1、2.4含絕對值不等式含絕對值不等式復復 習習 回回 顧：顧：.00bcaccbabcaccbacbcaba ，那么，那么，如果如果；，那么，那么，如果如果；，那么，那么如果如果2. 絕對值的意義：絕對值的意義： .0000時時，當，當時，時，當，當時，時，當，當xxxxxx1. 不等式的性質：不等式的性質：？的的解解的的幾幾何何意意義義是是什什么么2. 1 x20 2？的的解解的的幾幾何何意意義義是是什什么么2. 1 x的的解解集集意意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對對值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx20 2？的的解解的的幾幾何何意意義義是是什什么么2. 1 x的的解解集集意

2、意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對對值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx 22020 2？的的解解的的幾幾何何意意義義是是什什么么2. 1 x的的解解集集意意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對對值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx.22的點的集合的點的集合小于小于數軸上到原點距離數軸上到原點距離的幾何意義：的幾何意義： x 22020 2？的的解解的的幾幾何何意意義義是是什什么么2. 1 x0 2的的解解集集意意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對對值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx2.22的點的集合的點的集合小于小于數軸上到原點距離數軸上到原點距離的幾何

3、意義：的幾何意義： x 22020 2？的的解解的的幾幾何何意意義義是是什什么么2. 1 x0 2的的解解集集意意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對對值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx2.22的點的集合的點的集合大于大于數軸上到原點距離數軸上到原點距離的幾何意義：的幾何意義： x.22的點的集合的點的集合小于小于數軸上到原點距離數軸上到原點距離的幾何意義：的幾何意義： x 22020 2？的的解解的的幾幾何何意意義義是是什什么么2. 1 x.| )0( | )0( axaxxaaxaxaxaax 或或的的解解集集為為：，的的解解集集為為：一一般般地地， 問：問：為什么要加上為什么

4、要加上a0這個條件呢？這個條件呢？如果如果a0呢？呢？a=0呢？呢？題型一題型一._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaax結結 論：論：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaax結結 論：論：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaaxR結結 論：論：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的

5、解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaaxR結結 論：論：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaaxR0 xx結結 論：論：湖南長郡衛星遠程學校湖南長郡衛星遠程學校2009年下學期制作06例題分析例題分析 例1(1)220 x (2) 42x 的解法的解法與與 )0( ccbaxcbax題型二題型二的解法的解法與與 )0( ccbaxcbax38 (2) 2121 )1( xx解下列不等式：解下列不等式：題型二題型二例例2類形類形去掉絕對去掉絕對值符號后值符號后解的

6、含義區別解的含義區別|ax+b|c cax+b cx|ax+bcax+bcx|ax+bc.43221 (2) 2134 (1) xx；解下列不等式：【典例訓練】【典例訓練】1.1.不等式不等式2x-32x-32 2的解集的解集是是_. .2.2.不等式不等式x x2+3x-8+3x-81010的解集的解集是是_. .【解析】【解析】1.1.由由2x-32x-32 2得得2x-32x-32 2或或2x-32x-3-2,-2,解得解得x x 或或 x x ,故故原不等式的解集是原不等式的解集是xxx x 或或x x . 答案：答案：xxx x 或或x x 2.2.原不等式等價于原不等式等價于-10

7、-10 x x2+3x-8+3x-810,10,即即 原不等式的解集是原不等式的解集是(-6,-2)(-1,3)(-6,-2)(-1,3) 答案：答案：(-6,-2)(-1,3(-6,-2)(-1,3)52521212125222x3x810 x3x8 10，x1x26x3或 ， ，【變式【變式1 1】若把題若把題1 1中不等式的左邊改為中不等式的左邊改為 22呢？呢？【解析【解析】原不等式等價于原不等式等價于 答案：答案：32x30 x21572x3x.244， 573xxx442 且12x3【變式【變式2 2】解不等式解不等式22x-2x-24.4.【解析】解析】原不等式等價于原不等式等價

8、于 -2x0-2x0或或4x6.4x6.原不等式的解集為原不等式的解集為xx-2x0-2x0或或4x6.4x6.x22x24x22x224x24 或x0 x42x6 或【典例訓練】【典例訓練】1.1.解不等式解不等式|x+1|+|x-1|3|x+1|+|x-1|3；【解析】【解析】1.1.方法一方法一: :如圖如圖, ,設數軸上與設數軸上與-1,1-1,1對應的點分別為對應的點分別為A,B,A,B,（1 1）A,BA,B兩點間的距離為兩點間的距離為2,2,因此區間因此區間-1,1-1,1上的數都不是不上的數都不是不等式的解等式的解. .（2 2）設在）設在A A點左側有一點點左側有一點A A1

9、 1到到A,BA,B兩點的距離和為兩點的距離和為3,A3,A1 1對應數軸對應數軸上的上的x.x.所以所以-1-x+1-x=3,-1-x+1-x=3,得得x=x=- .（3 3）同理設）同理設B B點右側有一點點右側有一點B B1 1到到A,BA,B兩點的距離和為兩點的距離和為3 3，B B1 1對應對應數軸上的數軸上的x,x,所以所以x-1+x-(-1)=3x-1+x-(-1)=3.所以所以x x= .3232從數軸上可看到，點從數軸上可看到，點A A1 1，B B1 1之間的點到之間的點到A A，B B的距離之和都小于的距離之和都小于3 3；點點A A1 1的左邊或點的左邊或點B B1 1

10、的右邊的任何點到的右邊的任何點到A A，B B的距離之和都大于的距離之和都大于3 3，所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是(-,- (-,- ,+).,+).3232【方法二】【方法二】（1 1）當當x-1x-1時時, ,原不等式可以化為原不等式可以化為-(x+1)-(x-1)3,-(x+1)-(x-1)3, 解得解得xx- .（2 2）當）當-1-1x x1 1時時, ,原不等式可以化為原不等式可以化為x+1-(x-1)3,x+1-(x-1)3,即即23.23.不成不成立立, ,無解無解. .（3 3）當）當x1x1時時, ,原不等式可以化原不等式可以化為為x+1+x-13.x+1+x-

11、13.所以所以x x .綜上綜上, ,可知原不等式的解集為可知原不等式的解集為x|xx|x- 或或x x 32323232方法三方法三: :將原不等式轉化為將原不等式轉化為|x+1|+|x-1|-30.|x+1|+|x-1|-30.構造函數構造函數y=|x+1|+|x-1|-3,y=|x+1|+|x-1|-3,即即 -2x-3-2x-3， x-1,x-1,y= -1y= -1， -1x1,-1x1, 2x-3 2x-3， x1.x1.作出函數的圖象作出函數的圖象( (如圖如圖).). 函數的零點是函數的零點是- , ,- , ,從圖象可知當從圖象可知當x- x- 或或x x 時時,y0.,y0

12、.即即|x+1|+|x-1|-30.|x+1|+|x-1|-30.所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為(-,- (-,- ,+).,+).323232323232【典例訓練】【典例訓練】1.1.不等式不等式2x-32x-33x+13x+1的解集是的解集是_._.2.2.解關于解關于x x的不等式的不等式logloga aaxax2 2logloga ax x+2.+2. ( (一一) )形如形如|f(x)|a(aR)|f(x)|a(aR)型不等式型不等式 解法：等價轉化法，解法：等價轉化法， 當當a0a0時，時，|f(x)|a|f(x)|a-af(x)a. -af(x)a |f(x)|af

13、(x)af(x)a或或f(x)-a.f(x)-a. 當當a=0時，時，|f(x)|af(x)0. 當當a0時，時，|f(x)|af(x)有意義有意義.常見題型解法歸類常見題型解法歸類湖南長郡衛星遠程學校湖南長郡衛星遠程學校2009年下學期制作06 ( (二二)|x-a|+|x-b|c)|x-a|+|x-b|c和和|x-a|+|x-b|c|x-a|+|x-b|c 型不等式的解法型不等式的解法(1)(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解利用絕對值不等式的幾何意義求解. .(2)(2)以絕對值的零點為分界點以絕對值的零點為分界點, ,將數軸分為幾個區間將數軸分為幾個區間, ,利用利用“零零 點分段討論

14、點分段討論”求解求解. .(3)(3)通過構造函數，利用函數的圖象求解通過構造函數，利用函數的圖象求解. .( (三三) )形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)型不等式型不等式 解法解法: :等價轉化法，即等價轉化法，即 |f(x)|g(x)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x),-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x)f(x)-g(x) ( (其中其中g(x)g(x)可正也可負可正也可負).). 若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復雜若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復雜. .( (四四) )形如形如a|

15、f(x)|a0)a|f(x)|a0)型不等式型不等式 解法：等價轉化法，即解法：等價轉化法，即 a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b(0ab)af(x)baf(x)b或或-bf(x)-a.-bf(x)-a.( (五五) )形如形如|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)型不等式型不等式 解法：絕對值的定義，即解法：絕對值的定義，即 |f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)f(x)0.f(x)0.【熟能生巧】【熟能生巧】1.1.解不等式解不等式|x|+|x-3|5.|x|+|x-3|5. .方法一方法一幾何意義：是數軸上到幾何意義：是數軸上到0 0和和3 3兩點的距離之

16、和不超過兩點的距離之和不超過5 5的的x x的范圍的范圍, ,結合數軸易得出結合數軸易得出-1x4,-1x4,所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為-1,4-1,4.方法二方法二: :原不等式原不等式|x|x|+|x-3|5+|x-3|5可等價轉化為可等價轉化為 或或 或或解解不不等式組得等式組得-1x4.1x4.所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為x|-1x4.x|-1x4.x3xx35，x0 x3x5 ，0 x3x3x5 ，【思考】【思考】求解此類不等式的關鍵是什么？求解此類不等式的關鍵是什么？提示：提示：關鍵是理解絕對值的幾關鍵是理解絕對值的幾何何意義意義. .【變式訓練】變式訓練

17、】解不等式：解不等式：3x-53x-5- -x+2x+24.4.【解析】（【解析】（1 1）當當x-2x-2時，不等式可化為時，不等式可化為5-3x+x+25-3x+x+24,4,解得解得x x , ,與與x-2x-2矛盾；矛盾；（2 2）當）當-2-2x x 時，不等式可化為時，不等式可化為5-3x-x-25-3x-x-24,4,解得解得x x- - , ,故故- - x x 為不等式的解集；為不等式的解集；3253141453（3）當）當 xx時，不等式可化為時，不等式可化為3x-5-x-23x-5-x-24,4,解得解得x x ,故故 xx 也為也為不不等式的解集等式的解集. .綜上，原

18、不等式的解集為綜上，原不等式的解集為xx- x x .531125311214112【解析】【解析】1.1.解題流程解題流程. .答案：答案：( ( ，+)+)審題審題轉化轉化|2x-3|3x+1|2x-3|0,3x+10,原不等式轉化為原不等式轉化為-(3x+1)2x-33x+1-(3x+1)2x-3g(x)g(x)的求解方法的求解方法: :()()根據實數的絕對值的意義分類討論，根據實數的絕對值的意義分類討論，即即|a|= |a|= ；a (a0)a (a0)-a (a0)-a (a0)()()根據公式根據公式:|x|a:|x|a-axa(aR-ax0)a0)；f(x)f(x)g(x)g(

19、x)-g(x)f(x)g(x)-g(x)f(x)a|x|axaxa或或x-a(aRxg(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x).f(x)0.a0. (1) (1)當當a=1a=1時，求不等式時，求不等式f(x)3x+2f(x)3x+2的解集；的解集； (2)(2)若不等式若不等式f(x)0f(x)0的解集為的解集為x|x-1x|x-1，求，求a a的值的值. .【解析】【解析】1.1.若若a=1,a=1,則則f(x)=2|x-1|,f(x)=2|x-1|,不滿足題設條件不滿足題設條件. .若若a1,a1,則則f(x)f(x)= -2x+a+1-2x+a+1, xax

20、a 1-a1-a, ax1ax1,a1,則則f(x)f(x)= -2x+a+1,x12x+a+1,x1 a-1a-1, 1xa1x0,a0,所以不等式組的解集為所以不等式組的解集為x|xx|x .由題設可由題設可得得 =-1,-1,故故a=2.a=2. xaxa3x0，xaax3x0 ，xaax4，xaax.2 ，a2a2【易錯誤區】【易錯誤區】絕對值不等式變形不等價致誤絕對值不等式變形不等價致誤 【典例】【典例】不等式不等式x+2x+2- -2x-12x-111的解集是的解集是_._.【解題指導】【解題指導】( () )( () )() )無解，無解，( () )的解集為的解集為0 x0 x

21、 ,(,() )的解集為的解集為 x2.x2.綜上綜上( (),(),(),(),() )取并集取并集，得原不等式的解集為，得原不等式的解集為0 0，2 2. .答案：答案：0 0，2 2 12x2x22x11, 1x2x22x11,1212【解析】原不等式等價于【解析】原不等式等價于 ( () ) x2x22x11,【閱卷人點撥】【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的常見錯誤及解通過閱卷后分析，對解答本題的常見錯誤及解題啟示總結如下：題啟示總結如下：( (此處的此處的見解析過程見解析過程) )【即時訓練【即時訓練】函數函數f(x)=f(x)=2x+12x+1- -x-4x-4的最小值是的最小值是_._.【解析】【解析】令令y=y=2x+12x+1- -x-4x-4, ,則則 -x-5,x- ,-x-5,x- ,y y= 3x-3,- 3x-3,- x x4 4, x+5,x4x+5,x4.在一個坐標系中分別畫出以上分段函數，在一個坐標系中分別畫出以上分段函數，由圖象可知，當由圖象可知，當x=- x=- 時，時，y=y=2x+12x+1- -x-4x-4取得最小取得最小值值 . .答案答案：92922121211.1.若集合若集合M=xM=xx|2,N=xx|2,N=xx x2 2-3x=0-3x=0，則，則MN=( )MN=( )(A)3 (B)0(A)3 (B)0(C