勢,當線圈轉過任意角度 爐臥時,如圖所示，這時通過線圈的磁逋量與逋過匪0位置時某一等 效線圈的兩側磁通量相等，此等效線圈的兩側分別與長直導線相距兀占， 那么通過此等效線圈的磁通量為式中7叼可余弦定理求得q2 =去 - 2abcos8 - a1 +b2 - cos at= dr2 +b2 + 2ab cos

4、9 = a2 +b2 + 2(s6cos dt代入上式，得壬 卻、+b2 +2dticos di3 111 aH_3加 a +/> 2ab cos 61不難看出，隨時間變化。于是，線圈中的感應電動勢為d0 £=- dt地應蟄曲，冗 a2 + b1 - 2ab cos dis=)sm 6Jta +酌方向作周期性變化。3.如下圖，一無限長的直導線中通有交變電流，它旁邊有一個與其共面的長方形線圈 ABCD，長為I,寬為ha 。試求：1 穿過回路ABCD的磁通量-；2回路ABCD中的感應電動勢 匸無限長直導線通有交變電流，其周圍空間產生交變電場根據無限長直流導線 產生磁場的公式可知，此

5、交變磁場的磁感應強度的表達式是2兄丁 2環尸在距導線砸處，取面元衍r,穿過該面元的磁通量為 de = B cos = BdS -sin crfUdr在f時刻穿過回路血的磁通量為 二 fdP -f 叢 sm 曲口drJ2irr2r a J2根據法拉第電磁感應定律，將9對時間求導數"得回路中的感應電動勢dt 2 a其方向作周期性變化。4一無限長直導線，通電流為 I。在它旁邊放有一矩形金屬框，邊長分別為a b，電阻為R，如下圖。當線圈繞軸轉過180。時，試求流過線框截面的感應電量。設流過導線截面的感應電量為如那么q = j* 誠=其中&為感應電動勢為感應電流。由法拉第電磁感應定律可

6、剜£=琵dt帶入上式得q = -=d% = 31J Rdtw R由此可見，感應電量只與磁通量的變化有關，而與磁通量的變化快 慢無關&由于因此廠竺必掃公R 宛R 叟2假設此題中線框保持不動，而無限長直導線中的電流1=4曲 經歷一段時間上后流過的感應電量如何呢？由前面的知識可知ql那么有a2所以q = (sina/tsinoTt J1 2Rd+-仆丄25.如下圖為具有相同軸線的兩個導線回路， 小線圈在大線圈上面 x處，大、小線圈半徑分別為R、，且x>> R，故當大線圈中有電流I流動時，小線圈所圍面積內的磁場可近似視為均勻的。設大小線圈在同軸情況下，其間距x以勻速V =

7、出變化。試求：1穿過小線圈的磁通量和x之間的關系；2當x=NR時N為一正數，小線圈內產生的感應電動勢；3假設v>0，小線圈內的感應電流的方向。OTC1由載流線圈在軸線上產生的磁場公式可知.小線圈所在處的磁場為當疋口 R時.上式可改與為由題設小線圈內磁場可看作是均勻的，故通過小線圈的磁通量為C2由法拉笫電磁感應定律，小線圈中的感應電動勢為把x =皿、v =代入，得dt3丙琢產£ = V2出材3假設那么減小.由楞次定律可知，小線圈中感應電流的方問應與 大線圈中電流方向相同。6如下圖，在均勻磁場 B中放一很長的良導體線框，其電阻可忽略。今在此線框上橫跨一長度為I、質量為m、電阻為R的

8、導體棒，并讓其以初速度'：運動起來，忽略棒 與線框之間的摩擦，試求棒的運動規律。1F1hr x&xL-dX、vw aw KmX如圖Cb所示十取坐標軸 坐標原點0在棒的初始位置，并選運 動的初始時刻為時間啲原點。在某時刻棒的速度為H其上的動生電 動勢為f = Blyf其上的電流為“恥所受的磯力兀在X軸上的投影 為由牛頓運動定律得dv=m dfR範2)00 11(b)所以dv= ULv Pm根據初始條件，將上式兩邊積分Rm Jo得心-叱vc Bm那么甘=vce血又由于範 2 - 100 B(c)所以i£2- JOOEifd)卩隨時間f變化的規律如圖所示評逐漸減小，直至為零

9、,工隨時間的變化規律如圖所示，燿漸增大，直到增大到容處&7.如下圖，在電阻為零，相距為I的兩條平行金屬導軌上，平行放置兩條質量為電阻為R/2的勻質金屬棒AB、CD，他們與導線相垂直，且能沿導軌做無摩擦的滑動。 整個裝置水平地置于方向垂直向下的勻強磁場中，磁感應強度為B。假設不考慮感應電流的影響，今對AB施加一恒力F,使其從靜止開始運動起來。試求： 導軌上感應電流恒 定后的大小，以及兩棒的相對速度。設t時刻AB,CD棒的速度分別為仏吟加速度分別為貝IM5CD兩棒上的動生電動聘分別為氣=vQ習=訶于是，由歐姆定律可知,回路中的感應電流為I-爲E _山時刃RR導體應CD受到的洛倫茲力為RAB

10、,CD運動的加速度分另'J為(F-F) B -r-aY =wsm° _嚴_厲-叫爐滬口H mRin當回路中的電流穩定時，有Bl dvj dv27"坯"_1T=od； - d (丫-巴)別 也遜 R9所以號哼即宀心業f 辭因此,&3心'mRm即兩棒的相對速度為FR叫乃= 2BP將其代入感應電流的公式中可得感應電流的大小為2BI8一金屬棒OA在均勻磁場中繞過 O點的垂直軸OZ作錐形勻角速旋轉，棒OA長為】， 與OZ的夾角為卩，旋轉角度為，磁感應強度為,方向與OZ的方向一致，如圖 所示。試求OA兩端的電勢差解法一用動生電動勢的公式求解。如圖a所示

11、，將金屬棒看 成為由許多線元組成，選取距0點為囂長度為應線元.動生電動勢 ds =CvxjQ/,由題意分析可知，直于E且v = Zsin 而皆的 方向與戰方向垂直，與線元洲夾角鷲弋所以d s = (yx B)EHZ = I sincos( - ®=I ojB sin2 B超loB sin2對于整個金屬棒來說，其電動勢為結杲說明，小,即與卩“的方向一致，即熊電勢高于糜電勢，電動勢 的方向由M旨向4解法二 也可以用法拉第電磁感應定律求解。從圖b中可以看出，棒Q啲川端從奉到& CM把過的錐面的磁逋量等于圖b中扇形°。方面內 的磁通量，設勿與少之間的夾角為隔貝叼由楞次定律可

12、知，刼方向由刖旨向九 該結果與解法一相同。9.如下圖，一長為L的金屬棒OA與載有電流I的無限長直導線共面，金屬棒可繞端 點0在平面內以角速度勻速轉動。試求當金屬棒轉至圖示位置時即棒垂直于長直導線，棒內的感應電動勢。無限長直導踐在金屬棒轉動平面內激發的磁場是非均勻的,方向垂直紙面向外©在全屬棒上沿遠向任取一線元弘dZ至0點的距離為人距無限長直 導線的距離為八由無限長直載流導線產生的磁場的公式可知，該 處的磁感應強度大小為空力向垂直紙面向外)2k r當棒轉至圖示位置時，金屬棒0。吐各線元的速度方向均垂直各線元 沿平面向上，其夾角2(訃£)的方向沿0Q4方向，即SE)與皿間夾甬為

13、零。由于線元出速度大小 v=所以刃上的動生電動勢大小為 de = (vx B)LH/ = (vsm ) cosOd? = 金屬棒上總的勵生電動勢大小為 咼，=fg = J®x 占)EHZ =箱 tuBidl =苗：Idl在上式中，匚/均為變量，必須先統一變量后才能進行積分，由圖可知.1 = r -爲山=dr將其帶入上式故2耗由張?0或由(yB)可知，電動勢的方向從呀旨向A即必點電勢高°10. 如下圖，在均勻磁場中有一金屬框架aOba, ab邊可無摩擦自由滑動，已知： 5匚，- - -，磁場隨時間變化的規律為：_。假設t=0時，ab邊由x=0 處開始以速率v作平行與X軸的勻速

14、滑動。試求任意時刻t金屬框中感應電動勢的大小 和方向。由于0隨時間變化，同時加呂線切割磁場線！故回路中 即存在感生電動勢，又存在動生電動勢。由法拉第電磁感應定律可知，耐刻金屬框中感應電動勢的 大小為絲=迥"迥Y世dl dt dl dt喝的方向從腐旨向6電的方向為逆時針方向。將X =卩山=兀tan召二許tan夕代入上式，貝I11 - fa ( va£a tan 切 + vafa tan S (-£2)鬥 I 2 dt 22dt 2-v2? tan T我方向為逆時針方亂11. 如下圖，電磁 渦流制動器由電導率為、厚度為t的圓盤組成，圓盤繞通過其 中心的軸旋轉。覆蓋面積

15、為皿'的磁場B垂直于圓盤，設面積皿'在離軸r處。當圓盤 的角速度為3時，圓盤將受轉矩使其速度減慢。試求轉距M。在圓盤上.沿徑飢 長度為血線段因切割磁場線而產生的 感應電動勢近似為s=-Bav = Baur面積為厚度的這一小塊金屬沿徑向的電阻為at B因此，在這一小塊金屬上產生的沿徑向的感應電流為, e Baosr -I -二一-=BagratR 1ai由安培公式dF - 2陀,這一小塊金屬在磁場占中受到的作用力與徑向垂直， 大小為F=laB這個力對轉軸的力矩起著制動圓盤的作麻其大小為M = rF - rlaB=rBaojrtjlaB=PS? 少edB_=k12. 在無限長螺線管

16、中，均勻分布變化的磁場 B(t),設B以速率兒 變化(防： , 且為常量)，方向與螺線管軸線平行，如下圖。現在其中放置一直角導線abc。假設螺線管截面半徑為 R, 一二一' ，試求：(1)螺線管中的感生電場；(2)；：兩段導線 中的感生電動勢。1由于系統具有軸對稱性.如下圖.可求出感生電場。在磁場中取圓心為。，半徑為的圓周Ny 根據感生電場與變化磁場 之間的關系SB可得2 452月»匹加尸=一盤F =一耐赴有&匚上A YQ2由楞次定律可以判定感生電場為逆時針方冋。2解法一用法拉第電磁感應定律求解。連接花，厲和丞，在回路0處。中, 穿過回路所圍面積的磁通量為1 1p八二

17、甌-1/a2 2AJ那么可一哎丄心s竺'曲 2 '47±而今=%十殆# + %所以 知p扣?叫方向由口指向阮 同理可得穢押冷嚴上方向由b扌目向c解法二 也可由感生電場力作功求解。由于1中己求出爲，那么13如下圖，在無限長直螺線管的磁場中放一段直導線ab,軸0到ab的垂直距離為h ,£垂足P為ab的中心，P對0點的張角為：，試求ab上的感生電動勢。解法一用ef坊凹求解d? = d(/ztan G) = Ad (tan G)亡廣1 d5 hlfl 2 dz cos®所以 s = fcos 少d(tan 6)2 d 4%二丄竺d(tan0 解法二用“補回

18、路法求解。可將1段直導線a竦卜成三角回路Oab,如下圖。abOa的繞向為回路的正向，那么此回路上的磁通量為負，有0二-E訃 tan %d® 站，2c£=-=h tan ftd/ d/勺因Oa邊上和少上無感生電動勢，故上式的結果是一段直導線必上的感生電動勢。也可將一段直導線揺卜成回路必加，如下圖。圓弧爾半徑為心 選的必c勿繞向 為回路的正繞向，那么此回路的磁通量為正，有卅 tan 見)a氐血回路上的總電動勢為d dB o o s=-=-3qRtan龜)因為EVW +0-E(r 7)2叭+0(EVW- R2 =- (3- tan%)故上“啲感生電動勢是與前面的結果相同。導電14

19、. 如下圖，將一個圓柱形金屬塊放在高頻感應爐中加熱，設感應爐產生的磁場是均 勻的，磁感應強度的方根值為 B,頻率為仁金屬柱的直徑和高度分別為 D和h 率為，金屬柱的軸平行磁場。設渦流產生的磁場可以忽略，試求金屬柱內渦流產生 的熱功率。按題意可設線圈磁場的感應強度Bt = B択 sin ai- =sin2網北乞為最大值金屬圓柱可看作是由一系列半徑逐漸變化的薄圓筒組成°每層薄圓 筒自成一閉和回路、其內產生渦流，渦流因距離不同而不同°在圓筒 體內取半徑為鞏0力叫2,厚為"的薄圓筒，它的電阻為曲竺2cjjdr由法拉笫電磁感應定律可知，薄圓筒內的感應電動勢為-丁網2阮慮 -

20、22jr2Bm cos2jrj4在此薄圓筒上的渦流瞬時功率為2常嚴彳-濘力遲曲2以鬥pmor=2肚分咕如茅：化ftdr 故整個金屬體內渦流的瞬時功率為£P = |d/?辭:co J(2覽衛)1 n*=2'f2ahBl cos(2ft)'-,稲4 16在一個周期內的平均熱功率為3冷f嗣存爭咕Q * f必找申3腳=/丹W7*護32其中丘為磁感應強度的方均根值。15. 如下圖，二同軸無限長的導體薄壁圓筒，內筒的半徑為1 ,外筒的半徑為,筒上均勻地流著方向相反的電流，電流的強度皆為 .。試求二筒單位長度上的自感系解法一用自感系數的定義求解因為二筒上的電流值反向，這就構成了一個

21、電流回路。此電流 系統的磁場僅分布在二筒之間，磁感應強度的大小為3=也Xr由磁通量的關系式可得圖中陰影局部所示的長度為的矩形上的磁通 量為 二& Bldr = J代入自感系數的定義式，二筒單位長度上的自感系數為II 2 砒解法二用磁場能量公咖=扣氣因二筒之間在長度為的區間的磁場能量£Li解.12JF-2=丄廣世耳& =型？血也.2脳2濟4瑁 R、因為w =故二筒單位長度上的自感系數為2 R、結杲與解法一相同。M。試求16. 如下圖，兩線圈的自感系數分別為一】與二，他們之間的互感系數為 兩線圈串聯時等效的總自感系數 L(線圈串聯叭可有兩種聯接方法；圖G)表示順接，圖(b)表示反接。解法一用虛義式帖立朋解在圖中Gh 2與3端連結為順解。設電菰估1端流入，從4端流出，那么總的磁通量 茗二妙十歲口 *吒!十琶璋= L1Z+Aff+J + iaZ所以 7>芋=厶仏+沏在圖中，2與4端連結為反接，電流由1端流入 從3端流也 那么總磁通量尸旳-灶_灼+吆 二厶一購_購+邙 所以才厶+G-站17. 試求小電流線圈在磁場中的能量。解：利用功能原理可以求出小電流圈在外磁場中的能量。i殳有一水電流圈放置在均勻磁場E中，磁矩幾與成召角，在磁力拒涮