1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的 概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示 同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有 平移不變性2. 空間向量的 運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。uuur uuur uuurr v uuuruuuruuurrr uuurrOB OA AB a b ; BAOAOBab ; OPa(R)運(yùn)算律： 加法交換律： abba加法結(jié)合律： (a b) c a (b c)數(shù)乘分配律：(a b)ab運(yùn)算法則 ：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

2、3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合 ，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a 平行于 b ，記作 a / b 。（2）共線向量定理 ：空間任意兩個(gè)向量 a 、b （ b 0 ），a / b 存在實(shí)數(shù) ，使 a b 。（3）三點(diǎn)共線 ：A、B、C 三點(diǎn)共線 <=> ABAC<=> OCxOAyOB(其中 xy1)（4）與 a 共線的單位向量為aa4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的 兩向量都是共面 的。r rrr r（2）共面向量定理 ：如果兩個(gè)向量 a, b 不共線， p 與向量 a

3、, b 共面的條件是存在實(shí)數(shù)rrrx, y 使 pxayb 。（3）四點(diǎn)共面：若 A 、B、C、P 四點(diǎn)共面 <=> APx ABy AC<=> OP xOA yOBzOC (其中 xyz 1)rrr r5. 空間向量基本定理 ：如果三個(gè)向量 a, b ,c 不共面，那么對(duì)空間任一向量p ，存在一rrrr個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z ，使 pxaybzc 。r r rrr rr rr若三向量 ab,c不共面，我們把 a,b ,c 叫做空間的一個(gè) 基底， a, b ,c 叫做基向量，1空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè) O, A, B,C 是

4、不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P ，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)uuuruuuruuuruuurx, y, z ，使 OPxOAyOBzOC 。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中，對(duì)空間任一點(diǎn) A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ( x, y, z) ，使OA xi yi zk ，有序?qū)崝?shù)組 (x, y, z) 叫作向量 A 在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中的坐標(biāo)，記作 A( x, y, z) ， x 叫橫坐標(biāo)， y 叫縱坐標(biāo)， z 叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn) A（x,y,z）關(guān)于 x 軸的的對(duì)稱點(diǎn)為 (x,-y,-z),關(guān)于 xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為 (x,y,-z).

5、即點(diǎn)關(guān)于什么軸 /平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y 軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面 yOz中的點(diǎn)設(shè)為 (0,y,z)（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位 正交基底，r rr表示。空間中任一向量 a xiy j zk =（x,y,z）用 i , j , k（3）空間向量的直 角坐標(biāo)運(yùn)算律：rrrr若 a (a1 , a2 ,a3 ) ， b(b ,b ,b ) ，則 ab (a b , a b ,a b ) ，rr123112233b1 ,a2b2 ,a3r( a1 , a2 , a3 )(a b (a1b3 ) ， aR) ，rra b a1

6、b1a2b2 a3b3 ，rra / ba1b1, a2b2, a3b3 (R) ，rraba1b1a2b2a3b30 。若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，則uuurAB( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) 。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。 定比分 點(diǎn)公式：若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ， APPB，則點(diǎn) P 坐標(biāo)為( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) 。推導(dǎo) ：設(shè) P（x,y,z）則 (xx1, yy1,zz1) (x2 x, y

7、2 y,z2 z) ,111顯然，當(dāng) P 為 AB 中點(diǎn)時(shí)， P( x1x2 , y1y2 , z1z2 )222ABC中， A（x, y , z）,B( x, y, z ), C(x, y3, z )，三角形重心 P 坐標(biāo)為1 1 122233P( x1x2x3 , y1 y2y3 , z1z2z3 )3222 ABC的五心：內(nèi)心 P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。AP( AB AC ) （單位向量）ABAC外心 P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。PAPBPC垂心 P：高的交點(diǎn)： PA PBPA PCPB PC （移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）重心 P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）AP1(ABA

8、C)3中心：正三角形的所有心的合一。rr（4）模長(zhǎng)公式 ：若 a(a1, a2 ,a3 ) ， b (b1, b2 ,b3 ) ，rr ra12a2 2rrrb12b2 2b3 2則 | a |a aa32 ， |b |b br rrra1b1a2b2a3b3a b。（5）夾角公式： cos a brra12a22a3 2b12 b22b32| a | | b |ABC中 AB ? AC 0<=>A 為銳角 AB ? AC0 <=>A為鈍角，鈍角（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若A( x1, y1 , z1) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，uuuruuur 2( x2

9、 x1) 2y1) 22 ，則|AB|AB( y2( z2z1)或 dA ,B(x2 x1) 2( y2y1 )2(z2z1) 27. 空間向量的數(shù)量積。（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量r ra,b ，在空間任取一點(diǎn) O ，作uuurruuurrrrr rOAa, OBb ， 則AOB 叫 做 向 量 a與 b 的 夾 角 ， 記 作a, b ； 且 規(guī) 定0r r，顯然有r rrrrrrrrra ,ba, bb , a ；若a, b，則稱 a 與 b 互相垂直，記作：ab 。uuurruuur2rr（2）向量的模：設(shè) OAa ，則有向線段 OA 的長(zhǎng)度叫做向量 a 的長(zhǎng)度或模，

10、記作： | a | 。（3）向量的數(shù)量積：已知向量rrrrr rr ra, b ，則 | a | b | cos a, b叫做 a, b 的數(shù)量積，記rrrrrrr r。作 ab ，即 a b|a| |b | cosa,b（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：rrrrrr rr rrr r2 ae| a | cosa,e。 aba b0 。 | a |a a 。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：rrrrr (rrrrra)b(ab )a ( b )。 a bb a （交換律）。rrrrrrr a(bc)a bac （分配律）。不滿足 乘法結(jié)合率： (ab)ca(b c)二空間向量與立體幾何1線線平行兩線的方向

11、向量平行31-1 線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2 面面平行兩面的法向量平行2 線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1 線面垂直線與面的法向量平行2-2 面面垂直兩面的法向量垂直3 線線夾角（共面與異面） 0O ,90O 兩線的方向向量n1 , n2 的夾角或夾角的補(bǔ)角，coscosn1,n23-1 線面夾角 0O ,90O ：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP 與面的法向量n 的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角. sincos AP, n3-2 面面夾角（ 二面角）0O ,180O ：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量 n

12、1 , n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.coscosn1, n2uuur4點(diǎn)面距離 h：求點(diǎn) Px0；, y0 到平面 的距離： 在平面 上去一點(diǎn) Q x, y ，得向量 PQ;PQ? n計(jì)算平面的法向量 n ;. hn4-1 線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2 面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例 1. 已知平行六面體ABCD A B C D ，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式， 標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。uuuruuuruuuruuuruuur ABBC ； ABADAA ；uuuruuur1 uuuur； 1uuuruuuruuur

13、ABADCC3( ABADAA )。2MG4例 2.對(duì)空間任一點(diǎn) O 和不共線的三點(diǎn) A, B,C ，問滿足向量式：uuuruuuruuuruuury z 1）的四點(diǎn) P, A, B,C 是否共面？OPxOAyOBzOC （其中 x例 3 已知空間三點(diǎn) A（0，2，3），B（ 2，1，6），C（1， 1，5）。uuur uuurS；求以向量 AB, AC 為一組鄰邊的平行四邊形的面積rruuur uuurr3 ，求向量的坐標(biāo)。若向量 a 分別與向量垂直，且 | a aAB, AC|2基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4幾何法例 4. 如圖，在空間四邊形

14、OABC中， OA 8 ， AB 6 ， AC 4 ， BC 5 ， OAC 45o ， OAB 60o ，求 OA 與 BC 的夾角的余弦值。OACB說明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如uuur uuur135o 易錯(cuò)寫成uuur uuur45o，切記！OA, ACOA, AC例 5. 長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC4， E為 AC11與 B1D1的交點(diǎn)， F 為 BC1與 B1C 的交點(diǎn)，又 AFBE ，求長(zhǎng)方體的高BB1 。5【模擬試題】1. 已知空間四邊形 ABCD ，連結(jié) AC , BD ，設(shè) M , G 分別是 BC , CD 的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)uuuruu

15、uruuur式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量： （1） ABBCCD ；uuur1uuuruuuruuur1 uuur uuur（2） AB2(BDBC)；（3） AG(AB AC)。22. 已知平行四邊形 ABCD，從平面 AC 外一點(diǎn) O 引向量。uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuuruuurOEkOA, OFkOB,OGkOC,OHkOD 。（1）求證：四點(diǎn) E, F ,G, H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG 。3. 如圖正方體 ABCDA1 B1C1 D1 中， B1E1D1F11 A1B1 ，求 BE1 與 DF1 所成角的余弦。45. 已知平行六面體 ABC

16、D A B C D 中，AB4, AD3, AA5,BAD90 o ，BAADAA60 o ，求 AC 的長(zhǎng)。6 參考答案 1. 解：如圖，uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1） ABBCCDACCDAD ；uuur1 uuuruuuruuur1 uuur1 uuur（2） AB(BDBC )ABBCBD 。uuuruuuur2uuur22uuuurABBMMGAG ；uuur1 uuuruuuruuuruuuuruuuur（3） AG( ABAC )AGAMMG 。2uuuruuuruuur2. 解：（1）證明：四邊形 ABCD 是平行四邊形， ACABAD ，uuuruuu

17、ruuur EG OG OE，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurk OCk OAk(OCOA)k ACk( ABAD )uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuurk(OBOAODOA)OFOEOHOEuuuruuurEFEH E, F ,G, H 共面；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）解： EFOFOEk (OBOA)k AB ，又 EGk AC ， EF / AB, EG / AC 。所以，平面 AC / 平面 EG 。3.解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ，1則 B(1,1,0) ， E

18、1 (1,3 ,1) ， D (0,0,0) ， F1(0, 1 ,1) ，uuuur44uuuur(0, 1 ,1) ， BE1(0, 1 ,1) ， DF144uuuuruuuur17 ， BE1DF1uuuuruuuur400(11)1115 。BE1 DF14416uuuuruuuur151516。cos BE1, DF1171717uuur44uuuruuur uuur1(1, 3,2),cosBACAB AC4. 分析： Q AB( 2, 1,3), ACuuur uuur2uuuruuur|AB|AC| BAC 60°，S73| AB | AC | sin 60orruuur2x