1、目錄第一講速算與巧算 1（一）加減法中的計算 2（二）乘除法中的計算 3第二講找規律 6（一）豎列規律 6（二）圖形規律 8第三講數字謎 9（一） 橫式字謎 9（二）豎式字謎 12（三）趣味九宮格 15第四講圖解法解應用題 17第五講列方程式解應用題 20第六講植樹問題 21第七講 雞兔同籠問題 25第八講移多補少平均數 27第九講歸一問題 29第十講倒推法 33第十一講列舉法 36第十二講奇數與偶數 40第十三講 周期性問題 44第十四講 有趣的幾何圖形 46第十五講邏輯推理 50第十六講一筆畫 52第十七講火柴棍游戲 55(一)擺圖形游戲 55(二)移動火柴，變換圖形游戲 56(三)去掉火

2、柴，變換圖形游戲 57第一講速算與巧算計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計 算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛 煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。森林王國的歌舞比賽進行得既緊張又激烈。選手們為爭奪冠軍，都在舞臺上發揮著自 己的最好水平。臺下的工作人員小熊和小白兔正在統計著最后的得分。由于他們對每個選 手分數的及時通報，臺下的觀眾頻頻為選手取得的好成績而熱烈鼓掌，同時，觀眾也帶著 更濃厚的興趣邊看邊猜測誰能拿到冠軍。觀眾的情緒也影響著兩位分數統計者。只見分數一到小白兔手中，就像變魔術般地得出了 答

3、案。等小熊滿頭大汗地算出來時，小白兔已欣賞了一陣比賽，結果每次小熊算得結果和 小白兔是一樣的。小熊不禁問：“白兔弟弟，你這么快就算出了答案，有什么決竅嗎？”小白兔說：“比如2號選手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91,去掉最高分98,去掉最低分87,剩下的都接近90為基準數，超過90的表示成90+ 零頭數，不 足 90 的表示成 90-零頭數'。于是(93+95+96+88+89+91+93+91 +8=90+ (3+5+6-2 1+1+3+1) +8=90+2=92 你可以試一試。”小熊照著小白兔說的去做，果然既快又對。這下小熊明白了，掌握了速算的技巧， 在工

4、作和生活中的作用很大。它不僅可以節省運算時間，更主要的是提高了我們的工作效 率。我們在進行速算時，要根據題目的具體情況靈活運用有關定律和法則，選擇合理的方 法。下面介紹在整數加減法運算中常用的幾種速算方法。(一)加減法中的計算一、例題與方法指導：例1、用簡便方法計算下面各題：(1) 63+48+173+37+52(2) 9+99+999+9999+4例2、用簡便方法計算計算下面各題：(1) 1000 90- 80-20-10(2) 1508-561 + 61例3、用簡便方法計算計算下面各題：(1)576+ (432-176)(2)1689+ 999-689例 4、計算( 22+24+26 +

5、28+30+32) (21 + 23+25+ 27+29+31)二、訓練鞏固1 .用簡便方法計算計算下面各題：(1)1362+973+ 638+272 .下面各題，怎樣簡便就怎樣計算:(1)1886+19983 .計算：(1)1088+988+88+364 .計算： 7443+ 2485+ 567+ 245 5426- 2995(2)49999+ 4999+ 499+ 49+ 4(1) 103+ 99+ 103+ 97+ 106+ 102+ 98+ 98+101+102三、拓展提升1 .用簡便方法計算下面各題：(1)9+ 99+999+ 9999 4996+ 3993+ 2992+ 1991

6、+ 982 .下面各題，怎樣簡便就怎樣計算：(1)93+ 92+ 88+ 89+ 90+ 91 + 88 + 87+ 94+89(2)20+19- 18-17+16+ 15- 14-13+12+11-10-9+8+7-6-5 + 4+3-2-13 .計算下面各題：(1) (38+42 + 46+50+54+58+62+66+70) ( 37+41 + 45 + 49+53+57+61 + 65 + 69)(2) ( 1999+1997+1995+ 3+1) ( 1998+ 1996+ 1994+4+2)(二)乘除法中的計算一、例題與方法指導：兩個數之和等于10,則稱這兩個數 互補。在整數乘法運

7、算中，常會遇到像 72X78, 26 X 86等被乘數與乘數的十位數字相同或互補，或被乘數與乘數的個位數字相同或互補的情 況。72X 78的被乘數與乘數的十位數字相同、 個位數字互補，這類式子我們稱為“頭相同、 尾互補”型；26X86的被乘數與乘數的十位數字互補、個位數字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。例 1 (1) 76X74=?(2) 31X39=?思路導航：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。(1)由乘法分配律和結合律，得到76X74=(7+6) X (70+4)=(70+ 6) X 70+ (7+

8、6) X 4二 70X70+6X 70+70X4 + 6X4= 70X (70 + 6 + 4) +6X4= 70X (70+10) +6X4=7X (7+1)義 100+ 6X4。于是，我們得到下面的速算式：(2)與(1)類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因數 的個位數之積(不夠兩位時前面補0,如1X9=09),積中從百位起前面的數是被乘數 (或 乘數)的十位數與十位數加1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾x尾” 前面是“頭X (頭+1)”。我們在學到的15X15, 25X 25,，95X 95的速算，實際上就是“

9、同補”速算法。例 2 (1) 78X38=? (2) 43X 63= ?思路導航：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。(1)由乘法分配律和結合律，得到78X38=(70+ 8) X ( 30+ 8)=(70+ 8) X 30+ (70+ 8) X 8=70 X 30+8X 30+ 70X8+8X8= 70X30+8X (30+ 70) + 8X8= 7X3X100+ 8X 100+ 8X8=(7X3+8) X 100+8X8。于是，我們得到下面的速算式：(2)與(1)類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因數 的個位數之積(不夠兩位時前面

10、補 0,如3X 3= 09),積中從百位起前面的數是兩個因數 的十位數之積加上被乘數(或乘數)的個位數。“補同”速算法簡單地說就是：積的末兩位數是“尾x尾”，前面是“頭x頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數乘以兩位數的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數 和乘數多于兩位時，情況會發生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數的和是10, 100, 1000,時，這兩個數互為補數，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當被乘數與乘數前面的幾位數相同，后面的幾位數互補時，這個算式 就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如 70 77 X70 23

11、,因為被乘數與乘數的 前兩位數相同，都是70,后兩位數互補，77+ 23=100,所以是“同補”型。又如1 48 X 1 52 , 23 8 X23 2等都是“同補”型。當被乘數與乘數前面的幾位數互補， 后面的幾位數相同時，這個乘法算式就是“補同” 型，即“頭互補，尾相同”型。例如， 73 4X27 4, 98 26X 2 26, 6 81 X4 81等都是“補 同”型。在計算多位數的“同補”型乘法時，例 1的方法仍然適用。例 3 (1) 702X708=? (2) 1708X1792=?解：(1)(2)計算多位數的“同補”型乘法時，將“頭X (頭+1)”作為乘積的前幾位，將兩個互補數之積作為

12、乘積的后幾位。注意：互補數如果是n位數，則應占乘積的后2n位，不足的位補“ 0”。在計算多位數的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數相同，那么例2的方法仍然適用(見例4);如果“補”與“同”的位數不相同，那么例 2 的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例 4 2865X 7265=?解:二、訓練鞏固計算下列各題:2.93 X97;4.79 X39;6.603 X607;8.4085 X 6085。1.68 X62;3.27 X 87;5.42 X 62;7.693 X 607;第二講找規律(一)豎列規律按照一定次序排列起來的一列數，叫做數列。如自然

13、數列：1、2、3、4；雙數列:2、4、6、8。我們研究數列，目的就是為了發現數列中數排列的規律，并依據這個規 律來填寫空缺的數。按照一定的順序排列的一列數，只要從連續的幾個數中找到規律，那么就可以知道其 余所有的數。尋找數列的排列規律，除了從相鄰兩數的和、差考慮，有時還要從積、商考 慮。善于發現數列的規律是填數的關鍵。一、例題與方法指導例1在括號內填上合適的數。(1) 3, 6, 9, 12,(),()(2) 1, 2, 4, 7, 11,(),() 2, 6, 18, 54,(),()及監導朋；(1)在數列3, 6, 9, 12,(),()中，前一個數加上3就等于后一個數，相鄰兩 個數的差都

14、是3,根據這一規律，可以確定()里分別填15和18;(2)在數列1, 2, 4, 7, 11,(),()中，第一個數增加1等于第二個數，第二個 數增加2等于第三個數，也就是相鄰兩個數的差依次是 1, 2, 3, 4這樣下一個數應為 11增加5,所以應填16;再下一個數應比16大6,填22。(3)在數列2, 6, 18, 54,(),()中，后一個數是前一個數的3倍，根據這一規 律可知道()里應分別填162和486。例2先找出規律，再在括號里填上合適的數。(D 15, 2, 12, 2, 9, 2,(),();(3) 21, 4, 18, 5, 15, 6,(),();思一路導航.；(1)在15

15、, 2, 12, 2, 9, 2,(),()中隔著看，第一個數減3是第三個數，第三 個數減3是第五個數，第二、四、六的數不變。根據這一規律，可以確定括號里分別應填 6、2;(2)在21, 4, 18, 5, 15, 6,(),()中，隔著看第一個數減 3為第三個數，第 三個數減3為第五個數。第二個數增加1為第四個數，第四個數增加1是第六個數。根據 這一規律，可以確定括號里分別應填 12和7。二、訓練鞏固1,在括號里填數。(1) 2, 4, 6, 8, 10,(),()(2) 1, 2, 5, 10, 17,(),()2,按規律填數。(1) 2, 8, 32, 128,(),() 1, 5, 2

16、5, 125,(),()3,先找規律再填數。(D 2, 1, 4, 1, 6, 1,(),() 3, 2, 9, 2, 27, 2,(),()(3) 12, 1, 10, 1, 8, 1,(),()4,在括號里填數。答(D 18, 3, 15, 4, 12, 5,(),()(2) 1, 15, 3, 13, 5, 11,(),()(3) 1, 2, 5, 14,(),()(二)圖形規律一、例題與方法指導例：根據前面圖形里的數的排列規律，填入適當的數。及蹌目航；(1)橫著看，右邊的比左邊的數多 5,豎著看，下面的數比上面的數多 4。根據這一 規律，方格里填18;(2)通過觀察可以發現，前兩個圖形

17、三個數之間有這樣的關系：4X8+2=16, 7X8+ 4=14,也就是說中心數是上面的數與左下方數的乘積除以右下方的數。根據這個規律， 第三個圖形空格中的數為9X4 + 3=12;(3)橫著看，第一行和第二行中，第一個數除以 3等于第二個數，第一個數乘3等于 第三個數。根據這一規律，36X3=108就是空格中的數。2.訓練鞏固1 .根據規律，在空格內填數。(1) 187, 286, 385, (),()；思路導航：(1)在187, 286, 385,(),()中，十位上的數字8不變，百位上的數字是 1, 2, 3依次增加1,個位上的數字是7, 6, 5依次減少1,并且百位上的數字與個 位上的數

18、字的和為8。根據這一規律，括號里應填 484, 583;(2)通過觀察可以發現，前兩個圖形之間有一定聯系：左上數十位上的數字和右上數個 位上的數字分別與下面數的千位、個位上的數字相同；左上數與右上數十位上的數字之 和為下面數的百位上的數字,左上數與右上數個位上的數字之和為下面數的十位上的數 字。根據這一規律，空格內應填 3594。第三講數字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”(打一城市名)。謎底你還記得嗎？記不得也沒關系，想想“空中”指什么？ “天”。這個地名第1個字可能是 大。“碼頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯系這個地名開頭是“天”字，容易想到“天津” 這個地名，而“津

19、”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說一道算式中的某些數字被蟲子吃掉了無法辨認， 需要運用四則運算各部分之間的關系，通過推理判定被吃掉的數字，把算式還原。“蟲食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數字常常用口、等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數字，在同一道 算式中不同的文字或字母表示不同的數字，相同的數字或字母表示同一個數字。文字算式 謎也是最難的一種算式謎。在數學里面，文字也可以組成許許多多的數學游戲，就讓我們一起來看看吧。(一)橫式字謎一、例題與方法指導例1 口，口8, 口97在上面的3個方

20、框內分別填入恰當的數字，可以使得這 3個數的 平均數是150。那么所填的3個數字之和是多少？陽趴號航；150*3-8-97-5=340所以3個數之和為3+4+5=12例2在下列算式的口中填上適當的數字，使得等式成立：(1) 6口口4+56=口0口，(2) 7口口8+37=口 1口，(3) 3口口3+2口二口 17,(4) 8口口口+ 58=口口6。分析：(1) 6104/56=109(5) 7548/37=204(6) 3393/29=117(7) 8468/58=146例3 在算式40796+口口口 = 9998的各個方框內填入適當的數字后，就可以使 其成為正確的等式。求其中的除數。分析：4

21、0796/102=39998 。例4 我學數學樂X我學數學樂=數數數學數數學學數學在上面的乘法算式中，“我、學、數、樂”分別代表的4個不同的數字。如果“樂” 代表9,那么“我數學”代表的三位數是多少？例5 + (-) =24在式中的4個方框內填入4個不同的一位數，使左邊的 數比右邊的數小，并且等式成立。思晝導頊.：這樣，我們可以先用字母代替數字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,(a<b<c<d)當 a=1 時，有 6*8/2=24 , 8*9/3=24 ;當 a=2 時，有 4*9/3=12 , 6*8/4=12 , 8*9/6=12 ;所

22、以，滿足要求的等式有：1+ (2+6+8) =24, 1+ (3+ 8+9) =24, 2+(3+4+9) =24, 2+ (4+ 6+8) =24, 2+ (6+8+9) =24。例6 口乂口=5口；12+ =,把1至9這9個數字分別填入上面兩個算式的各個方框中，使等式成立，這里有 3個數字已經填好。分析：根據第一個等式，只有兩種可能：7*8=56, 6*9=54;如果為7*8=56,則余 下的數字有：3、4、9,顯然不行；而當6*9=54時，余下的數字有：3、7、8,那么，12+3-7=8 或12+3-8=7都能滿足。二、訓練鞏固1 .迎迎X春春=杯迎迎杯，數數X學學 吸賽賽數，春春X春春

23、=ffl迎賽賽在上面的3個算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。如果這3個等式都成立，那么，“迎+春+杯+數+學+賽”等于多少？分析：考察上面三個等式，可以從最后一個等式入手：能夠滿足：春春x春春=迎迎賽賽的只有88*88=7744,于是,春=8,迎=7,賽=4;這樣，不難得到第一個為：77*88=6 776,第二個為：55*99=5445;所以，迎 + 春 + 杯 +& + 學 + 賽=7+8+6+5+9+4=392 .迎+春X春=迎春，(迎+杯)乂 (迎十杯)=迎杯在上面的兩個橫式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。那 么“迎+春+杯”等于

24、多少？分析：同樣可以從第二個算式入手，發現滿足要求的只有(8+1) * (8+1) =81,于是， 迎=8;這樣，第一個算式顯然只有：8+9*9=89;所以，迎+春+杯=8+9+1=18三、拓展提升1 .在下列各式的口中分別填入相同的兩位數：(1)5 乂口=2口；(2)6 乂口=3口。2 .將39中的數填入下列各式，使算式成立，要求各式中無重復的數字：(1) 口 + 口 =口+ 口；(2) 口 + 口口+ 口。3 .在下列各式的口中填入合適的數字：(1)448 +口口 =口；(2)2822 +口口 =口口；(3)13 X 口口 = 4口6。4 .在下列各式的口中填入合適的數：(1) 口 + 3

25、2=831;(2)573 +32=口29;4837 + 口 = 7427。答案與提示？練習224.(1)287 ; (2)17 ; ()65 。(二)豎式字謎例1在圖4-1所示的算式中，每一個漢字代表一個數字，不同的漢字代表不同的數字.那么“喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數是多少？分析：首先看個位，可以得到“歡”是 0或5,但是“歡”是第二個數的十位， 所以“歡”不能是0,只能是5。再看十位，“歡”是5,加上個位有進位1,那么，加起來后得到的“人”就應該是偶數，因為結果的百位也是“人”，所以“人”只能是 2;由此可知，“喜”等于8。所以，“喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數就是85。例2在圖4-2所

26、示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數 字.如果：巧+解+數+字+謎=30,那么“數字謎”所代表的三位數是多少？分析：還是先看個位，5個“謎”相加的結果個位還是等于“謎”，“謎”必定 是5（0顯然可以排出）；接著看十位，四個“字”相加再加上進位2,結果尾數還是“字”， 那說明"字”只能是6;再看百位，三個“數”相加再加上進位2,結果尾數還是“數”， “數”可能是4或9;再看千位，（1）如果“數”為4,兩個“解”相加再加上進位1, 結果尾數還是“解”，那說明"解”只能是9;5+6+4+9=24,30-24=6, “巧”等于6與“字” 等于6重復，不能；（

27、2）如果“數”為9,兩個“解”相加再加上進位2,結果尾數還 是“解”，那說明"解”只能是 8; 5+6+9+8=28, 30-28=2,可以。 所以“數字謎”代表 的三位數是965。例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同 的數字.請把這個豎式翻譯成數字算式.分析：首先萬位上“華” =1;再看千位，“香”只能是8或9,那么“人”就相 應的只能是0或1。但是“華” =1,所以，“人”就是0;再看百位，“人” =0,那么， 十位上必須有進位，否則“港”+ “人”還是“港”。由此可知“回”比“港”大 1,這樣就說明“港”不是9,百位向千位也沒有進位。于是

28、可以確定“香”等于9的；再看十位， “回” + “愛”="港”要有進位的，而“回”比“港”大 1,那么“愛”就等于8;同時， 個位必須有進位；再看個位，兩數相加至少12,至多13,即只能是5+7或6+7,顯然“港” =5, “回” =6, “歸” =7。 這樣，整個算式就是：9567+1085=10652例4圖4-4是一個加法豎式，其中E, F, I , N, O, R S, T, X, Y分別表示從0到9 的不同數字，且F, S不等于零.那么這個算式的結果是多少？分析：先看個位和十位，N應為0, E應為5;再看最高位上，S比F大1;千位上 O最少是8;但因為N等于0,所以，I只能是

29、1, O只能是9;由于百位向千位進位是2, 且X不能是0,因此決定了 T、R只能是7、8這兩個；如果T=7, X=3,這是只剩下了 2、4、 6三個數，無法滿足S、F是兩個連續數的要求。所以，T=8、R=7;由此得到X=4;那么， F=2, S=3, Y=&所以，得到白算式結果是 31486。二、訓練鞏固1 .在圖4-5所示的減法算式中，每一個字母代表一個數字，不同的字母代表不同的數 字.那么D+第于多少？分析：先從最高位看，顯然A=1, B=0, E=9;接著看十位，因為E等于9,說明個 位有借位，所以F只能是8;由F=8可知，C=7;這樣，D G有2、4, 3、5和4、6三種 可能

30、。所以，D+ G就可以等于6, 8或10。2 .王老師家的電話號碼是一個七位數，把它前四位組成的數與后三位組成的數相加得 9063,把它前三位數組成的數與后四位數組成的數相加得2529.求王老師家的電話號碼.分析：我們可以用abcdefg來表示這個七位數電話號碼。由題意知， abcd+efg=9063, abc+defg=2529;首先從第一個算式可以看出，a=8,從第二個算式可以看出，d=1；再回到第一個算式， g=2,掉到第二個算式，c=7;又回到第一個算式，f=9,掉到第二個算式，b=3;那么，e=6o 所以，王老師家的電話號碼是 8371692。3 .將一個四位數的各位順序顛倒過來，得

31、到一個新的四位數.如果新數比原數大7902, 那么在所有符合這樣條件的四位數中，原數最大是多少？分析：用abcd來表示愿四位數，那么新四位數為 dcba, dcba-abcd=7902；由最高為看起，a最大為2,則d=9;但個位上10+a-d=2,所以，a只能是1;接下來看百位, b最大是9,那么，c=8正好能滿足要求。所以，原四位數最大是 1989。三、拓展提升1 .已知圖4-6所示的乘法豎式成立.那么 ABCD是多少？分析：由 1/7 的特點易知，ABCDE=42857142857*3=428571。2 .某個自然數的個位數字是4,將這個4移到左邊首位數字的前面，所構成的新數恰 好是原數的

32、4倍.問原數最小是多少？分析：由個位起逐個遞推：4*4=16,原十位為6; 4*6+1=25,原百位為5; 4*5+2=22, 原千位為2;4*2+2=10,原萬位為0; 1*4=4 ,正好。所以，原數最小是102564。3 .在圖4-7所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數 字.則符合題意的數“迎春杯競賽贊”是多少？分析：同第10題一樣，也是利用1/7的特點。因為每個字母代表不同的數字，因 此“好”只有3和6可選：好=3,貝142857*3=428571;妤=6,則:142857*6=857142;兩個都能滿足，所以， 符合題意的數“迎春杯競賽贊”可能是 428571

33、或857142。(三)趣味九宮格九宮格型數字推理即在九宮格中已知 8個數，根據已知數之間的關系，求出未知的項 此種類型的觀察角度為橫向、縱向、對角線，考查最多的是橫向，一般考查三個數之間的 線性關系，可從大數入手考慮。有時，會整體考，比如行列各個數之和的關系。1.A. 7【答案】。2.A . 27【答案】D=3.A. 14.【答案】A 4.D. 920, (30), 40,是等差數列。D. 183等于第三個數。(63-9) +3= (18)B. 5C. 3解析：每行三個數字之和依次是B. 8C. 21解析：每行前兩個數字之差除以2B. 16. 4 C. 18. 6 D. 15解析：每行第一個數

34、字加1等于后兩個數字之和A. 6. 1 B. 5. 3C. 4D. 2【答案】D=解析：從每行來看,第一個數字加 2,再乘以第三個數字等于中間數字。5.A. 20. 4 B. 18. 6C. 11. 6 D. 8. 6【答案】B。解析：每行第三個數字減去第二個數字，再乘以2等于第一個數字。第四講圖解法解應用題一、例題與方法指導例1小明早晨起床，要完成這幾件事：起床穿衣5分鐘，刷牙洗臉6分鐘，在火爐上燒水煮面要16分鐘，整理房間8分鐘，為了盡快做完這些事，最少要 分鐘.例2 ”隊員p加植樹勞制;每人植樹2棵，如果一個人挖坑，一個要25分，運樹苗一 趟（最多可運4棵央28期見、桶用（啰 4棵樹）要

35、10分,栽好一棵樹要10分.現以兩個 人為一小組合作,顫扁而逾少扁二:臉分鐘.思路導航：所以f夕5用即85例13 W兩地相距6千米，小品從甲地、小、75 分，.，地往返行走，九 , 一 一 種1棵樹'紅從同時叫而/出發后40分鐘，兩人第一次相遇.小紅到達甲村后以M完低高甲村2千米處,兩人第二次相遇,求小品和小丑的速度各是思路導航運苗*提水*挖1個坑.二栽3棵樹&扁5千米/小將闡、紅4千米254才監定1 4全程要40澄,3 4應是40X3 + 60=2（小時）晶晶:（6 + 4） +2=5（千米/小將>紅：（6+2） +2=4（千米/小腕例4早，108 J）,小明坡學回家，

36、8行午中唐,周老師騎車追他，在離學校4千米的地方 追上了他，然后用老師立即回校，回到校后又追小明，第二次追上時剛好離家8千米，求這時 是 時 分.理監導航；早工10點8分放學，小明從學校回家，8分鐘后，周老師騎車追他，追上時離校4千米, 后來老師馬上回校后又追他，追上時小明也只走了 4千米，從下圖可知，照后來速度算，周老 師前面應走4X3=12（千米）.因為少走8分鐘，所以少走12-4=8千米.所以現在時間應 是:10:08+0.08+0.16=10:32.校1二、鞏固訓練 4千米,4千米1. A，B, C,3, E五位同孑如鄧單循環比賽，已知A, B, C D已經賽過的盤數依次為4,3,2,

37、1 盤，的寸|3賽了 /盤.2 .有號碼為1,2,3,4 危言 ,在一次比賽中獲得了前4名，已知：每個運動員的 號碼都與自己的名次不符；某運動員的名次是第四名運動員的號碼，而此人的號碼又是2 號運動員的名次.3號運動員不是第一名，那么1號得 一名，二號得 名，三號得 名，四號得 名.3 .四名棋手進行循環比賽，勝一局得2分，平一局得1分，負一局得0分.如果各人得的 總分不同，第一名不是全勝，那么，至多有 局平局.4 .京華小學五年級學生采集標本，采集昆蟲標本的有25人，采集植物標本的有19人, 兩種標本都采集的有8人,全班共40人,沒有采集標本的有 人. 答案：1. 兩盤.用連線表示兩人已賽過

38、一場，A應畫四條線，B應畫3條，但不能連D,又有一條AB所 以，B只畫BC BE從C出發應有兩條，已有.所以E只賽了兩盤.2. 1號第三,2號第一 ,37四,4號第二.由、可知，還噩4,依題意畫圖如下：V 4-3" / /1-2- 32缸I C D4 <34L 4 1-3 o- 1福以上六種情況中，符合題意的只有方案.3. 3 局.四名棋手應賽4X3 + 2=6（局），應決出2X 6=12（分）又各人得分不同，且第一名不是全勝，可知他們得分只有：12=5+4+2+1或 12=5+4+3+0 兩種.再由“平局最多”可決定甲5分，乙4分，丙2分，丁 1分.這樣應：4. 4 人.甲十

39、理丙作下圖：勝/.40-（25+19-8）=4（人贖任由物標本三、拓展提升I1 .有100名旅客，25 A0儀為9卻又不懂俄語，有75人懂英語,83人懂俄語，既懂 英語又懂俄語的有a. V/ y2 .某班數字、英語的期注汴殺績如* ，英語得100分的有12人,數學得100分的有 10人，兩門功課都得100劑粕呼時兩門功課都未得100分的有26人,這個班有學生 人.答案：9. 68人 作下圖：不強83人10人5+83-(100-10)=610. 45 1獴人作12+<W10人.第五講列方程式解應用題、例題與方;得100曰r312人例1買:irf推00果26W幼兒園大班的小朋友，如果每人分3

40、個，那么還剩32個.如果 每人卬8個，還肯看個小朋友小不到蘋果.這批蘋果的個數是多少個？蘋果數不變（抓不變量）、間接設未知數例2 一條鯊魚，頭長3米，身長等于頭長加尾長，尾長等于頭長再加上半個身長，這 條魚全長多少米？間接設未知數設鯊魚身長x米。身長二頭長十尾長，尾長= x +2+ 3 身長=3+ x + 2+ 3,例3雞、兔共60只，雞腳比兔腳多60只。問：雞、兔各多少只？解答：假設60只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳120只，而兔的腳數為零。這樣雞腳 比兔腳多120只，而實際上只多60只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多 120-60=60（只）。現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少 2只

41、，兔腳增加4只，即雞腳比兔 腳多的腳數中就會減少4+2=6（只），而60+ 6=10,因此有兔子10只，雞60-10=50（只）。 二、鞏固訓練1.有一些糖，每人分5塊多10塊；如果現有的人數增加到原人數的1.5倍，那么每 人4塊就少2塊.問這些糖共有多少塊？解，等量關系為兩種分法的糖總數不變設開始共有x人,5x+10=4X 1.5x-2 ,解得x=12,所以這些糖共有12X5+10=70塊.2.甲、乙、丙、丁四人今年分別是16、12、11、9歲。問：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍？解答：這是一道年齡問題，也可以用方程來解決。等量關系為：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2

42、倍。關鍵：在相同的時間內，每個人增加或減少的年齡是相同的。設x年前，甲乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.16+12-2x=2 X （11+9-2x）,解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.第六講植樹問題不封閉T封閉只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些樹木的問 距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數之間存在著確定的關系，我們把這種關系叫 做“植樹問題”。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的） 。蜂封閉型的和不封閉型的植樹問題，區別在于間隔數（段數）與棵數的關系：1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其

43、路長、間距、棵數的關系是:棵數=艘+1=路長+間距+i u但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數的關系就是:如果兩端都不植樹，那么棵數比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數的關系 就是：棵敷二段數一 1二路長：間距一12、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：植樹問題的三要素：總路線長、間距（棵距）長、棵數.只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個.植樹問題的分類：直線型的植樹問題 封閉型植樹問題 特殊類型的植樹問題 一、例題與方法指導例1有一條公路長1000米，在公路的一側每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵 ？ 思路導航：每隔5汞栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳

44、之間的距離 5米為一段。公路的全長1000米，分 成5米一段，那么里包含有1000+ 5=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的 棵數比分成的段數多1,所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2 株夾枝桃，可栽柳樹多少株？可栽夾枝桃多少株？兩株夾枝桃之間相距多少米？思路導航：在圓周上植樹時，由于可栽的株數等于分成的段數， 所以，可栽柳樹=1350+ 9=150株； 由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數（段數）為150,所以栽夾枝桃的株數=2X 150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地

45、栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之間 的距離=9+ （2+1）=3（米）。例3 一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現在要進行 調整，變成每12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移 動？ 思路導航：16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為 8米，則共有16-1=15個間隔，這條街的 總長度為8X15= 120（米）；現在要調整為每12米一個廣告牌，那么不移動的牌離端點的 距離一定既是8的倍數，同時也是12的倍數；8X3=12X 2=24,也就是說，每24米及其 倍數處的廣告牌可以不需

46、要移動；120+ 24=5,即段數為5個，但要扣除兩端的2個，所 以，中間不需要移動的有5-1=4個。事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如， 與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問 題又稱上樓梯問題。二、鞏固訓練1某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？思路導航：要求還需要多少秒才能到達，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，并且知道從4樓走到8樓共需要走幾層樓梯。從1層走到4層，事實所爬的層數只是4-1=3層，所以上一層樓 梯需要的時間是4

47、8+ （4-1） =16 （秒）；又，從4樓走到8樓共需走8-4=4層樓梯，所以 還需要的時間是16X4=64秒。2光華路小學三年級學生有125人參加運動會入場式，他們每 5人一行，前后每行間 隔為2米，主席臺長42米，他們以每分鐘45米的速度通過主席臺需要多少分鐘？ 思路導航：125人參加運動會入場式，每5人一行，共排了 125+ 5=25行，那么這里25行就相當 于直線上的25棵樹，所以，這列隊的長度為兩端植樹的路的長度，全長是 2X （25-1）=48 米；這列隊伍通過主席臺，所走的總路程應該是隊伍長度與主席臺長度之和，即：48+42=90米，所以，他們通過主席臺的時間是 90+45=2

48、分鐘。3下圖是五個大小相同的鐵環連在一起的圖形，它的長度是多少？十個這樣的鐵環連 在一起有多長？M-+! J4- 14厘米E亳米思路導航：根據上圖所示，要求出它的總長度是多少，關鍵是求出重疊部分需要扣除的長度。每 一個鐵環的厚度為6毫米，注意到重疊部分，后面連上的鐵環將有 2個厚度是重疊的，也 就是說實際每加一個鐵環所延伸的長度為 4厘米-2X6毫米=40毫米-12毫米=28毫米；根 據我們前面所講的植樹問題，五個鐵環連在一起，“環扣”數為5-1 =4(個),所以，五個大小相同的鐵環連在一起時，總長度為40+4X 28= 152(毫米)。同理，十個鐵環連在一起的長度為 40+ (10- 1)

49、X 28=292(毫米)。4 一個木工把一根長24米的木條鋸成了 3米長的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需 多少分鐘？思路導航：要求需要的時間，我們就要弄清楚共需鋸幾次。 24米長的木條里面包含有 24+ 3=8個3米，8段有8-1=7個間隔，即木工只需鋸7次，那么，每次5分鐘, 一共需要用時5X7=35分鐘。三、鞏固訓練1 一個街心花園如下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每個小三 角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有 9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花 園中共栽多少棵花？思路導航：由題意可知，大三角形的邊長是小三角形邊長的 2倍，因為每個小三角形的邊上均勻 栽9株，而

50、大三角形的每條邊由兩個小三角形的邊重疊一個頂點而成，所以，大三角形 的每條邊上栽的棵數為：9X 2 -1=17棵；又大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條 邊公有的，所以，大三角形三條邊上共栽花：(17-1) X3=48棵；再看圖中間的陰影小三 角形，每邊所栽花的棵數就是一個兩端不種樹的植樹問題，所以小三角形每條邊上栽花的 棵數為9-2=7棵，中間共栽花：7X3=21棵，所以，整個花壇共栽花：48+21=69棵。2時鐘4點敲4下，用12秒敲完。那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？思路導航：4點鐘敲4下，共12秒，而4下中間有3個間隔，說明每一個間隔的秒數為 12+ (4 -1) =4秒；12點敲1

51、2下，中間有11個間隔，所以一共需要4X (121) =44秒敲完。3鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計算火車速度，測量出從經過第1根電 線桿起到經過第37根電線桿止共用了 2分。火車的速度是多少？思路導航：從第1根電線桿起到第37根電線桿，共有37-1=36個間隔；每隔50米有一根電線桿， 也就是說間隔為50米；那么，行使的總路程為：50X (37 1) =1800米；2分鐘=2X60 秒=120秒，共行1800米，所以，火車速度為：1800+120= 15米/秒。第七講雞兔同籠問題雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個籠中，已知雞與兔的總頭數以及雞與兔的總足數， 求雞和兔各是多少只的應用題

52、。這種類型題是古代趣題，在現實生活和生產中應用廣泛， 有著十分重要的使用價值。雞兔問題，也叫簡換問題。解答時，一般采用假設法，即假定全部的只數都是雞或者 是兔，算出假定情況下的足數和實際上的足數和、足數差，然后推算出雞和兔的只數。 計算時的主要數量關系是：1 .如果假定全部是兔，則雞的只數=（每只兔的足數X總頭數總足數）一 （每一只雞與兔足數的差）簡單理解就是：雞的只數=（4 X總頭數一總足數）+ 2兔的只數二總頭數一雞的只數2 .如果假定全部是雞，則兔的只數二（總足數-每只雞的足數X總頭數）一 （每一只雞與兔足數的差）簡單寫就是兔的只數二（總足數一2 X總頭數） +2雞的只數二總頭數一兔的只

53、數一、例題與方法指導例1.雞兔同籠，共有100個頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？思路導航：雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，當成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是 2只腳。雞和兔的總腳數就 是100X 2=200 （只），但比實際320只腳要少320-200=120 （只），為什么會少了 120只 腳呢？是因為每只兔子只算一只前腳，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應該有120+ 2=60 （只）。解法二：4X 100=400 （只）400 320=80 （只）80+2

54、=40 （只）100 40=60 （只）解法一：2X100=200 （只）320 200=120 （只）120+ 2=60 （只）100 60=40 （只）答：雞有40只，兔有60只。例2. 5元紙幣和2元紙幣總張數是200張，已知它們的總面值是940元，這兩種紙 幣各多少張？思路導航.：（1）的設200張紙幣完全是2元，共化2X 200=400 （元）（2）比實際少：940- 400=540 （元）（3） 2元換成5元，每張增加：5-2=3 （元）（4） 5元紙幣有：540+3=180 （張）（5） 2元紙幣有：200180=20 （張）答：有180張5元、20張2元紙幣。例3.雞兔同籠，雞

55、比兔多25只，腳數共176只，雞、兔各多少只？思路導航假設去掉多的25只雞，則一共去掉2X25=50 （只）腳，那么17650=126 （只）腳 是雞和兔一樣多的腳的總數量，而一對雞兔共有 2 + 4=6 （只）腳，可以求出去掉25只雞 以后一共多少對雞和兔，然后再加上去掉的 25只雞。2X25=50 （只）17650=126 （只）2 + 4=6 （只）126+6=21 （對）雞、兔各 21只21+25=46 （只） 雞的只數答：雞有46只，兔有21只。二、鞏固訓練1 .雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？2 .雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數比兔的腳數多40只，雞兔各多少只？

56、3 .30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？三、拓展提升1.雞兔共100只，雞的腳數比兔少40只，雞兔各多少只？2.46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？3.某車棚共停放三輪車和自行車共 39輛，兩種車輪總和96個，三輪車和自行車各多少輛？第八講移多補少平均數在日常生活中，我們經常遇到這樣的情況：有幾個杯子，里面的水有多有少。要想使 杯中的水一樣多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反復幾次，直到幾個 杯子里的水一樣多。這就是我們經常駐遇到的“移多補少”也就是求平均數問題。一、例題與方法指導例1.小剛有5個抽屜，分別有圖書33本，42本，20本，53本和32本，平均每個抽 屜里有圖