1、四點共圓專題講義例1如圖，E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點求證：E、F、G、H四點共圓例21如圖，在ABC中，BD、CE是AC、AB上的高，A=60°求證：ED=2：點O是ABC的外心，BE，CD是高求證：AODE例3如圖，在ABC中，ADBC，DEAB，DFAC求證：B、E、F、C四點共圓總結：四點共圓的方法：OA=OB=OCADC=ABC=90°ACD=ABD=90°B+D=180°或A+BCD=180°或A=DCEA=D或B=C1_2_ 3_4_例4求證：圓內接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積，即圖中AB·CD+BC

2、·AD=AC·BD練習1在中，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉得到線段PQ1假設且點P與點M重合如圖1，線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出CDB的度數；2在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想CDB的大小用含的代數式表示，并加以證明；3對于適當大小的，當點P在線段BM上運動到某一位置不與點B，M重合時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出的范圍練習2在ABC中，A=30°，AB=2，將ABC繞點B順時針旋轉0°<<90°

3、，得到DBE，其中點A的對應點是點D，點C的對應點是點E，AC、DE相交于點F，連接BF.1如圖1，假設=60°，線段BA繞點B旋轉得到線段BD.請補全DBE，并直接寫出AFB的度數；2如圖2，假設=90°，求AFB的度數和BF的長；3如圖3，假設旋轉0°<<90°，請直接寫出AFB的度數及BF的長用含 的代數式表示.圖3圖1圖2練習3，點P是MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉交射線ON于點B，且使APB+MON=180°1利用圖1，求證：PA=PB；2如圖2，假設點C是AB與OP的交點，

4、當SPOB=3SPCB時，求PB與PC的比值；3假設MON=60°，OB=2，射線AP交ON于點D，且滿足且PBD=ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP長練習4，在ABC中，AB=AC過A點的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點A按順時針方向旋轉角，直線a交BC邊于點P點P不與點B、點C重合，BMN的邊MN始終在直線a上點M在點N的上方，且BM=BN，連接CN1當BAC=MBN=90°時，如圖a，當=45°時，ANC的度數為_ ；如圖b，當45°時，中的結論是否發生變化？說明理由；2如圖c，當BAC=MBN90°時，請直接寫出ANC與BAC之間的

5、數量關系，不必證明練習5：Rt和 RtABC重合，=ACB=90°，=BAC=30°，現將Rt 繞點B按逆時針方向旋轉角60°90°，設旋轉過程中射線和線段相交于點D,連接BD1當=60°時，過點C，如圖1所示，判斷BD和之間的位置關系，不必證明；2當=90°時，在圖2中依題意補全圖形，并猜想1中的結論是否仍然成立，不必證明；3如圖3，對旋轉角60°90°，猜想1中的結論是否仍然成立；假設成立，請證明你的結論；假設不成立，請說明理由圖1 圖2 圖3練習6在等邊ABC外側作直線AP，點B關于直線A

6、P的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中CD交直線AP于點E設PAB，ACE，AEC(1) 依題意補全圖1； (2) 假設15°，直接寫出和的度數；(3) 如圖2，假設60°<<120°，判斷，的數量關系并加以證明；請寫出求大小的思路可以不寫出計算結果圖2圖1練習7閱讀下面材料：小紅遇到這樣一個問題，如圖1：在ABC中，ADBC，BD=4，DC=6，且BAC=45°，求線段AD的長小紅是這樣想的：作ABC的外接圓O，如圖2：利用同弧所對圓周角和圓心角的關系，可以知道BOC=90°，然后過O點作OEBC于E，作OFAD于F，在RtB

7、OC中可以求出O半徑及OE，在RtAOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解決此題請你答復圖2中線段AD的長 .參考小紅思考問題的方法，解決以下問題：如圖3：在ABC中，ADBC，BD=4，DC=6,且BAC=30°，那么線段AD的長 .練習8：A、B、C三點不在同一直線上 (1)假設點A、B、C均在半徑為R的O上， i如圖，當A=45°，R=1時，求BOC的度數和BC的長； ii如圖，當A為銳角時，求證：sinA=； (2)假設定長線段BC的兩個端點分別在MAN的兩邊AM、AN(B、C均與A不重合)滑動，如圖，當MAN=60°，BC=2時，分別作BPAM，CPAN，交點為P，試探索在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離是否保持不變？請說明理由 練習9在四邊形ABCD中，ABDC，ABCD，K，M分別在AD，BC上，DAM=CBK求證：DMA=CKB分析：連KM，由DAM=CBK，得到A，B，M，K四點共圓，那么DAB=CMK，AKB=AMB，而DAB+ADC=180°，得到CMK+KDC=180°，因此C，D，K，M四點共圓，所以CMD=DKC，即可得到DMA=CKB解答：解：連KM，DAM=CBK，A，B，M，K四點共圓，