1、絕密本科目考試啟用前2017年普通高等學校招生全國統一考試數學(理)(北京卷)第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)若集合 A=x|2<x<1, B= x|x< T 或 x>3,則 AI B二(A) x|N<x<T(B) xp2<x<3(C) xT<x<1(D) x|1<x<3【答案】A【解析】試題分析：利用數軸可知 AI B x| 2 x 1 ,故選A.【考點】集合的運算【名師點睛】集合分為有限集合和無限集合，若集合個數比較少時可以用列

2、舉法表示；若集合是無限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數軸或韋恩圖進行處理.(2)若復數1 i a i在復平面內對應的點在第二象限，則實數 a的取值范圍是(A) (-0? 1)(B)(-葉 T)(C) (1, +00)(D) (T, +8)【答案】BK解析】試題分析；設不二?！?"+。=(q+1)+(1封匕因為復數對應的點在第二差限,所以二十久、L(T > U解得二故選B一【考點】復數的運算【名師點睛】復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式， 列出實部和

3、虛部滿足的方程 (不等式)組即可.復數z=a+ bi- " ?復平面內 uuur的點 Z(a, b)(a, bCR).復數 z= a+bi(a, bCR)<j平面向量 OZ .(3)執行如圖所示的程序框圖，輸出的 s值為(A) 2（B）25(C)3(D)5【答案】C【解析】試題分析：底二。時？成立了第一次進入循環，k=LJ=千二人1 m3成立，第二次進入循環:32 +1 3亍+1 55=2= -!工<3成立J第三次進入循環；k=，5 = y =w 3<3不成立，輸出5 二三,2故選C【考點】循環結構【名師點睛】解決此類型問題時要注意：第一，要明確是當型循環結構，還是

4、直到型循環結構，并根據各自的特點執行循環體；第二，要明確圖中的累計變量，明確每一次執行循環體前和執行循環體后，變量的值發生的變化；第三，要明確循環體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環體，爭取寫 出每一個循環，這樣避免出錯 .x 3,(4)若x, y滿足 x y 2,則x + 2y的最大值為y x，(A) 1(C) 5(B) 3(D) 9【答案】D【解析】試題分析：如圖，畫出可行域,1 .z x 2y表木斜率為一的一組平行線，當 z x 2y過點C 3,3時，目標函數取得最大值2Zmax 3 2 3 9,故選 D.【考點】線性規劃 【名師點睛】本題主要考查簡單的線性規劃.解決此類問題的關鍵

5、是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數賦予幾何意義.求目標函數的最值的一般步驟為：一畫、二移、三求.常見的目標函數類型有：(1)截距型：形如z ax by.求這類目標函數的最值時常將函數z ax by轉化為直線的斜截式:azz .y x -，通過求直線的截距 一的取值間接求出 z的取值；(2)距離型：形如bbb2;(3)斜率型：形如z1 x ,(),則 f(x) 3R上是增函數R上是減函數2z x a y b(5)已知函數f(x) 3x(A)是奇函數，且在(C)是奇函數，且在【答案】A【解析】 xx試題分析：f x 3 x 113x33-yb ,而本題屬于截距形式.x a(B)是偶函數，且

6、在 R上是增函數(D)是偶函數，且在 R上是減函數f x ,所以該函數是奇函數， 并且y 3x是增函數,1y 1 是減函數，根據增函數-減函數=增函數，可知該函數是增函數，故選 A.3【考點】函數的性質【名師點睛】本題屬于基礎題型，根據 f x與f x的關系就可以判斷出函數的奇偶性，判斷函數單調性的方法：（1）利用平時學習過的基本初等函數的單調性；（2）利用函數圖象判斷函數的單調性；（3）利用函數的四則運算判斷函數的單調性，如：增函數+增函數=增函數，增函數-減函數二增函數；（4）利用導數判斷函數的單調性 .（6）設m,n為非零向量，則 存在負數，使得mn ”是 m n<0”的（A）充分

7、而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：著mMOj使城=",則兩向量加，盟用電夾角是1g/,男法麗F =同同8420。=同卜卜若那么兩向量的夾角為F拜不一定反向; 即不一定存在負數彳，使得冽,所以是充分而不必要條件散選A.【考點】向量，充分必要條件【名師點睛】判斷充分必要條件的的方法：（1）根據定義，若 p q,q p,那么p是q的充分不必要條件，同時q是p的必要不充分條件； 若p q ,那么p , q互為充要條件；若p q,q p , 那么就是既不充分也不必要條件 .（2）當命題是以集合形式給出時，那就看包含關系，已

8、知 p:x A, q:x B ,若A B ,那么p是q的充分不必要條件，同時 q是p的必要不充分條件；若 A B ,那么 p , q互為充要條件；若沒有包含關系，那么就是既不充分也不必要條件.（3）命題的等價性，根據互為逆否命題的兩個命題等價，將p是q條件的判斷，轉化為 q是p條件的判斷.（7）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(A) 3后(B) 273【答案】B正（主）視圖(C)【解析】試題分析：幾何體是四棱錐,如圖.側左：，視閆(D) 2Du-J A最長的棱長為補成的正方體的體對角線，即該四棱錐的最長枝的長度為？三廳3萬三2??；故 選B.【考點】三視圖【名師點睛】本題考查

9、了空間想象能力，由三視圖還原幾何體的方法或者也可根據三視圖的形狀，將幾何體的頂點放在正方體或長方體里面，便于分析問題(8)根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與 最接近的是 N(B) 1053(D) 1093(參考數據：lg3=0.48(A) 1033(C) 1073【答案】D【解析1手亂o3Sl試題分析士 設二二y = fj 兩邊取對籟,= 13-l5LO35 =361x13-80 = 93.28, N1渭1小所以，=1產叫即=最接近1。咒故選D N【考點】對數運算【名師點睛】本題考查了轉化與化歸能力，本題以實際問

10、題的形式給出，但本質就是對數的運算關系,以及指數與對數運算的關系，難點是令 x ,并想到兩邊同時取對數進行求解，對數運算公式包 10含 logaM loga N loga MN , loga M loga N loga , log a M n n loga M . N第二部分 (非選擇題 共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。2_(9)若雙曲線x2 1的離心率為 J3 ,則實數m=. m【答案】2【解析】試題分析：a2 1,b2 m,所以m 網,解得m 2. a 1【考點】雙曲線的方程和幾何性質【名師點睛】本題主要考查的是雙曲線的標準方程和雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題.解題

11、時要注意a、b、c的關系，即c2 a2 b2,以及當焦點在x軸時，哪些量表示a2,b2,否則很容易出現錯誤.最后根據離心率的公式計算即可.(10)若等差數列 an和等比數列 0 滿足ai=bi= -1, a4=b4=8,則=.b2【答案】1解析】試題分折；設等差數列的公券建比蛾列的公比分另的/和J則7 +紜=-決=8求得.小 T十三 q = 4 = 3 > 那么*【考點】等差數列和等比數列【名師點睛】等差、等比數列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程(組)問題，因此可以說數列中的絕大部分運算題可看作方

12、程應用題，所以用方程思想解決數列問題是一種行之有效的方法(11)在極坐標系中，點 A在圓 22 cos 4 sin 4 0上，點P的坐標為(1,0),則|AP|的最小 值為.【答案】1【解析】試題分析：將圓的極坐標方程化為普通方程為x2 y2 2x 4y 4 0 ,整理為22-一 / /x 1 y 21 ,圓心為C 1.2，點P是圓外一點，所以AP的最小值就是PC r 2 1 1.【考點】極坐標與直角坐標方程的互化，點與圓的位置關系222【名師點睛】(1)熟練運用互化公式：x y , y sin ,x cos將極坐標化為直角坐標；(2)直角坐標方程與極坐標方程的互化，關鍵要掌握好互化公式，研究

13、極坐標系下圖形的性質時，可 轉化為在直角坐標系的情境下進行.1(12)在平面直角坐標系 xOy中，角”與角3均以Ox為始邊，它們的終邊關于 y軸對稱.若sin,則3cos( ) =.【答案】79【解析】1試題分析：因為 和 關于y軸對稱，所以冗2卜秘 Z,那么sin sin ,3coscos（或 coscos U），3所以coscos cos sinsin22八2cos sin 2sin 1【考點】同角三角函數，誘導公式，兩角差的余弦公式【名師點睛】本題考查了角的對稱關系，以及誘導公式，常用的一些對稱關系包含：若與的終邊關于y軸對稱，則2 2k Ti； kZ ,若 與 的終邊關于x軸對稱，則2

14、k « k Z,若與的終邊關于原點對稱，則冗 2kRk Z .(13)能夠說明 設a, b, c是任意實數.若a>b>c,則a+b>c”是假命題的一組整數a, b, c的值依次為【答案】-1, -2, -3 (答案不唯一)【解析】3 n矛盾，所以T, -乙-3可臉證該命題是假命題一【考點】不等式的性質【名師點睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法.解答本題時利用賦值的方式舉反例進行驗證，答案不唯一.Ai的橫、縱坐標分別為第 i(14)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點名工人上午的工作時間和加工的零件數，點Bi的橫、縱坐標分別為

15、第 i名工人下午的工作時間和加工的零件數，i=1, 2, 3.記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則 Qi, Q2, Q3中最大的是pi , P2, p3中最大的是記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則工作時間(小時)【答案】Q1 p2【解析】試Hi分析：作圖可得44申點輟坐標比鳥&,44中點、的班坐標大,所以0, Q, S中最大的是a.分另蚱是關于原點的對稱點E，4B：；比較直線同當月:必/過的斜率(艮昉第i名工A在 這一天中平均每小時加工的零件數),可得是以最大,所以F-2，四中最大的是此.【考點】圖象的應用，實際應用問題【名師點睛】本題考查了根據實際問題分

16、析和解決問題的能力，以及轉化與化歸的能力，因為第i名工A BAB； -人加工總的零件數是 A B,比較總的零件數的大小，即可轉化為比較A 2 Bi的大小，而 A 2 Bi表示AiBi中點連線的縱坐標，第二問也可轉化為A Bi中點與原點連線的斜率三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)(本小題13分)在那BC 中，A =60°, c=3 a.7(I )求sin C的值；(n )若a=7,求AABC的面積.【答案】(i)氏B； (n) 6招.14【解析】試題分析: a(i)根據正弦定理sinAcsinC求sinC的值；(n)根據條件可知a 7,c 3

17、,根據余弦1定理求出b的值，最后利用二角形的面積公式S -bcsin A進行求解即可23試題解析：(I)在 "BC中，因為 A 60 , c a,7所以由正弦定理得sinC cs” 3- .a 7214(n)因為a 7,所以c 7 3.71由余弦te理 a b c 2bccosA得 7 b 3 2b 3 -,2解得b 8或b 5 (舍).所以GABC的面積S 1 bcsin A 18 3 6石.222【考點】正、余弦定理，三角形面積，三角恒等變換【名師點睛】高考中經常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理實現邊角互化；如果遇到的式子

18、中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.而三角變換中主要是 變角、變函數名和變運算形式 ”，其中的核心是 變角”，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構 差異的依據就是三角公式.(16)(本小題14分)如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面ABCD為正方形，平面PAD，平面 ABCD ,點M在線段PB上，PD/平面 MAC , PA=PD=/6 , AB=4.(I)求證：M為PB的中點；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III )求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【答案】(I )詳見解析;冗/、26n 3；"

19、1T【解析】試題分析：(1 )交點為£ ,連接A二 , 因為線面平行，即尸平面耳4c.根據性質定理,可知線線平行，PDUME ,再由石為3Z?的中點，可知必為日的中點.(II)因為平面ZW 平 面加CZ)j PAPD,所以取加的中點。為原點建立空間直角坐標系J根據向量法先求兩平面的 法向量M , P ,再中魏公式84里辦,求二面甬的大小山口)根據(】【)的結論J直接求|35 (嬴 即可-試題解析：(I)設AC,BD交點為E ,連接ME .因為PD /平面MAC ,平面MACI平面PDB ME ,所以PD / ME .因為ABCD是正方形，所以E為BD的中點，所以 M為PB的中點.2.

20、6UD取血)的中點。,連接QF, 0E因為Ra二FD,所以OP 1AD又因為平面上仞，平面四CD7且。Pu平面H4D,所以。_1平面458因為QEu平面.超8,所以。?一QE.因為13CD是正方形？所以。E_TD.如圖建立空間直角坐標系o-邛上,則P(o：o二W),(2:0:0), 5(-2:4:0),而二(4=-43 而=QOT)uurn BD 0 4x 4y 0設平面BDP的法向量為n (x, y,z),則 山& ，即 :.n PD 0 2x 2z 0令 x 1 ,則 y 1, z72 .于是 n(1,1,J2).平面PAD的法向量為p(0,1,0)，所以 cos<n, p&

21、gt;n p|n| Pl由題知二面角B PD A為銳角，所以它的大小為 -.、2uum(III)由題意知 M ( 1,2,)，C(2, 4,0), MC2 (3,2, ?).設直線MC與平面BDP所成角為，則sinuuuuuuuu |n MC | |cos<n,MC>| uuuu|n|MC|2.69所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為【考點】線線、線面的位置關系，向量法【名師點睛】本題涉及立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質，全面考查立體幾何中的證明與求 解，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種常見且有 效的方法，要注意建立適當的空間直

22、角坐標系以及運算的準確性（17）（本小題13分）為了研究一種新藥的療效，選 100名患者隨機分成兩組，每組各 50名，一組服藥，另一組不服藥.一段 時間后，記錄了兩組患者的生理指標 x和y的數據，并制成下圖，其中 “*表示服藥者，“+表示未服藥 者.17指標T（I ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（n ）從圖中A, B, C, D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標 x的值大于1.7的人數，求的分布列和數學期望 E（）;（出）試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差與未服藥者指標 y數據的方差的大小.（只需寫出結 論）【答案】（I ） 0.3；（ n

23、）詳見解析；（出）在這100名患者中，服藥者指標 y數據的方差大于未服藥者 指標y數據的方差.【解析】試題分析：（I）根據所給圖數出 y 60的人數，再除以 50就是概率；（n）由圖可知 A,C兩人的指標x 1.7,根據超幾何分布寫出分布列,0,1,2, Pk 2 kC2c2C20,1,2 ,并求數學期望；（出）方差表示數據的離散程度，波動越大，方差越大，波動小，方差小試題解析N I)由圖知F在服藥的50名患者用,指標)的值小于60的有養人I15所以從服藥的50名患者中隨機選出一大，此人指標F的值小于60的概率為京=0.3 .(H)由圖知，"BCD四人中，指標工的值大于1J的有2人；

24、A和C.所以Y的所有可能取值為0.L2.P(0)c2C2i6，P(i)CcC23，P(c22) -4C2所以的分布列為012P162316121故的期望E( ) 011-2-1.636(出)在這100名患者中，服藥者指標 y數據的方差大于未服藥者指標y數據的方差.【考點】古典概型，超幾何分布，方差的定義【名師點睛】求分布列的三種方法：(1)由統計數據得到離散型隨機變量的分布列；(2)由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發生的概率及n次獨立重復試驗有 k次發生的概率求離散型隨機變量的分布列.(18)(本小題14分)已知拋物線C: y2=2px過點P(1,

25、 1).過點(0, 2)作直線l與拋物線C交于不同的兩點 M, N,過點M作x軸的垂線分別與直線 OP, ON交于點A, B,其中O為原點.(I )求拋物線 C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(II)求證：A為線段BM的中點.211【答案】(I)萬程為y2 x,拋物線C的焦點坐標為(-，0),準線萬程為x - ; (n)詳見解析. 44【解析】試題分析：(I)代入點P求得拋物線的方程，根據方程表示焦點坐標和準線方程；(n)設直線I的方程為y kx 1 (k 0),與拋物線方程聯立，再由根與系數的關系，及直線 ON的方程為y &x, 2x2聯立求得點B的坐標為（x1,絲），再證明y1x

26、2x1y22x1X20.試題解析:（I）由拋物線C: y2 2Px過點P(11),得所以拋物線C的方程為y2x.拋物線C的焦點坐標為（1, 0）,準線方程為4（ID由題意,設直線的方程為工啟一月與拋物股C的交點為NO妁）一V =A1-,由彳 2+(4fc-4)x-l = 0.卜=見看一餐=營，玉/=金因為點p的坐標為（b i）,所以直線的方程為點x的坐標為直線QV的方程為"生力點H的坐標為（描也）因為y1生2x1x2y1x2 y2x1 2x1x2X2八 1、 八(kx1 -)x2 (kx21、 C2)x1 2xx2X2 1(2 k 2)x1x2 2(x2 x1)x211(2 k 2)

27、24k 2kX20,所以y1型2xi .x2故A為線段BM的中點.【考點】拋物線方程，直線與拋物線的位置關系【名師點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系，考查了轉化與化歸能力，當看到題目中出現直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數的關系，找準題設條件中突顯的或隱含的等量關系，把這種關系 翻譯”出來即可，有時不一定要把結果及時求出來，可能 需要整體代換到后面的計算中去，從而減少計算量(20)(本小題13分)已知函數f(x) excosx x.(i )求曲線y f (x)在點(0, f (0)處的切線方程；(n)求函數f (x)在區間0,-上的最大值和最小值.

28、【答案】(i)y 1； (n)最大值為1；最小值為 .2【解析】試題分析：(I )根據導數的幾何意義，先求斜率,再代入攤叁方程公式d (O)='(G(h-0)中 即可I(II)設求/幻，根據Y(x)vo璐定畫較由的單調性，根據里調施求困 教的最大值力(。)=0,可以知網力=/口)。恒成工 所以函封是單調遞混函數，*魏單 調性求最值.試題解析：(I )因為f(x) excosx x ,所以 f (x) ex (cosx sin x) 1, f (0) 0.又因為f(0) 1 ,所以曲線y f (x)在點(0, f(0)處的切線方程為y 1.(口)設 h(x) ex(cosx sin x)

29、 1 ,貝U h (x) ex(cosx sinx sin x cosx)2exsin x.當 x (0,-)時，h(x) 0,2 TT所以h(x)在區間0,-上單調遞減.2 兀一所以對任意 x (0,有 h(x) h(0) 0,即 f (x) 0. 2-.、.TT所以函數f (x)在區間0,-上單調遞減.2因此f(x)在區間0,上的最大值為f (0) 1,最小值為f (-)-.222【考點】導數的幾何意義，利用導數求函數的最值這名師點睛】這道導數題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點是需要兩次求導數，因為通過 f x不能直接判斷函數的單調性，所以需要再求一次導數，設 h x f x , 再求h x , 一般這時就可求得函數 h x的零點，或是h x 0或h x 0恒成立，這樣就能知道 函數h x的單調性，根據單調性求最值，從而判斷 y f x的單調性，求得最值.設an和bn是兩個差C 列，記Cnmax biain, b2a2n, bnann( n1,2,3,) ,其中maxx,x2, ,xs表示x1,x2, ,xs這s個數中最大的數.(i )若an n , bn 2n 1,求G,Q,C3的值，并證明Cn是等差數列；(n)證明：或者又任意正數 M ,存在正整數 m,當n m時，cn m ；或者存在正整數 m,