1、空間向量與立體幾何知識點歸納總結一知識要點。1. 空間向量的 概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示 同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有 平移不變性2. 空間向量的 運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。uuur uuur uuurr v uuuruuuruuurrr uuurrOB OA AB a b ; BAOAOBab ; OPa(R)運算律： 加法交換律： abba加法結合律： (a b) c a (b c)數乘分配律：(a b)ab運算法則 ：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

2、3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合 ，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a 平行于 b ，記作 a / b 。（2）共線向量定理 ：空間任意兩個向量 a 、b （ b 0 ），a / b 存在實數 ，使 a b 。（3）三點共線 ：A、B、C 三點共線 <=> ABAC<=> OCxOAyOB(其中 xy1)（4）與 a 共線的單位向量為aa4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。說明：空間任意的 兩向量都是共面 的。r rrr r（2）共面向量定理 ：如果兩個向量 a, b 不共線， p 與向量 a

3、, b 共面的條件是存在實數rrrx, y 使 pxayb 。（3）四點共面：若 A 、B、C、P 四點共面 <=> APx ABy AC<=> OP xOA yOBzOC (其中 xyz 1)rrr r5. 空間向量基本定理 ：如果三個向量 a, b ,c 不共面，那么對空間任一向量p ，存在一rrrr個唯一的有序實數組 x, y, z ，使 pxaybzc 。r r rrr rr rr若三向量 ab,c不共面，我們把 a,b ,c 叫做空間的一個 基底， a, b ,c 叫做基向量，1空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。推論：設 O, A, B,C 是

4、不共面的四點，則對空間任一點P ，都存在唯一的三個有序實數uuuruuuruuuruuurx, y, z ，使 OPxOAyOBzOC 。6. 空間向量的直角坐標系：（1）空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系Oxyz 中，對空間任一點 A ，存在唯一的有序實數組 ( x, y, z) ，使OA xi yi zk ，有序實數組 (x, y, z) 叫作向量 A 在空間直角坐標系 Oxyz 中的坐標，記作 A( x, y, z) ， x 叫橫坐標， y 叫縱坐標， z 叫豎坐標。注：點 A（x,y,z）關于 x 軸的的對稱點為 (x,-y,-z),關于 xoy平面的對稱點為 (x,y,-z).

5、即點關于什么軸 /平面對稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。在y 軸上的點設為(0,y,0),在平面 yOz中的點設為 (0,y,z)（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位 正交基底，r rr表示。空間中任一向量 a xiy j zk =（x,y,z）用 i , j , k（3）空間向量的直 角坐標運算律：rrrr若 a (a1 , a2 ,a3 ) ， b(b ,b ,b ) ，則 ab (a b , a b ,a b ) ，rr123112233b1 ,a2b2 ,a3r( a1 , a2 , a3 )(a b (a1b3 ) ， aR) ，rra b a1

6、b1a2b2 a3b3 ，rra / ba1b1, a2b2, a3b3 (R) ，rraba1b1a2b2a3b30 。若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，則uuurAB( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) 。一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。 定比分 點公式：若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ， APPB，則點 P 坐標為( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) 。推導 ：設 P（x,y,z）則 (xx1, yy1,zz1) (x2 x, y

7、2 y,z2 z) ,111顯然，當 P 為 AB 中點時， P( x1x2 , y1y2 , z1z2 )222ABC中， A（x, y , z）,B( x, y, z ), C(x, y3, z )，三角形重心 P 坐標為1 1 122233P( x1x2x3 , y1 y2y3 , z1z2z3 )3222 ABC的五心：內心 P：內切圓的圓心，角平分線的交點。AP( AB AC ) （單位向量）ABAC外心 P：外接圓的圓心，中垂線的交點。PAPBPC垂心 P：高的交點： PA PBPA PCPB PC （移項，內積為0，則垂直）重心 P：中線的交點，三等分點（中位線比）AP1(ABA

8、C)3中心：正三角形的所有心的合一。rr（4）模長公式 ：若 a(a1, a2 ,a3 ) ， b (b1, b2 ,b3 ) ，rr ra12a2 2rrrb12b2 2b3 2則 | a |a aa32 ， |b |b br rrra1b1a2b2a3b3a b。（5）夾角公式： cos a brra12a22a3 2b12 b22b32| a | | b |ABC中 AB ? AC 0<=>A 為銳角 AB ? AC0 <=>A為鈍角，鈍角（6）兩點間的距離公式：若A( x1, y1 , z1) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，uuuruuur 2( x2

9、 x1) 2y1) 22 ，則|AB|AB( y2( z2z1)或 dA ,B(x2 x1) 2( y2y1 )2(z2z1) 27. 空間向量的數量積。（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量r ra,b ，在空間任取一點 O ，作uuurruuurrrrr rOAa, OBb ， 則AOB 叫 做 向 量 a與 b 的 夾 角 ， 記 作a, b ； 且 規 定0r r，顯然有r rrrrrrrrra ,ba, bb , a ；若a, b，則稱 a 與 b 互相垂直，記作：ab 。uuurruuur2rr（2）向量的模：設 OAa ，則有向線段 OA 的長度叫做向量 a 的長度或模，

10、記作： | a | 。（3）向量的數量積：已知向量rrrrr rr ra, b ，則 | a | b | cos a, b叫做 a, b 的數量積，記rrrrrrr r。作 ab ，即 a b|a| |b | cosa,b（4）空間向量數量積的性質：rrrrrr rr rrr r2 ae| a | cosa,e。 aba b0 。 | a |a a 。（5）空間向量數量積運算律：rrrrr (rrrrra)b(ab )a ( b )。 a bb a （交換律）。rrrrrrr a(bc)a bac （分配律）。不滿足 乘法結合率： (ab)ca(b c)二空間向量與立體幾何1線線平行兩線的方向

11、向量平行31-1 線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2 面面平行兩面的法向量平行2 線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1 線面垂直線與面的法向量平行2-2 面面垂直兩面的法向量垂直3 線線夾角（共面與異面） 0O ,90O 兩線的方向向量n1 , n2 的夾角或夾角的補角，coscosn1,n23-1 線面夾角 0O ,90O ：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP 與面的法向量n 的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角. sincos AP, n3-2 面面夾角（ 二面角）0O ,180O ：若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量 n

12、1 , n2的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.coscosn1, n2uuur4點面距離 h：求點 Px0；, y0 到平面 的距離： 在平面 上去一點 Q x, y ，得向量 PQ;PQ? n計算平面的法向量 n ;. hn4-1 線面距離（線面平行）：轉化為點面距離4-2 面面距離（面面平行）：轉化為點面距離【典型例題】1基本運算與基本知識（）例 1. 已知平行六面體ABCD A B C D ，化簡下列向量表達式， 標出化簡結果的向量。uuuruuuruuuruuuruuur ABBC ； ABADAA ；uuuruuur1 uuuur； 1uuuruuuruuur

13、ABADCC3( ABADAA )。2MG4例 2.對空間任一點 O 和不共線的三點 A, B,C ，問滿足向量式：uuuruuuruuuruuury z 1）的四點 P, A, B,C 是否共面？OPxOAyOBzOC （其中 x例 3 已知空間三點 A（0，2，3），B（ 2，1，6），C（1， 1，5）。uuur uuurS；求以向量 AB, AC 為一組鄰邊的平行四邊形的面積rruuur uuurr3 ，求向量的坐標。若向量 a 分別與向量垂直，且 | a aAB, AC|2基底法（如何找，轉化為基底運算）3坐標法（如何建立空間直角坐標系，找坐標）4幾何法例 4. 如圖，在空間四邊形

14、OABC中， OA 8 ， AB 6 ， AC 4 ， BC 5 ， OAC 45o ， OAB 60o ，求 OA 與 BC 的夾角的余弦值。OACB說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如uuur uuur135o 易錯寫成uuur uuur45o，切記！OA, ACOA, AC例 5. 長方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC4， E為 AC11與 B1D1的交點， F 為 BC1與 B1C 的交點，又 AFBE ，求長方體的高BB1 。5【模擬試題】1. 已知空間四邊形 ABCD ，連結 AC , BD ，設 M , G 分別是 BC , CD 的中點，化簡下列各表達uuuruu

15、uruuur式，并標出化簡結果向量： （1） ABBCCD ；uuur1uuuruuuruuur1 uuur uuur（2） AB2(BDBC)；（3） AG(AB AC)。22. 已知平行四邊形 ABCD，從平面 AC 外一點 O 引向量。uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuuruuurOEkOA, OFkOB,OGkOC,OHkOD 。（1）求證：四點 E, F ,G, H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG 。3. 如圖正方體 ABCDA1 B1C1 D1 中， B1E1D1F11 A1B1 ，求 BE1 與 DF1 所成角的余弦。45. 已知平行六面體 ABC

16、D A B C D 中，AB4, AD3, AA5,BAD90 o ，BAADAA60 o ，求 AC 的長。6 參考答案 1. 解：如圖，uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1） ABBCCDACCDAD ；uuur1 uuuruuuruuur1 uuur1 uuur（2） AB(BDBC )ABBCBD 。uuuruuuur2uuur22uuuurABBMMGAG ；uuur1 uuuruuuruuuruuuuruuuur（3） AG( ABAC )AGAMMG 。2uuuruuuruuur2. 解：（1）證明：四邊形 ABCD 是平行四邊形， ACABAD ，uuuruuu

17、ruuur EG OG OE，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurk OCk OAk(OCOA)k ACk( ABAD )uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuurk(OBOAODOA)OFOEOHOEuuuruuurEFEH E, F ,G, H 共面；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）解： EFOFOEk (OBOA)k AB ，又 EGk AC ， EF / AB, EG / AC 。所以，平面 AC / 平面 EG 。3.解：不妨設正方體棱長為，建立空間直角坐標系 Oxyz ，1則 B(1,1,0) ， E

18、1 (1,3 ,1) ， D (0,0,0) ， F1(0, 1 ,1) ，uuuur44uuuur(0, 1 ,1) ， BE1(0, 1 ,1) ， DF144uuuuruuuur17 ， BE1DF1uuuuruuuur400(11)1115 。BE1 DF14416uuuuruuuur151516。cos BE1, DF1171717uuur44uuuruuur uuur1(1, 3,2),cosBACAB AC4. 分析： Q AB( 2, 1,3), ACuuur uuur2uuuruuur|AB|AC| BAC 60°，S73| AB | AC | sin 60orruuur2x