1、元二次方程根與系數關系的綜合應用內容教學目標(一)使學生更深刻的體會與系數的關系的意義；(二)培養(yǎng)學生解綜合題的分析問題與解決問題的能力.教學重點和難點重點：運用根與系數關系解綜合題.難點：分析問題的能力.教學過程設計(一)新課例1 已知方程3x2+5x-7=0,填空并說出理由：(1) 這個方程有沒有實根? _ (2) 這個方程兩根同號還是異號? _(3) 這個方程的絕對值較大的根是正的還是負的? _ 答案提示：(1) 因為0，所以有兩個不相符的實根；(2) 因為在簡化二次方程中，常數項為負值，所以兩根異號；(3) 因為兩根之和為-,所以負根的絕對值較大.例2 一元二次方程的兩根之和正值且兩根

2、之積也是正值，那么這兩個根是不是都是正的?答：這兩個根不一定是正的，例如方程x2-x+1=0，兩根之和x1+x2=10，兩根之積x1x2=10，但是=(-1)2-4=-30,原方程沒有實數根，而正數、負數都是實數，所以原方程不可能有正根.分析：先化為最簡二次方程.先由兩根之積求出另一個根，再由兩根之和求出k值.例4 ,是方程x2-3x-5=0的兩個根，不解方程，求下列各式的值： 分析：如果一個含有字母，的式子，把處換為，把處換為，其結果與原式相同，那么這個式子叫做關于，兩個字母的對稱式.式子+與是最基本的對稱式，較為復雜的對稱式都可轉化為用基本對稱式來表示的形式.而基本對稱式與方程的系數有關.

3、所以，關于兩根的對稱式，可以用方程系數代入后、算出.解：+=3,=-5. 例5 已知方程2x2+4x-3=0,不解方程，求作一個一元二次方程，使它的一個根是已知方程兩根之和的倒數，另一個根是已知方程兩根差的平方.分析：應先求出已知方程的兩根之和的倒數及已知方程兩根差的平方，然后再用已知兩根寫出方程的方法，寫出所求方程.解：把原方程化為簡化二次方程設x1,x2是此方程的兩根，則有.(二)課堂練習1.如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根，一個負根，且正根的絕對值小于負根的絕對值，那么( ). (A) a,b同號，且a,c同號 (B) a,b同號，且a,c異號 (C) a,b異號，

4、且a,c同號 (D) a,b異號，且a,c異號 2.已知a,b,c,d都不是零，且a,b是方程x2+cx+d=0的解，c,d是方程x2+ax+b=0的解，則a+b+c+d的值為_.答案或提示：1.設方程兩根為x1,x2.已知x1,x2一正一負，且負根絕對值大，因為x1+x2=- 所以a,b同號.又，即a,c異號，故選(B).2.由題意 a+b=-c, ab=d, c+d=-a, cd=b. 由得 a+b+c=0. +得 a+b+c+d=-a-c. 由代入，左邊=0+d,右邊=b,所以d=b,代入得ab=b.又b0，所以a=1.把b=d代入，得c=1.所以a+b+c+d=-a-c=-1-1=-2

5、.(三)小結一元二次方程根與系數關系有很廣泛的用途.目前，可解決以下幾類問題1.已知二次方程的一個根，可求另一個根.2.已知兩根，可寫出這個二次方程.3.求已知二次方程的根的對稱式.4.與根的判別式結合起來，可不解方程判斷兩根的性質和正負號.在運用韋達定理時，應先化為簡化二次方程，并牢記兩根之和是一次項系數的相反數而不是一次項系數本身.(四)作業(yè)1.方程2x2-ax+2b=0中，兩根的和為4，兩根之積為-3，那么a,b的值是( ). (A) a=8,b=-6 (B) a=4,b=-3 (C) a=3,b=8 (D) a=8,b=-32.設方程2x2+ax+2=0的兩根為，且=,則的值是( ). 3.已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個實數根，且這兩根的平方之和比兩根之積大21.求m的值.4. m為何值時，方程2x2+3x-m=0(1) 有一個根的零；(2)兩個實根互為倒數；(3)有兩個負實數根.作業(yè)的答案或提示課堂教學設計說明1.在根與系數關系的問題中，常見的錯誤之一是：兩根之和為正數且兩根之積為正數時，這兩根必是正數，(缺少了0這一條件)，為此教學設計中編排了例2.2