1、361友情提供，： 數學網絡課堂系列數學2013 年入學統一數學三試題一、選擇題:18 小題，每小題 4 分，共 32 分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指置上.1、當 x ® 0 時，用o(x) 表示比x 高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是（）（A） x ×o(x2 ) = o(x3)（B） o(x) × o(x2 ) = o(x3)（C） o(x2 ) + o(x2 ) = o(x2 )（D） o(x) + o(x2 ) = o(x2 )x2、函數 f的可去間斷點的個數為（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3

2、3、設 D 是圓域 D = (x, y) x2 + y2 £ 1位于第k 象限的部分，記kIk = òò ( y - x)dxdy(k = 1, 2, 3, 4) ，則（ ）Dk（A） I1 > 0（B） I2 > 0（C） I3 > 0（D） I4 > 04、設an為正項數列，下列選項正確的是（）¥ån=1（A）若a > an-1(-1)a，則收斂nn+1n¥（B）若å(-1)n-1 a 收斂，則a > ann+1nn=1¥å n（C）若a 收斂，則存在常數 p &g

3、t; 1，使lim na 存在nn®¥n=1¥å n（D）若存在常數 p > 1，使lim na 存在，則a 收斂nn®¥n=15、設A、B、C 均為n 階矩陣，若 AB=C，且 B 可逆，則（ ）（A）矩陣C 的行向量組與矩陣 A 的行向量組等價1361友情提供，： 數學網絡課堂系列數學（B）矩陣C 的列向量組與矩陣 A 的列向量組等價（C）矩陣C 的行向量組與矩陣 B 的行向量組等價（D）矩陣C 的列向量組與矩陣 B 的列向量組等價æ 1a1 öæ 200 ö6、矩陣ç ab

4、a ÷ 與ç 0b0 ÷ 相似的充分必要條件是（ ）ç÷ç÷ç 11 ÷ç 00 ÷a0èøèø（A） a = 0, b = 2（B） a = 0, b 為任意常數（C） a = 2, b = 0（D） a = 2, b 為任意常數是隨量，且 x N (0,1) ， x N(0, 22 ) ， x N(5,32 )，7、設3123Pj = P-2 £ xj £ 2( j = 1, 2,3) ，則（）（A） P1 > P2

5、 > P3（C） P3 > P1 > P2（B） P2 > P1 > P3（D） P1 > P3 > P28、設隨量 X 和Y 相互，則 X 和Y 的概率分布分別為則 PX + Y = 2 = （）112181612（A）（B）（C）（D）二、填空題：914 小題,每小題 4 分,共 24 分.請將寫在答題紙指置上.n9、設曲線 y = f (x) 與 y = x2 - x 在點(1, 0) 處有公共切線，則lim nf () =.n + 2n®¥2Y-101P1/31/31/3X012P1/21/41/8361友情提供，： 數學網

6、絡課堂系列數學10、設函數 z = z(x, y) 由方程(z + y)x = xy 確定，則 ¶z=.¶x (1,2)+¥ ln x 11、dx =.ò(1+ x)2112、微分方程 y ¢ - y¢ + 1 y = 0 的通解為 y =.413、設 A = (aij ) 是 3 階非零矩陣，A 為 A 的行列式， Aij 為aij 的代數式，若aij + Aij= 0(i, j = 1, 2, 3) ，則A =.量 X 服從標準正態分布 N (0,1) ，則 E(Xe2X ) =.14、設隨三、解答題：1523 小題,共 94 分

7、.請將解答寫在答題紙指證明過程或演算步驟.置上.解答應寫出文字說明、15、（本題滿分 10 分）當 x ® 0 時，1- cos與axn 為等價無窮小，求n 和a 的值.16、（本題滿分 10 分）1設 D 是由曲線 y = x3 ，直線 x = a (a > 0) 及 x 軸所圍成的平面圖形，Vx ，Vy 分別是 D 繞 x軸，y 軸旋轉一周所得旋轉體的體積，若Vy = 10Vx ，求a 的值.17、（本題滿分 10 分）設平面區域D 由直線 x = 3y ， y = 3x ， x + y = 8 圍成，求 òò x2dxdyD18、（本題滿分 10 分）

8、Q設生產某的固定成本為 6000 元，可變成本為 20 元/件，價格函數為 P = 60 -（ P1000是單價，：元； Q 是銷量，：件），已知產銷平衡，求：（）該商品的邊際利潤；（）當 P = 50 時的邊際利潤，并解釋其（）使得利潤最大的定價 P . 19、（本題滿分 10 分）意義；設函數 f (x) 在0, +¥) 上可導， f (0) = 0 且 lim f (x) = 2 .證明：x®+¥3361友情提供，： 數學網絡課堂系列數學（）存在a > 0 ，使得 f (a) = 1 ；（）對（）中的a ，存在x Î (0, a) ，使得 f

9、 ¢(x ) = 1 .a（20）（本題滿分 11 分）設 A = æ1a öæ 0， B =1 ö，當a, b 為何值時，存在矩陣C 使得 AC - CA = B ，并求所ç10 ÷ç 1b ÷èøèø有矩陣 C.（21）（本題滿分 11 分）æ a1 ö，記a = ç a÷ ，) = 2(a x + a x +設二次型 f (ç2 ÷31 12 2ç a ÷è 3 

10、8;æ b1 öb = ç b÷ç2 ÷ç b ÷è 3 ø（）證明二次型 f 對應的矩陣為2aaT + bb T ；（）若a , b 正交且均為向量，證明 f 在正交變換下的標準形為2 y2 + y212（22）（本題滿分 11 分）ì3x2 ,0 < x < 1,其他設( X ,Y ) 是二維隨量，X 的邊緣概率密度為 f X (x) = íî，在給定 X = x0,ì3y20 < y < x,其他x) = ï,(0 < x < 1) 的條件下， Y 的條件概率密度為 f( yíïîx30,Y X （）求( X ,Y ) 的概率密度 f (x, y) ；（）求Y 的邊緣概率密度 fY ( y) ；（）求 P( X > 2Y ) .（23）（本題滿分