1、專題09外接球和內(nèi)切球問(wèn)題的處理技巧一、外接球的問(wèn)題簡(jiǎn)單多面體外接球問(wèn)題是立體幾何中的難點(diǎn)和重要的考點(diǎn)，此類問(wèn)題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑尺或確定球 心O的位置問(wèn)題，其中球心的確定是關(guān)鍵.（一）由球的定義確定球心在空間，如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡(jiǎn)單多面體的外 接球的球心.由上述性質(zhì)，可以得到確定簡(jiǎn)單多面體外接球的球心的如下結(jié)論.結(jié)論1:正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心其體對(duì)角線的中點(diǎn).結(jié)論2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn).結(jié)論3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).結(jié)論4:正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過(guò)計(jì)算找

2、到.結(jié)論5:若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.例：直三棱柱ABC - 4（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的各頂點(diǎn)都在同一球面上.若AH = AC = A,A! = 2, NBAC = 90°,則此球的表面積等于 .【答案】:丁【解析】根據(jù)題意，可畫(huà)出如下圖形： ZBAC = 90°, . . RC的中點(diǎn)到AC三點(diǎn)的距離相等，記為M,直三棱柱的中點(diǎn)到月:B'C三點(diǎn)的距離相等，記為N,，球的球心為A/N的中點(diǎn)，記為Q,設(shè)球的半徑為R, = 4B = 4A= 2,，R = S = 4開(kāi)足，此球的表面積S = 12tt.【掌握練習(xí)】1、一個(gè)正

3、四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)直徑為左m的球面上.如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm,那么該棱柱的表面積為 cm '.【答案】,.一【解析】，正四棱柱的表面積為,那么這個(gè)三棱柱的設(shè)正四棱柱的高為卬由長(zhǎng)方體與球相接的性質(zhì)知4 = 1 + I + 貝此=此S = 2xlxl + 4xlx/2 = (2 + 42)(cm2)322、一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是1-體積是.【答案】 z 77【解析】4,32設(shè)球的半徑為R,則3 3 ，則A=2,/2 O. j£/1則三棱柱的高是 4,設(shè)底面邊長(zhǎng)為 * 6, 口 = 4/3,(4/3)2 4 = 48y/3則

4、三棱柱的體積是二.47r3、已知正方體的外接球的體積是3 ,則這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是 .2?3【答案】.【解析】47r q 47rr設(shè)正方體的外接球半徑為 磨，正方體棱長(zhǎng)為q，則3= 3 ,2/3. t = 1.= 2r = 2. . a = 3 .4、如圖，已知球O的面上有四點(diǎn)A、0C,D, D>LL平面總RC,AB_LEC,D4則球。的表面積為【解析】把幾何體看成長(zhǎng)方體一部分，由于 EhLL平面4UC,因此。為球的直徑CD =弋通+注+甯-2焉，.半徑為四，因此球的表面積47r5、如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積為2=127r的眥圖8y/2TT【答案】3【解析】三視

5、圖復(fù)原的幾何體如圖,它是底面為等腰直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn)，它的外接球J就是擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球J 它的直徑是26,冊(cè)志的體積是：鏟6、已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱錐高為3,體積為6,則這個(gè)球的表面積是【答案】167r 【解析】 正四棱錐的高為3,體積為5,易知底面面積為6,底面邊長(zhǎng)為 灰.正四棱錐P 一的外接球的球心在它的高 FO上，記為。,PO = AO = R, P5 = 3,OO1 =3-R,在母AAOiO中，=等"=8，由勾股定理2 = 3 + （3-喈得丑=2.所以，球的表面積S = 167r.AB（二）構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體確定球心長(zhǎng)方體或正方體的外接球

6、的球心是在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處.以下是常見(jiàn)的、基本的幾何體補(bǔ)成正方體或長(zhǎng) 方體的途徑與方法.途彳5 1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、 四個(gè)面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體.途彳5 2:同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長(zhǎng)方體和正方體.途彳5 3:若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.途彳5 4:若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.例：棱長(zhǎng)為 6的正四面體的外接球半徑為 .逛【答案】一【解析】記正四面體校長(zhǎng)為外外接球半徑為月，正四面體擴(kuò)展為正方體用它們的外接球是同一個(gè)球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直

7、徑，得到4 ,因此中本題中4【掌握練習(xí)】伯怏圖【答案】507r【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，得,該幾何體是頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合的三棱鍵81 一同如圖所示F長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5,寬為工高為3 j，該三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，該球的直徑為2五=KI2 = S2 + 43 + 32 = 50，外接球的表面積是 S = 4tt# = ttI2 = 50tt .故答案為：50tt.2、如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為 第視圖【答案】327r【解析】 由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的直三棱柱的外接球相同,如圖所

8、示：由底面底邊長(zhǎng)為4,高為2,故底面為等腰直角三角形,可得底面外接圓的半徑為：丁 =2，由棱柱高為4,可得球心距為2,故外接球半徑為：R =+ 22 = 2,5,故外接球的表面積S = 4燈鑄=32門故答案為；327T .3、已知正三棱錐F-,點(diǎn)只也* , C都在半徑為g的球面上，若尸也況尸C兩兩互相垂直到截面正c的距離為【解析】將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示，則0在正方體的對(duì)角線 尸。的中點(diǎn)，設(shè)G是*iBC的重心，則00 一平面島二班,則口 = 2 ,所以0G =|PA4、在三棱錐 V 一中，面 面VA = AC = 2,ZVAC = 120°, EA1BC,則三棱錐V 一再的外接

9、球的表面積是【答案】167r【解析】將三棱錐爐一 AEC擴(kuò)展成一個(gè)三棱柱,則球心是上下底面外心為N連線的中點(diǎn)，在工中,AM = L Z.OAM = 60。，。總=2,即三棱錐口 - 4BC的外接球的半徑為2,，三棱錐V ABC的外接球的表面積S = 4tt/?2 = 16限故答案為：1&T.（三）由性質(zhì)確定球心利用球心O與截面圓圓心 01的連線垂直于截面圓及球心 。與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心.例：一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，其八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么這個(gè)球的表面積為【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為即球的直徑為 /W,-工一S = 4/ x= 3r，球的表面

10、積為：-2故答案為：33r.【掌握練習(xí)】1、三棱錐 產(chǎn)一ABC 中，PA = AB = BC = 2, PB = AC = 22 , FC = 2代,則三棱錐產(chǎn)一啟UC的外接球的表面積為 .【答案】二-【解析】* AP = 2, AC = 2x/2. PC = 273.'.AP2 + AC2 = PC2?二 APAC是RA* ；PB = 2 BC =2.PC = 2 依，&FBC是 Rt&.，取 FC中點(diǎn) O,則有 OF = OO = OA = OB = V3 ,。為三棱錐 產(chǎn)一啟BC的外接球的球心，半徑為 v3.三棱錐產(chǎn)一 ABC的外接球的表面積為4斤丑2 = 127

11、r.故答案為：二一.2、在半徑為2的球面上有不同的四點(diǎn) 4 B、C, D若AR = AC = AD = 2,則平面BCD被球所截面 圖形.的面積為.【答案】；.【解析】解：過(guò)點(diǎn)工向面BCD作垂線，垂足為A，則M是外心，而外接球球心。位于上，如圖所示，設(shè)乂BCD 所在截面圓半徑為T,* 川=QE| = R=2 = 14Hl . /_BAO = 60。,在舟中，r = 2siii600 = V5 ,.S = 7TT2 = 37T.、內(nèi)切球問(wèn)題這個(gè)球是這個(gè)多面若一個(gè)多面體的各.面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體, 體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心

12、到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半 徑的通用做法。32,那么這個(gè)三棱柱例1： 一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是的體積是.48y3【解析】4 732設(shè)球的半徑為此 則3M 3 ,則R = 2,則三棱柱的高是4,設(shè)底面邊長(zhǎng)為小 6 =* (473)2 - 4 = 483典E棱柱的體積是4 1'例2:若正四棱錐P-5方CD的底面邊長(zhǎng)及高均為2,剛此四棱錐內(nèi)切球的表面積為TT【解析】根據(jù)題意得正四棱錐的底面

13、面積為 4, 一個(gè)側(cè)面面積為 修，設(shè)球的半徑為 R,則由等體積法得, 3（4VS + 4）R= §x4x2t冗=一j 一，所以球的表面積為2（3 峋盯.【掌握練習(xí)】2串布，則三棱錐 尸一幺5。的內(nèi)切球的體積為1、已知三棱錐 尸一幺EC的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿 FA PB, PC三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為心3r【答案】2【解析】三棱鏈?zhǔn)?展開(kāi)后為一等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為明則：.a = 6四,二三接錐一 ABC棱長(zhǎng)為3，2三棱錐F-4£tC的高為2/5設(shè)內(nèi)切球的半徑為一則4X 3rx必*"= J"亡x 2/3 . r = T,二三棱錐xbc的板球的體積為4 3 JTF = TF32 .2、在直三棱柱ABC - JiBiCi中，BC±AC,AC = 12, BC = 5 ,若一個(gè)球和它的各個(gè)面都相切 則該三棱柱的表面積為 【答案】180【解析】AC = 12, BC = 5, BC±AC, AB = 13.設(shè)棱柱的內(nèi)切球的半球?yàn)?“則況于4EC的內(nèi)切圓為球5+12-13 2X2-51 -2-21.，棱柱的高為2r = 4.，棱柱的表面積