1、高中數學論文無變不生奇 無奇不引人 例談“問題變式”在數學復習課中的作用【摘 要】數學的魅力在于“變”，設計問題變式，讓課堂在“變”中出彩，使復習課更有效。【關鍵詞】問題變式； 復習課； 有效復習課以往一貫的做法：復習基本知識與方法，例題精講，練習鞏固。這樣做的目的是使學生認知結構得到完善，思維能力得到發展。但數學的復習教學是一個很雜亂的過程，弄不好會有“既費了時間，又不著力”的感覺。如何使復習課更生動，更有效，讓數學復習課“活”起來？這就要求數學課堂的設計要做到化繁為簡，化散為整。本文僅從“問題變式”的應用入手，談“問題變式”在數學復習課中的作用。1 在“變式”中理解數學概念復習課的主旨是知

2、識的再現，其目的是喚起學生的記憶，為本節課的進一步深入提供必要的基礎支撐。在這個過程中，對一些學生容易混淆的數學概念，可適當地利用問題變式，加深學生對數學概念的認識和理解，提高學生辨別是非的能力，使課堂在學生積極的思維活動中充滿活力。案例1 在復習“空間中的平行關系”時，筆者首先引導學生回憶了空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行關系，接著給出下面的問題變式：問題1 設、為三條不重合的直線，、為三個不重合平面，現給出六個命題：； ； ；。其中正確的命題是（ ）A B C D變式 已知平面、和直線，給出5個條件：；。要使，應選擇下面四個選項中的（ ）A B C D空間中的平行關系特別是直

3、線與平面的平行關系，學生特別容易判斷錯誤，通過這樣針對性的變式練習，幫助學生加深理解“空間中的平行關系”，避免學生在理解上可能出現的錯誤，使復習收到較好的效果。2 在“變式”中掌握數學方法數學不是技藝型的學科，而應是屬于思考型的學科，所以在數學教學過程中應注重通性通法。讓學生熟練地掌握解題方法、提高解題能力是數學復習的重要目標之一。因此，數學復習課堂上應該更多地注重“一題多變”“一題多用”“多題歸一”，更多地注重抓題目“核心”，“提煉”解題的思想方法，并特別重視對題目解后的回顧與反思：能否用別的方法導出這個結果？能否把這個結果或方法用于其他的問題？案例2 在復習“導數及其運用”時，筆者為了幫助

4、學生更好地掌握導數與函數單調性的關系，設計了下面的問題及其變式：問題2 已知函數在區間內是減函數，求實數a的取值范圍。變式1 已知函數在區間上遞減，在區間上遞增，求實數a的取值范圍。變式2 已知函數在區間內存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍。變式3 已知函數在區間內不單調，求實數a的取值范圍。在問題2中，“函數在區間內是減函數”等價于“不等式對恒成立”。雖然本題的求解思路不止一種，但轉化為不等式恒成立問題顯然過程更簡潔，更易于理解。變式1比問題2多了一個單調區間，可轉化為兩個不等式恒成立問題：當時，不等式恒成立，且當時，不等式恒成立。變式2好像是存在性問題，看似思維突變，實則仍是恒成立問題，

5、不妨從反面入手，假設在區間內不存在遞減區間，而又不存在常數函數區間，所以在區間內遞增，由此可轉化為不等式恒成立問題。變式3依然可從反面入手，假設在區間內單調，可轉化為兩個不等式恒成立問題。以上所探討的“函數在給定區間上單調”問題，通過問題變式，由易到難，很好地完成了引導學生夯實基礎，總結解題方法，提高解題能力的任務。3 在“變式”中體會數學思想數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過教師對典型例題的分析和學生的自主探索活動，使學生逐步掌握數學概念、結論形成的過程，體會其中蘊含的思想方法。在數學復習教學中，合理地運用問題變式，讓學生通過探究問題變式，體會數學思想方法的價值和妙用，提高數學復習的有效

6、性。案例3 在復習“立體幾何”時，筆者為了幫助學生能多角度觀察空間幾何問題，認識圖形中的數量關系，拓展學生探究問題的方式和角度，設計了下面的問題及其變式：問題3 如圖，在中，ABC=60°,BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90°。（）證明：平面ADB平面BDC；（）設E為BC的中點，求與夾角的余弦值。變式1 將條件中的BDC=90°改為BDC=120°，如何處理？變式2 改E為線段BC的一動點，試求與夾角的余弦值的取值范圍。變式3 若AB=1，點F在線段AC上，（其余不變），求DEF周長的最小值。變式4 試問在平面

7、ABC上是否存在一點P，使得該點到棱錐A-BCD的四個頂點的距離均相等？若存在，請求出AP，若不存在，請說明理由，并判斷在棱錐體內部這樣的點存在嗎？問題3是一道比較簡單的中檔題，只要建立空間直角坐標系，所有問題都可迎刃而解，變式1主要考查學生在沒有現成的三線兩兩垂直的情況下，如何建立空間直角坐標系？變式2主要考查學生如何選擇參變量寫出點的坐標，并構造函數模型求函數的值域？變式3主要考查學生怎樣利用空間圖形的幾何性質探究最值問題？變式4的設計意圖是借助固有的研究思路，將平面的“等距問題”拓展到空間。通過以上的問題變式，學生領悟了高中數學中四種主要的數學思想方法函數與方程、轉化與化歸、數形結合、分

8、類討論等在數學解題中的妙用，能理解、體會并能自覺將數學思想應用于數學問題的分析和解決的過程中，提高了復習的效果。4 在“變式”中總結解題規律數學問題的解決是有規律的，這些規律由教師講解還是由學生自己發現，教學效果是大不相同的。筆者認為，引導學生用自己的語言理解、概括、提煉知識所取得的成效，遠大于教師“系統歸納”知識所取得的成效。借助“問題變式”，讓學生在解題中發現規律、總結規律并利用規律解決問題。案例4 復習“數列求和”時，筆者提出下面的問題：問題4 求數列的前n項和：。變式1 求和：。變式2 已知數列是等差數列，且公差為d，求和：。變式3 是否存在常數a，b使等式：對一切正整數n恒成立？變式

9、4 若不等式恒成立，求實數a的取值范圍。變式5 若數列對一切正整數n都滿足：，則數列是否一定是等差數列？若正確，給予證明，若不正確，請舉出反例。問題4到變式2體現了數學中的由特殊到一般的思想，變式2到變式4把求和問題拓展為恒成立問題，體現了數學思維可以向多個方面發散的思想，變式4到變式5是問題的逆向思維。通過以上問題變式的思考與練習，使學生在思考、比較、歸納的過程中，自主發現數列求和的規律和本質。得出：上述數列的特點是分子為常數1，分母均為同一個等差數列的連續兩項之積，而且除首末兩項，其余各項都在分母中連續出現兩次，像這種數列求和就用“裂項相消法”。變式教學有利于學生發現解題規律并掌握規律。課

10、堂上在解完題后，老師必須與學生一起回顧解題的全過程，讓學生看到只要學會思考，再復雜的題，都可以轉化為簡單的問題或已經解決的問題，都能尋找到解題方法背后的規律及蘊涵其中的問題本源。5 在“變式”中拓展數學思維數學解題活動中蘊涵著豐富的邏輯思維、形象思維和直覺思維，它們的綜合作用與辨證發展能產生創新思維。而這三種思維能否形成并產生綜合作用、能否辨證發展，則取決于數學例題、練習題的設計。鑒于此，數學復習課上重要的是對同一問題進行多角度地思維理解和剖析，或者同一思維方法，用不同的背景問題呈現，化散為整。所以，數學復習課依然要為“思維”而教。適當地運用“問題變式”，讓學生從不同的層次和維度上開掘，能充分

11、調動學生上課的積極性，從而更好地拓展學生的思維。案例5 復習“向量”時，筆者提出下面的問題：問題5 點O是ABC所在平面內一點，則點O是的（ ）A重心 B內心 C外心 D垂心變式1 點O是ABC所在平面內一點，若，則點O是的（ ）A重心 B內心 C外心 D垂心變式2 點O是ABC所在平面內一點，則點O是的（ ）A重心 B內心 C外心 D垂心變式3 點O是ABC所在平面內一點，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則點O是的（ ）A重心 B內心 C外心 D垂心變式4 點O是ABC所在平面內一點，求ABC與AOC的面積之比。變式5 點O是ABC所在平面內一點，其中m，n，r是正數，求BOC與A

12、OC的面積之比。向量集數形于一身，是溝通代數與幾何的天然橋梁。問題5及其變式很好地體現了這一點。從培養思維能力的成效上看，對一個問題從不同層次和維度上開掘100次，比對100個問題各只淺挖1次的效果要好的多。復習課上靈活地運用問題變式，通過改變題目的條件或結論，能有效地突破思維定勢，使學生的思維更具有靈活性、嚴謹性和創造性。正所謂：“無變不生奇，無奇不引人”。在數學復習課中應用變式教學能不斷提高學生解決問題的能力和應變能力，是一種行之有效的教學方法。在教師不斷的反思過程中，變式的思想就會自然地走進課堂教學中，學生的思維、洞察力就能有效地提升，課堂教學自然也會變大、變活、變深。更為重要的是，學生從解題中獲得了愉快的體驗，真正做到了快樂地學習。【參考文獻】1陳柏良數學課堂教學中的三個“遠大于” J中學數學教