1、數列中的奇、偶項問題iWj考定位數列的奇、偶項問題，是近年來的高考的熱點問題，考察了學生的分類與整合能力，考察了學生的探究發現的能力，也是今后考察的熱點。專題解析(1) 求通項和求和時，分奇數項與偶數項分別表達；(2) 求S時，我們可以分別求出奇數項的和與偶數項的和，也可以把a2k+a2k看作一項,求出S2A，再求S2k-l=S2kQ2k專項突破類型一、數列中連續兩項和或積的問題(0?+如1=/(/7)或。"+1=加)；例1-1.已知數列外滿足671=1,。+1+。=4機求數列。的前100項和5100；(2)求數列修”的通項公式.解(1)''。1=1,0汁|+07=4

2、，Si(X)=(。+。2)+(。3+。4)I-(。99+CL100)=4X1+4X34X99=4X(1+3+599)=4X502=10000.(2)由題意，。+1+。=4,。+2+。+1=4("+1),由一得，0汁207=4,由。1=1,。1+您=4,所以。2=3.當為奇數時，。=。1+仁?一1)X4=2一1,當為偶數時，0?=您+質一1)X4=2一1.綜上所述，07=2一1.練.設各項均為正數的等差數列%的前項和為S，旗=20,且知-1,句成等比數列.(1) 求數列%的公差H；(2) 數列如滿足勿+#=%,且+1=%,求數列也的通項公式.【答案】(1)刁=1；b=蘭+1+(一1廣.

3、24【分析】(1)根據。2，%T，成等比數列可得(-1)2=。2。11，利用“1，表示出$5=2。和(%-1)2=%句，解方程組可求得缶,d,結合>0可得結果;貝ij(%+2-。2+1)+(。2+1-。2)<0'由題意得，+2一。2+1|=Q+2)2>(2+1)2=缶+i,山(%+2_%+|)+(%+1一%)<°明曰3由I，口J得。2+2-a2n+V。，neN,U%+2一。2+1>|%襯一。2又a>a29即a2-a<0,所以當為奇數且n>3時，an-an_x=n2；當為偶數時,-。_1=-.所以%9=(%9_%8)+(%8_%7

4、)+(%7_%)+(%_巧)+口1=99298之+972962+32+1=99+98+97+96+3+2+1=4950.故選：D.類型四、已知條件明確的奇偶項問題.1504-1.已知數列化滿足6/1=1,£+一1,為奇數，2記勿=。2，求證：數列加為等比數歹U，并求出數列。的通a,In,冷為偶數，項公式.證明b“+1=。2(+1)=22«+1+2+11=4-1+2=方(。222)+2n=22/7=."為等比數列，且公比q.又b=2*=2,可得”=亍6nn12技n所以，當為偶數時，atJ=h=，廠1，廠1(-i)+i=。(-1)一2(1)=/?項2(1)=一1)_2

5、(_1),可驗證6/1=1也符合上式,綜上所述，an綜上所述，an()2(/?1)，為奇數,n，為偶數.練.己知數列。滿足。=<2*+；,為正偶數.2乙(1)問數列。是否為等差數列或等比數列？說明理由;(2)求證：數列"2是等差數列，并求數列也的通項公式.(1)角昆由。I=§嚀+；=%+；*=1,02。2=2。二+3=2。1+1=3,22。3=*手+!=*2。3=*手+!=*2+；=5,。4=2。*+3=22+2=8.22.。2=2,。4一。3=3,.。2尹。4一。3,.數列。異不是等差數列.竺蟲.絲aaz3.數列W也不是等比數列.證明.對任意正整數，您+1=2您+2

6、,2+i2_2'2數列爵是首項為&公差為;的等差數列,從而對"6N*,ail3,n1f成7=3+2，貝V。2=("+2)2.數列。2的通項公式是6?2=(+2)2廣1("小*).-,n=2k-l練.數列%且。練.數列%且。n(居N*),若S為數列肩的前項和，則sin,n=2k42021【答案】30342023【分析】由題意,由題意,當為奇數時,n2+2n2nn+2)riTr;當為偶數時，為=sin丁.然后根據分組求和法、裂項相消求和法及三角函數的周期性即可求解.【詳解】,n=2kl解：數列*且。解：數列*且。(居冷),sin,n=2k4當為奇數時,

7、當為奇數時,疽+2一弟當為偶數時,an=sin,%+%+%+%=。，則偶數項和為(%+%+%+%)+(。10+a2+"l4+“16)+，+(%010+0012+。2014+“2016)+2018+“2020=“2018+“2020=%+%=1，月I以2021=(“1+%“2021)+(缶+。4+角)2。)(11111)<33520212023J+1=1011+1=3034202320233034故答案為:盤練.已知S數列%的前項和，=人，且。+%|=(-1)心若濕一翱;=1010-S2X)192U1yn+20)9|(其中"。)，則丁+翕的最小值是()A.2>/2

8、B.4c.2J2019D.2018【答案】B【分析】由Cln+Q+=(1)",可得+角=F,%+“3=22,%+。4=，%+%=42,。2018+。2019=2。1皮，以上各式相加得可求得%+2(%+%+四+。2盅)+。2019,結合絳斜一欽=1°1°一日，根據均值不等式，即20192a)19可求得答案.【詳解】Cln+an+=(T)2*%+%=F,%+。3=2之,+%=3之，+=4七,。°()|8+。2019=2018?,以上各式相加得,=(-12+22)+(-32+42)+.+(-20172+20182+2(q+%+%+%+,+“2018)+劣。19

9、=F+23?+4?一2017"+2018,2,209%“2019=(2l)x(2+l)+(43)x(4+3)+(20182017)x(2018+2017),=1+2+3+4+2017+2018=2019x10092$2（）9“2019_1八八。1a而一而一1°°9+面又金奇皿，1009+-=1010-#,2019即一+=2019又.%=九，20191.+=21,(2019（人）+H41九"2019)=1+辿+L.2+2220192019«_J_4Z-2019#'r.,t20192,.工工當且僅當疝顯時等號成立,故選：B.練.己知數列0滿

10、足=2,但=3且。+2-=1+（T）'盤c對，則該數列的前9項之和A.32A.32B.43C.34D.35【答案】C【分析】討論為奇數、偶數的情況數列%的性質，并寫出對應通項公式，進而應用分組求和的方法求數列的前9項之和.【詳解】二當n為奇數時，。2+1-。2一=0，則數列億2-1是常數列，。2一1=%=2；2n+2當為偶數時，。2+2-=2,貝【J數列%是以。2=3為首項，公差為2的等差數列,4x3t/j+缶+,+%=("1+%+,+"9)+("°+%+%)=2x5+(3x4x2)=34.2故選：C練.設S為數列。的前項和，=(-l)wan-,

11、neN*,則5j+52+5100=1A31A3(2I(X)-11B3"9821D3(、502【答案】A【分析】由遞推式求出數列的首項，當Z2時分為偶數和奇數求出。,代入Sn-VTayN后分組，然后利用等比數列的前項和公式求解.【詳解】由S=(一1)0-夕,當=1時，S=-q_S，得q=_:當n>2時，=S一S=(一1)%一一(一1)七_，即=(T)0?+另當為偶數時，%當為偶數時，%(¥),所以。=-我(為正奇數),當n為奇數時，。一1=-2。+=(-2)當n為奇數時，。一1=-2。+=(-2)+土=決T，所以(為正偶數),所以-6=，所以-a+a2=2x2=2所以一

12、%+q=2x+=,.,_S=僉，弓00=僉，所以+。|00=2x我=吏.因為S+S2+S3+S®=(0+缶)+(-%+%)+(-%+%)+(“99+000)Ifl-2lS+S2+S3+S®=(0+缶)+(-%+%)+(-%+%)+(“99+000)Ifl-2l(111)+P.+2222,00J1+匝-底+歹1111)+21(X,)2"450J1)OlOOLJ72cl(X)L7故選：A練.已知正項數列%的前項和為S，。=1,且S+S=可；(、2),設小)E+1),則數列勿前項和的取值范圍為.S、3、"21【答案】一s，Td一1，一耳【分析】根據s“，,之間

13、關系可得數列%為等差數列并得到為,然后得到如，根據裂項相消可得數列如前項和，最后進行判斷即可.【詳解】由S”+S”_i=a：,則Sn+l+S”=a,化簡可得:(%+1_%一1)(%+1+%)=°，又。>°，所以an+an=1(>2)當=2時，S2+S=q；=>%+角+%=>=2所以-=1符號由故數列%是首項為1,公差為1的等差數列所以%=n,則Sn=+2所以如=2（；）"，+1）=2（_1）11）_+nn+）令設數列也前項和K所以"2-1+捉十*.+(頊；+(頊土-盤為偶數所以K=<72+1-1-一，為奇數+1I12當為偶數

14、時，Tn=一-1,則Tn<-1=-且K>1+13313當為奇數時，L=-1,則=+122綜上所述：TnG一|，一1Lfjr3（21故答案為：一3，一1D練.設是數列億的前項和，若黑=(-1)0+§,則S|+S2+.+Su=【答案】13654096【分析】運用數列的遞推式，討論為奇數或偶數，結合等比數列的求和公式，即可得到所求和.【詳解】解：&=（一1）+,當=1時，=S=-巧+&,解得,可得Sn=（一1）”（Sn一S,_i）+£,當為偶數時,S”=S”-S婦+土,即有S/二當為奇數（松3）時，S,=-（f芬可得S,i=2S-§=2.12

15、+i2即有S+S=即有S+S=+0HF0H0+.+1664n1)孔一13651_140964n1)孔一13651_140964公山1365故口木為詼（2）由（1）可得如/一如+n+l,13,13、整理得如+1_5_日=_”一5（_1）_日/可矢口數歹0f-1）-，為等比數列,由等比數列通項公式可推導得到結果.（1）（1）設等差數列%的公差為Q%,。6-1，。11成等比數列，二（。6-1）2="11，即（。1+5刁一1）2=（%+刁）（+10）,_825x40=2'17又S5=5%+-d=20,解得：；|或：；-2d=ld=-L17_82%7828427時，13a+12/=0,

16、與>0矛盾，二d=17即等差數列0的公差d=l；（2）由（1）得：。="+1,.展+勿+="+1,即如+1=如+1，+124,又4+1=%=2,解得：=1,.數列如-!（-啟是以-.數列如-!（-啟是以-31廠彳為首項T為公比的等比數列，如一；（"一1）一：=（一1）'X：,整理可得：b=蘭+44"24練.己知數列。的前項和為S，且=1,%+%=2+1（乂），則數列：的前2020項的和為（2020A.20214040B.20214039C.202040412022【答案】B【分析】首先根據己知條件求得。首先根據己知條件求得。然后求得S，利用

17、裂項求和法求得正確答案.【詳解】數列M的前項和為s,且=1,。+。=2+1,則缶=3-。1=2.所以an+2+%+=2+3,兩式相減得：。+2=2,當為奇數時,-1x2=l+l-2=，2J當為偶數時,dn=2+1x2=2+2=,27所以cin=n,所以數列%是首項為1,公差為1的等差數列.所以S=1故瓦F+i)2=2(1L),n+1所以"/3吐=2(1-！+!-*.+土)=2(1一土),則磁=2(=新n，記S為的前項和，人=。2+。2-n，記S為的前項和，人=。2+。2-故選：B例1-2.在數列。中，己知s=l,%心+1=1，住N*.(1)判斷數列勿是否為等比數列，并寫出其通項公式;

18、求數列曲的通項公式；求Sffr以'1，。+2解(1)因為affCln+1=所以=2?即。+2=云因為bn+。2-1，所以釧=地4=箜癢竺1-十。2一1所以釧=地4=箜癢竺1-十。2一12'因為。1所以數列勿是公比為亨的等比數列.19Z|*Z2=2，13所以。2=亍。|=。1+。2=13所以。2=亍。|=。1+。2=2'所以=如，仁N*.(2)由口J知0汁2=尹”所以。1，。3，。5，一是以(2=1為首項，萬為公比的等比數列；口2,S為首項，;為公比的等比數列，n1n所以。2一1=(；)，Clin=(;)，為奇數,所以=<(3)因為，2=(。1+白3+,+。2-1)

19、+(。2+。4您)ZZ1 14，21S'nCl2n3_32，,33-,為偶數，2巳243，為奇數.2史2練.已知正項數列0的首項。1=,其前項和為S，且=2S.數列也滿足:an+l(bi+。2+.+?)=。(1) 求數列J的通項公式；(2) 記&=,證明：V2-<q+勺+烏v2.V%2+2【答案】(1) an=n(ngN*)(2) 證明見解析【分析】(1)根據題意得到"+i=2S和。=2如1(松2),兩式相減得=2(論2),解得答案.計算=看習'&=")(+2)'放縮C“<2(士一壽)和勺>2(點一點)，利用裂項相消

20、法計算得到證明.(1)由%+i=2S得%_%=2S”(Z2),兩式相減得。+1=2(>2),由苗=1,得角=2,數列的偶數項和奇數項分別是公差為2的等差數列,當為奇數時，。=",當為偶數時，%=h綜上所述4=(£N*).(2),a.nn_I由小奶+.*,=«=危"皿+.+如=；,松2,4虧兩式相減得U右論2'驗證卜S成立，故勿（+）則c=如口+2&(+1)(+2)，2(J+1-插)=2()J("+1)>JnJ+1=50+50X5450X(501)2X4=5200.丹K么c=_<J(.+l)(J+2+Jn+2)J

21、n(n+l)(7i+J-+1)“11111、“1、C故勺+七+.+&<2(1-善.相-箱+.+由-E)=2(1_存)<2,門理J(+l)(+2)(/+yfn)+1)(+2)(Ju+1+n+2)J(.+1)(.+2)111111、11、故q+a+c>2成-忠+箱-孑布一定）=2（善_定）="一點得證類型二、含有（一1）的類型；例2-1.數列。中，<71=1,6/2=2,數列勿滿足為=。+1+（l）w，EN*.（1）若數列是等差數列，求數列的前100項和Sioo；（2）若數列勿是公差為2的等差數列，求數列。的通項公式.解（l）''s為等差數

22、列,且Ql=l,。2=2,公差d19ClflZl.1=1,為奇數，4汁1+。=2+1,為偶數，1,為奇數，mb=<、2+1,為偶數,紡的前100項和Sl00=("l+3人99)+(人2+。4bl00)=50+(5+9+13+201)(2)由題意得，加=。2。1=1,公差d=2,'h,t=2n1./?2-1。2-1439CD<bln=。2+1+=4一19由一得，。2+1+。2-1=2,。2+12Cl2n1，乂。=1,。=。3=。5='=1，。2一1=1，。2=42,綜上所述,1,為奇數,2一2,為偶數.例2-2設&為數列"的前n項和，S=(

23、1)%求。3；(2)求S1+S2Sioo.解(1)令=4,則$4=。4土，.，.S3=土.令=3,則S3=O3土，.-O±_±。3_。3_23_24,(2)當n=時，a=Cln=SnS1=(一1)S-土-(11=(一1)地+(1)."1+土，即。=(1)也+(1)Q-1+£.(*)當為偶數時，由*式可得0l1+£=O,則0l1=£；，1亍，此時n為奇數.當為奇數時，由*式可得an-=2。+芬=2-an-=2。+芬=2-+±=-L122_i'=*此時為偶數.綜上所述，an=歹ry，為奇數,、土，為偶數.Si+S2+S1

24、00=(。1+。2)+(。3+。4)+(。99+。100+)=2申土+我一G+土+）100練擻列。異的通項公式為為=（一1）F（4一3）,則它的前100項之和S100等于（）A.200B.-200C.400D.-400答案B解析Sioo=l-5+9397=4X(-50)=-200.練.已知數歹0。滿足勿=1,。2=*3+(1)M+22q+2(1)一1=0,仁N*.2'（1）令bn=ain-y判斷。是否為等差數列，并求數列。的通項公式;（2）記數列的前In項和為T&,求Tm.解(1)因為3+(1)M+22g+2(1)一1=0,所以3+(1)22。2-1+2(1)211=0,又bn

25、1，月f以1b。2+112，所以勿是以"1=01=1為首項，2為公差的等差數列.所以人=1+("1)X2=2771,MEN*.(2)對于3+(1)。+2-2缶+2(1)1=0,當為偶數時，可得（3+1）。+22。+2（11）=0,即質=§所以皿。4,。6,是以。2=；為首項，;為公比的等比數列;當為奇數時，可得（3一1）山+2一2，+2（一1一1）=0,所以Ql，Q3，。5，是以Cl=為首項，2為公差的等差數列，所以=(。1+。3H。2一1)+02+14b。2)11n2=nX1-n(一1)X2+1_2=/+1偵類型三、含有億2，。2-1的類型；例3-1.己知數列為

26、各項非零的等差數列，其前項和為S,”滿足$2-|=凍求數列。的通項公式；記"=K（F，求數列如的前項和乙.（2一1）.'。夭。，/.a,t=2n1（EN*）.當為奇數時1n112+1/4+2S虧g鹽為奇數.練.已知數列%滿足%=1,角=_1+（-1）"，。2+1=。2+3”（CN*）,則數列%的前2017項的和為（）A.J00'2005B.320,6-2017C.31008-2017D.31009-2018【答案】D【分析】根據給定條件求出。2抑與億2的通項，進而求得土+。2即可求出數列%的前2017項的和.【詳解】在數列。中，。1=1,。2=。2一1+（-1）。2+1=。2+3，,則有。2+2=。2+1+（-1）”"=角+3"+（-1）"+1，即。2+2一。2=3+（