1、第三節誤差傳播定律§5-3 誤差傳播定律 在測量工作中一般采用中誤差作為評定精度的指標。誤差傳播定律：說明觀測值中誤差與其函數中誤差之間關系的定律 。間接觀測量:在實際測量工作中，往往會碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測的,則：由直接觀測的量，通過函數關系間接計算得出的量稱為。例如：用水準儀測量兩點間的高差h，通過直接觀測值后視讀數a 和前視讀數b 來求得的高差：h =ab 。間接觀測量的誤差：由于直接觀測值(a、b)中都帶有誤差,因此間接觀測量函數(h)也必然受到影響而產生誤差。一、誤差傳播定律? 設Z是獨立觀測量x1，x2，xn的函數，即式中：x1，x2，xn為直接觀測量

2、，它們相應的觀測值的中誤差分別為m1，m 2，mn，則觀測值的函數Z的中誤差為:式中為函數Z分別對各變量 xi 的偏導數，并將觀測值（xi=Li）代入偏導數后的值，故均為常數。求任意函數中誤差的方法和步驟如下：列出獨立觀測量的函數式：求出真誤差關系式。對函數式進行全微分，得求出中誤差關系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數也平方，即可直接寫出中誤差關系式：表5-2 常用函數的中誤差公式二、應用舉例【例5-2】 在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點的長度為 d=23.4 mm，其中誤差 md=±0.2 mm，求該兩點的實際距離D及其中誤差 mD 。解：函數關系式：D=M d，屬倍

3、數函數，M=500是地形圖比例尺分母。兩點的實際距離結果可寫為：11.7 m±0.1 m。【例5-3】水準測量中，已知后視讀數a =1.734 m，前視讀數b=0.476 m，中誤差分別為ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，試求兩點的高差及其中誤差。解：函數關系式為h=a-b，屬和差函數，得兩點的高差結果可寫為1.258 m±0.004 m?！纠?5-4】在斜坡上丈量距離，其斜距為L=247.50 m，中誤差mL=±0.05 m，并測得傾斜角=10°34，其中誤差m=±3，求水平距離D及其中誤差mD解: 1）首先

4、列出函數式2）水平距離這是一個非線性函數，所以對函數式進行全微分， 3）先求出各偏導值如下4）寫成中誤差形式：5）得結果 ： D=243.30 m±0.06 m。【例5-5】圖根水準測量中，已知每次讀水準尺的中誤差為m讀=±2 mm，假定視距平均長度為50 m，若以3倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為L km的水準路線上，圖根水準測量往返測所得高差閉合差的容許值。解:1)每站觀測高差為：h=a-b2)每站觀測高差的中誤差：因視距平均長度為50 m，則每公里可觀測10個測站，L公里共觀測10L個測站，L公里高差之和為：L(km)高差和的中誤差為：往返高差的較差（即高差閉合差

5、）為：高差閉合差的中誤差為：以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：在第二章中，取 (5-3-41.4)作為閉合差的容許值是考慮了除讀數誤差以外的其它誤差的影響（如外界環境的影響、儀器的i角誤差等）。三、注意事項應用誤差傳播定律應注意以下兩點：1要正確列出函數式例：用長30 m的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中誤差為ml =±5 mm，求全長D及其中誤差mD。1）函數式 D=10l=10×30=300 m按倍數函數式求全長中誤差，將得出2）實際上全長應是10個尺段之和，故函數式應為用和差函數式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為按實際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數公式則是錯誤的。 2在函數式中各個觀測值必須相互獨立，即互不相關。如有函數式：z=y1+2y2=1 (a)而：y1=3x;y2=2x+2 (b)若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。1）直接用公式計算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得（上面所得的結果是 錯誤）上面的結果為什么是錯誤的 ？因為