1、第2課時 一元二次不等式及其解法1一元二次不等式與相應的二次一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系如下表：函數及一元二次方程的關系如下表：基礎知識梳理基礎知識梳理基礎知識梳理基礎知識梳理基礎知識梳理基礎知識梳理x|xx2x|xx1x|xRx|x1xx2 當當a0與與ax2bxc0的解集如何？的解集如何？【思考思考提示提示】當當a0(a0)的求解的算的求解的算法過程為：法過程為：基礎知識梳理基礎知識梳理基礎知識梳理基礎知識梳理1(2009年高考安徽卷年高考安徽卷)若集合若集合Ax|(2x1)(x3)0，BxN*|x5，則，則AB是是()A1,2,3B1,2C4,5 D1,2,3,4,

2、5答案答案：B三基能力強化三基能力強化Ax|1x1 Bx|0 x3Cx|0 x1 Dx|1x0，q：1x20的解集是的解集是x|x2，則實數，則實數a的值為的值為_三基能力強化三基能力強化解一元二次不等式的一般步驟解一元二次不等式的一般步驟(1)對不等式變形，使一端為對不等式變形，使一端為0且二且二次項系數大于次項系數大于0，即，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0)(2)計算相應的判別式計算相應的判別式(3)當當0時，求出相應的一元二次時，求出相應的一元二次方程的根方程的根(4)根據對應二次函數的圖象，寫出根據對應二次函數的圖象，寫出不等式的解集不等式的解集課堂互動講練課堂互動講練考點一

3、考點一一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法課堂互動講練課堂互動講練解下列不等式：解下列不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)8x116x2.【思路點撥思路點撥】首先將二次項系首先將二次項系數轉化為正數，再看二次三項式能否數轉化為正數，再看二次三項式能否因式分解，若能，則可得方程的兩因式分解，若能，則可得方程的兩根，大于號取兩邊，小于號取中間，根，大于號取兩邊，小于號取中間，若不能，則再看若不能，則再看“”，利用求根公式，利用求根公式求解方程的根，而后寫出解集求解方程的根，而后寫出解集課堂互動講練課堂互動講練【解解】(1)42423162480.方程方程2x24x30沒有

4、實根沒有實根2x24x3”，則此不等式無解，則此不等式無解課堂互動講練課堂互動講練解下列不等式：解下列不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)8x116x2.解解：(1)由例由例1(1)可知可知80，故二次函數圖象開口向上且與故二次函數圖象開口向上且與x軸無交點，軸無交點，故不等式解集為故不等式解集為R.課堂互動講練課堂互動講練(2)由例由例1(2)可知不等式等價于可知不等式等價于(x2)(3x4)0，課堂互動講練課堂互動講練對于解含有參數的二次不等式，一對于解含有參數的二次不等式，一般討論的順序是：般討論的順序是：(1)討論二次項系數是否為討論二次項系數是否為0，這決定，這

5、決定此不等式是否為二次不等式；此不等式是否為二次不等式；(2)當二次項系數不為當二次項系數不為0時，討論判別時，討論判別式是否大于式是否大于0；課堂互動講練課堂互動講練考點二考點二含有參數的一元二次不等式的解法含有參數的一元二次不等式的解法(3)當判別式大于當判別式大于0時，討論二次時，討論二次項系數是否大于項系數是否大于0，這決定所求不等，這決定所求不等式的不等號的方向；式的不等號的方向；(4)判斷二次不等式兩根的大小判斷二次不等式兩根的大小課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練解關于解關于x的不等式的不等式(1ax)21.【思路點撥思路點撥】將不等式左邊化將不等式左邊化成二次三項

6、式，右邊等于成二次三項式，右邊等于0的形式，的形式，并將左邊因式分解，據并將左邊因式分解，據a的取值情況的取值情況分類討論分類討論課堂互動講練課堂互動講練【解解】由由(1ax)21得得a2x22ax11.即即ax(ax2)0.(1)當當a0時，不等式轉化為時，不等式轉化為00和和a0兩種情況討論；兩種情況討論；(2)當當a0時，時，x系數化系數化1時不等號時不等號方向未變向；方向未變向；(3)討論結束后未按討論的情況作討論結束后未按討論的情況作出結論，或將各種結果求并作答出結論，或將各種結果求并作答課堂互動講練課堂互動講練一元二次不等式恒成立問題一元二次不等式恒成立問題1解決恒成立問題一定要搞

7、清解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數一般地，知誰是自變量，誰是參數一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數圍，誰就是參數課堂互動講練課堂互動講練考點三考點三一元二次不等式恒成立問題一元二次不等式恒成立問題2對于二次不等式恒成立問對于二次不等式恒成立問題，恒大于題，恒大于0就是相應的二次函數的就是相應的二次函數的圖象在給定的區間上全部在圖象在給定的區間上全部在x軸上軸上方，恒小于方，恒小于0就是相應的二次函數的就是相應的二次函數的圖象在給定的區間上全部在圖象在給定的區間上全部在x軸下軸下方方課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練

8、已知已知f(x)x22ax2，當，當x1，)時，時，f(x)a恒成立，求恒成立，求a的取的取值范圍值范圍【思路點撥思路點撥】可以從函數的角可以從函數的角度進行考慮，轉化為函數求最值問度進行考慮，轉化為函數求最值問題，也可以從方程的角度考慮，可轉題，也可以從方程的角度考慮，可轉化為對方程根的討論化為對方程根的討論課堂互動講練課堂互動講練【解解】法一：法一：f(x)(xa)22a2，此二次函，此二次函數圖象的對稱軸為數圖象的對稱軸為xa，(1)當當a(，1)時，結合圖時，結合圖象知，象知，f(x)在在1，)上單調遞增，上單調遞增，f(x)minf(1)2a3，要使要使f(x)a恒成立，只需恒成立，

9、只需f(x)mina，即即2a3a，解得，解得a3.又又a1，3a1.(2)當當a1，)時，時，f(x)minf(a)2a2，由由2a2a，解得，解得2a1.又又a1，1a1.綜上所述，所求綜上所述，所求a的取值范圍為的取值范圍為3a1.課堂互動講練課堂互動講練法二：由已知得法二：由已知得x22ax2a0在在1，)上恒成立，上恒成立，令令g(x)x22ax2a，即即4a24(2a)0或或課堂互動講練課堂互動講練【失誤點評失誤點評】在解答過程中法二中易在解答過程中法二中易出現將出現將x22ax2a0在在1，)上恒上恒課堂互動講練課堂互動講練不等式應用題常以函數的模型出不等式應用題常以函數的模型出

10、現，多是解決現實生活、生產、科技現，多是解決現實生活、生產、科技中的最優化問題，在解題中涉及到不中的最優化問題，在解題中涉及到不等式的解及有關問題，解不等式的應等式的解及有關問題，解不等式的應用題，要理清題意，建立合理、恰當用題，要理清題意，建立合理、恰當的數學模型，這是解不等式應用題的的數學模型，這是解不等式應用題的關鍵關鍵課堂互動講練課堂互動講練考點四考點四一元二次不等式的實際應用一元二次不等式的實際應用課堂互動講練課堂互動講練(解題示范解題示范)(本題滿分本題滿分12分分)國家原計劃以國家原計劃以2400元元/噸的價格收噸的價格收購某種農產品購某種農產品m噸，按規定，農戶向噸，按規定，農

11、戶向國家納稅為：每收入國家納稅為：每收入100元納稅元納稅8元元(稱稱作稅率為作稅率為8個百分點，即個百分點，即8%)為了減為了減輕農民負擔，決定降低稅率根據市輕農民負擔，決定降低稅率根據市場規律，稅率降低場規律，稅率降低x個百分點，收購個百分點，收購量能增加量能增加2x個百分點試確定個百分點試確定x的范的范圍，使稅率調低后，國家此項稅收總圍，使稅率調低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的收入不低于原計劃的78%.【思路點撥思路點撥】課堂互動講練課堂互動講練【解解】設稅率調低后的稅收總設稅率調低后的稅收總收入為收入為y元，元，則則y2400m(12x%)(8x)%由題意知，由題意知，0 x8，

12、 5分分要使稅收總收入不低于原計劃的要使稅收總收入不低于原計劃的78%，須須y2400m8%78%，課堂互動講練課堂互動講練整理，得整理，得x242x880，解得，解得44x2，又又0 x8，0 x2，所以，所以，x的取值范圍是的取值范圍是(0,2. 12分分課堂互動講練課堂互動講練【規律小結規律小結】不等式應用題一不等式應用題一般可按如下四步進行：般可按如下四步進行：(1)閱讀理解、認真審題，把握問閱讀理解、認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系題中的關鍵量，找準不等關系(2)引進數學符號，用不等式表示引進數學符號，用不等式表示不等關系不等關系(3)解不等式解不等式(4)回歸實際問題回歸

13、實際問題課堂互動講練課堂互動講練(本題滿分本題滿分8分分)2008年年8月月8日，第日，第29屆奧運會在北京舉行，某屆奧運會在北京舉行，某超市從超市從2008年年1月月1日開始代銷某種日開始代銷某種奧運會紀念品，記奧運會紀念品，記2008年年1月月1日為日為x1,1月月2日為日為x2，依次類推，經，依次類推，經過過10天的銷售，超市得到日天的銷售，超市得到日課堂互動講練課堂互動講練擬，已知每銷售一個紀念品，超市獲利擬，已知每銷售一個紀念品，超市獲利2元，試問該超市銷售該紀念品有多少天日獲元，試問該超市銷售該紀念品有多少天日獲利不少于利不少于500元？元？課堂互動講練課堂互動講練解解：要使日獲利

14、不少于：要使日獲利不少于500元，元，須日銷售量不少于須日銷售量不少于250個，個，課堂互動講練課堂互動講練x2480 x1893000，(x210)(x270)0，6分分210 x270.從第從第210天到第天到第270天，共天，共61天天所以超市銷售該紀念品有所以超市銷售該紀念品有61天日天日獲利不少于獲利不少于500元元. 8分分課堂互動講練課堂互動講練一元二次不等式的解法技巧一元二次不等式的解法技巧1關于一元二次不等式的求解，關于一元二次不等式的求解，主要是研究當主要是研究當x2的系數為正值的一種情的系數為正值的一種情形形(當當x2的系數為負值時，可先化成正值的系數為負值時，可先化成正

15、值來解決來解決)對于一元二次不等式的解對于一元二次不等式的解集，有的學生因為理解不夠而死記硬集，有的學生因為理解不夠而死記硬背，常常將對應的二次不等式應該是空背，常常將對應的二次不等式應該是空集還是實數集混淆，要解決這個問題，集還是實數集混淆，要解決這個問題，最好的辦法就是將二次不等式與對應最好的辦法就是將二次不等式與對應規律方法總結規律方法總結的二次方程、二次函數的圖象真的二次方程、二次函數的圖象真正聯系起來，時時注意數形結合，這正聯系起來，時時注意數形結合，這樣就不會出現那樣的錯誤了要注意樣就不會出現那樣的錯誤了要注意真正理解不等式解的含義真正理解不等式解的含義規律方法總結規律方法總結2對于含有參數的不等式，在對于含有參數的不等式，在求解過程中，注意不要忽視對其中的求解過程中，注意不要忽視對其中的參數恰當地分類討論，尤其是涉及形參數恰當地分類討論，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次式上看似二次不等式，而其中的二次項系數中又含有參變量時，往往需要項系數中又含有參變量時，往往需要針對這個系數是否為零進行分類討針對這個系數是否為零進行分類討論，并且如果對應的二次方程有兩