1、第二講 一階微分方程【教學(xué)內(nèi)容】齊次微分方程、一階線(xiàn)性微分方程【教學(xué)目的】理解齊次微分方程的概念，掌握齊次微分方程、一階線(xiàn)性微分方程的解法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】齊次微分方程、一階線(xiàn)性微分方程的解法【教學(xué)過(guò)程】一、齊次微分方程：形如 的微分方程；叫做齊次微分方程對(duì)它進(jìn)行求解時(shí)，只要作變換原方程便化為可分離變量的微分方程來(lái)求解。 于是有，從而原方程可化為，即 此方程是可分離變量的微分方程。按可分離變量微分方程的解法，求出方程的通解，再將變量u還原為，所得函數(shù)就是原方程的通解。例1、 求微分方程，滿(mǎn)足初始條件的特解。解： 方程可化為 它是齊次方程。令，代入整理后，有分離變量，則有 兩邊積分，得 即 將

2、代入上式，于是所求方程的通解為 把初始條件代入上式，求出，故所求方程的特解為 二、一階線(xiàn)性微分方程形如 的方程稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程，其中P(x)、Q(x)都是連續(xù)函數(shù)。當(dāng)Q(x) = 0時(shí)，方程 稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次微分方程； 當(dāng)Q(x) 0 ，方程稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次微分方程。1. 一階線(xiàn)性齊次微分方程的解法將方程 分離變量得 兩邊積分得 方程的通解為 (C為任意常數(shù)) 例2 、 求微分方程的通解。 解法1（分離變量法） 所給方程是一階線(xiàn)性齊次方程變量分離得兩邊積分得即令 方程的通解為解法2（公式法）將P(x) =2x代入通解公式，得通解2. 一階線(xiàn)性非齊次微分方程的解法非齊次方程與齊次方程的差異

3、僅是方程右邊的項(xiàng)Q(x)。從齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律, 我們有理由推測(cè)非齊次方程的解形如 (C(x)是關(guān)于x的函數(shù)） 代入非齊次方程，得一階非齊次線(xiàn)性方程通解的公式為：或上述求解方法稱(chēng)為常數(shù)變易法. 用常數(shù)變易法求一階非齊次線(xiàn)性方程通解的步驟為： （1）先求出非齊次線(xiàn)性方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；（2）利用常數(shù)變易法設(shè)出非齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)特解；（3）將所設(shè)特解代入非齊次線(xiàn)性方程，解出C(x)，寫(xiě)出非齊次線(xiàn)性方程的通解.例3、求微分方程的通解.解法1（常數(shù)變易法）原方程變形為 : 對(duì)應(yīng)的齊次方程為 ：得通解為設(shè)原方程的解為 從而 代入原方程得 化簡(jiǎn)得 兩邊積分，得 所以，原方程的通解 解法2（用公式法）把它們代入公式得例4、已知曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0，0），且該曲線(xiàn)上任意點(diǎn)p（x，y）處的切線(xiàn)的斜率為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和，求此曲線(xiàn)方程。解法1 （采用常數(shù)變易法求解）設(shè)所求的曲線(xiàn)方程為y=y（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有即 初始條件為下 由分離變量并積分，得 令，則，把y，代入方程中，于是有 兩端積分后，得 （c為任意常數(shù)）將上式代入，從而方程的通解為 再把初始條件代入上式，解出c=1，因此方程的特解