1、第七章參數估計1. 一隨機地取8只活塞環，測得它們的直徑為(以 mm計)74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求總體均值及方差(7 2的矩估計，并求樣本方差S2。_ 1 n解：卩，72 的矩估計是？=X =74.002 ,；:?2 二 v(Xi-X)2=6 10-6n i=S2 =6.86 10-6。2. 二設X1, X1,，Xn為準總體的一個樣本。求以下各總體的密度函數或分布 律中的未知參數的矩估計量。(1)f (x)0cex 40 1) ,x c0,其它其中c>0為，0>1, 0為未知參數。f (X)Xx"0二

2、0 蘭xE10,其它.其中0>0, 0為未知參數。(5) P(X =x)二 m Px(1-P)2,x =0,12 ,m,0 :： p ：1, p為未知參數。解：(1) E(X) = j 三xf(x)dxc0c0x "dx二 " 1 二誥，令，得0X -c(2) E(X)二 xf (x)dx 0x 0dx 二 v 0,令 、0=X,得 0 二(一X )2J0J0 +1J0 +11-x 7(5) E (X) = mp 令 mp = X , 解得 p 叢 m3. 三求上題中各未知參數的極大似然估計值和估計量。n解：(1 )似然函數L(0)"f (xi) = 0nc

3、n0(x1x' xn)"i dd ln L(0)d 0nIn L(0) = n In(0)n0ln c (1 - 0)'TnXj,i dnL(e)=u f(Xi)i 4n_n-e P(XiX2Xn) e，In L(e)二于n(e) C. e -1)、 I nXid In L(B)d e_n2L = InXj=O, e=n 'Tn xi2。解唯一故為極大似然估 2、e i4i =1計量。(5)nL( p) -Jl Ii生PX 二Xinnm、送 Ximn£Xip (1 P) t ,nIn L(p) » In mi 土n、Xii =1nIn p

4、(mn - ' Xi) In(1 - p),i=1d In L(p)dpn' Xi i =1pnmn -' Xi空 0 1 - p解得 pn7 Xii =2mnX，解唯一故為極大似然估計量。m4.四2設Xi , Xi,，Xn是來自參數為的極大似然估計量及矩估計量。入的泊松分布總體的一個樣本，試求入解：1矩估計 X 冗入,E X =入故P= X為矩估計量。n2極大似然估計L入：| PXi ；入二i =1nJi入Tx1! x2!Xn!nIn L(入)八 Xi Ini &n入二.In Xi n 入i =12i An = 0 ,解得P = X為極大似然估計量。n1 Xi

5、d In L (入) i 彳d入)Xi(其中e，Xj =0，)5.六一地質學家研究密歇根湖湖地區的巖石成分，隨機地自該地區取100個樣品，每個樣品有 10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數。假設這100次觀察相互獨立，并由過去經驗知，它們都服從參數為n=10，P的二項分布。P是該地區一塊石子是石灰石的概率。求 p的極大似然估計值，該地質學家所得的數據如下樣品中屬石灰石的石子數觀察到石灰石的樣品個數0167 23 26 21 12 310解：入的極大似然估計值為?= X =0.499四(1)設總體X具有分布律X123Pk2 e(1 e)(1 e) 2其中0(0< 0<1)為未知

6、參數。取得了樣本值X1=1 , X2=2, X3=1，試求B的矩估計值和最大似然估計值。解：(1 )求B的矩估計值E(X) =1 e2 - 2 2B(1 - 0) - 3(1 - 0)2二B 3(1 - 0) 0(1 一 0) =3 -2 0令E(X) =3 _20 = X那么得到e的矩估計值為0 =3 -X212 13(2)求e的最大似然估計值3似然函數 L(e)=PXi =XiH PX1 =1px2 =2PX3 =1i d2 2二 e 2e(1 -e) e= 2e5(1 - e)In L( e)=ln2+5ln e+ln(1 e)求導d In L(e)_ 51 0d61 -得到唯一解為0=

7、568 九設總體X N (卩，/),X!，Xn是來自X的一個樣本。試確定n常數c使c、(Xi 1 -Xi)2為/的無偏估計。i 4解：由于nJn 二n 二2 2 2 2Ec'(Xi 1 -Xi)二 cP，E(Xi 1 - Xi) = » D(Xi i - Xi) (E(Xj 1 - Xj)i 4i 4i =4n -1n=c' D(Xi 1) D(Xi) (EXi 1 -EXJ2心 (2/ 02) =c(2n-1),i 4i 412(n -1)n -1時Q (Xi 1i呂-Xj)2為二2的無偏估計十設X1, X2, X3, X4是來自均值為B的指數分布總體的樣本，其中B

8、未知,設有估計量11T-1(X1 X2)1(X3 X4)63T2 =(X1 2X2 3X3 4X4) 5T "1X2 X3(1) 指出T1, T2, T3哪幾個是B的無偏估計量；(2) 在上述B的無偏估計中指出哪一個較為有效。解：(1)由于人服從均值為B的指數分布，所以E (Xi )= Q D (Xi )= 02,i=1,2,3,4由數學期望的性質 2° , 3°有11E(TJE(XJ E(X2) /Eg) Eg)二 0631 E(T2)=1【E(X1) 2E(X2) 3E(X3) 4E(X4)=2051E(T3)=1【E(X1) Eg) E(X3)Eg)之即Ti

9、, T2是B的無偏估計量(2)由方差的性質 2°, 3°并注意到Xi, X2, X3, X4獨立，知1152D(Ti) =36【D(Xi) D(X2) £D(X3)D(X4)=磊 e2112D(T2)=162(X1)d(X2)D(X3) d(X4) =4 eD (T1)> D (T2)所以T2較為有效。14.十四設某種清漆的9個樣品，其枯燥時間(以小時計)分別為 6.05.7 5.86.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。設枯燥時間總體服從正態分布N (朽2),求的置信度為0.95的置信區間。(1)假設由以往經驗知(=0.6 (小時)(2)假設2為未

10、知。解: (1)卩的置信度為0.95的置信區間為(X二2 za ),Jn 0 6計算得 X =6.0,查表Z0.025 =1.96, "0.6,即為(6.0 _ 0；1.96) =(5.608,6.392)(2)卩的置信度為0.95的置信區間為(X _ S t a (n-1),計算得X =6.0，查v n表 to.o25(8)=2.3O6O.S2 丄(Xi X)22.648j 8Q Q= 0.33.故為(6.0 一 一 2.3060) - (5.558,6.442)16.十六隨機地取某種炮彈9發做試驗，得炮彈口速度的樣本標準差為s=11(m/s)。設炮口速度服從正態分布。求這種炮彈的

11、炮口速度的標準差2的置信度為0.953的置信區間。解：2的置信度為0.95的置信區間為(治 T)S2 (n -1)S2、一忌 11 811(74 21 1) (爭n T) 31)一(帀誌 2( , 21)其中 a=0.05, n=9查表知X0.025 (8) =17.535, X0.975(8) =2.18019.十九研究兩種固體燃料火箭推進器的燃燒率。設兩者都服從正態分布，并且燃燒率的標準差均近似地為0.05cm/s,取樣本容量為n 1= n2=20.得燃燒率的樣本均值分別為X1 =18cm/s,x2 =24cm/s.設兩樣本獨立，求兩燃燒率總體均值差一的置信度為0.99的置信區間。解：山一血的置信度為0.99的置信區間為(Xi0.052202) =(一6.04, -5.96).其中 a=0.01 , z0.005=2.58,ni=n2=20, oi =七=0.05 , Xi =18, X? =2420.二十設兩位化驗員 A, B獨立地對某中聚合物含氯兩用同樣的方法各做10次測定，其測定值的樣本方差依次為 SA =0.5419, SB =0.6065.設oA, 02分別為A, B所測 定的測定值總體的方差，設總體均為正態的。設兩樣本獨立，求方差比oA.' ffB的置信度為0.95的置信區間。