1、題干證明DFT的對稱定理，即假設X(k)=DFTx( n),證明：DFT :X(n): =NX(N k)答案N d kn 證：因為：X(k)二嘉 x(n)WNn=0NdNJ NJ所以:DFTX(n)=' X(n)WNkn -x(m)WN"nn =0n=0 m=0N JN J八 x(m)' Wm k)m=0n=0N由于：7 WN切N=彳m=N -kn=00m-N-k, 0 _m _ N-1所以：DFT : X(n): =NJN- k)k =0, 1,N- 1題干1 N如果X(k)=DFT : x( n),證明DFT的初值定理：x(0)=無X(k)N心答案證：由IDFT定

2、義式：1 NJ x(n)=遲 X(k)Wfnn= 0,1,，N1N k=01 N 4可知：x(0 Z X(k)N心題干證明：若x(n)為實序列，X(K)=DFTx( n)h貝U X(k)為共軛對稱序列，X(K) =X*(N -k)。即答案證：由DFT的共軛對稱性。將x(n)表示為x(n)=x r (n)+jx i (n)貝U: X(k)=DFT : x(n) : =Xep(k)+X op(k)其難：Xep(k)=DFT：xr(n),是 X(k)的共軛對稱分量；X op(k)=DFT ：jx i (n),是X(k)的共軛反對稱分量。所以：如果 x(n)為實序列，則 Xop(k)=DFT :jx

3、i (n) =0, 故 X(k)=DFT :x(n): =Xep(k)，即 X(K) =X*(N -k)。題干證明：若 x(n)實偶對稱，即 x(n)=x(N n)，且 X(K)=DFTx(n)N 則 X(k)也實偶對稱。答案證明：由DFT的共軛對稱性可知，如果x(n)=x ep(n)+x op(n)則:X(k)=Re : X(k) : +j Im : X(k):貝U: Re : X(k) : =DFT xep(n) : , j Im : X(k) : =DFT xop(n):所以： 當x(n)=x(N n)時， 等價于上式中 x°p(n)=0, x(n) 中只有xep(n) 成分，

4、所以X(k)只有實部，即 X(k)為實函數。 又實序列的DFT必然為共軛 對稱函數，*即 X(k)=X (N k)=X(N k)，所以 X(k)實偶對稱。題干證明： 若 x(n)實奇對稱，即 x( n)= x(N- n)，且 X(K) = DFTx( n)N 則 X( k)為純虛函數并奇對稱。答案證明：由DFT的共軛對稱性可知，如果x(n)=x ep(n)+x op(n)則:X(k)=Re : X(k) : +j Im : X(k):貝U: Re : X(k) : =DFT xep(n) : , j Im : X(k) : =DFT xop(n):所以：當x( n)= x( N-n)時，等價于

5、x(n)只有x°p( n)成分(即xep(n)=0 ),* 故X(k)只有純虛部，且由于 x(n)為實序列，即X(k)共軛對稱，X(k)=X (Nk)= X( N- k),為純虛奇函數。題干證明頻域循環移位性質：設X( k)=DFT : x( n) ,Y( k)=DFT : y( n),如果InY(k)=X( k+i) NRk),則 y(n) = idft Y(k)=叫 x(n)答案證：* N_Jy(n)=IDFTY(k)>-S Y(k)Wn1 NAN kX(k+l)NW/nN kANJ= wNn$ x(k + i)NW,k®N z令 mi=k+l,則1 Ny(n)=

6、wNnh!： X(m)NWNnN m=t n 1 寸、夕/ 、.一mn . . ,ln 彳、 =Wj 瓦 X (m)WN =WNX(n) N mT題干證明離散帕塞瓦爾定理。若X(k)=DFT :x( n),貝UN 丄N J_丁21 丁2無 |x(n)| - Z |X(k)|n 仝N k _0_答案證：1NV1NJ存 |X(k)X(k)X*(k)N心N心1N UNd= X(k)|5： x(n)W | Nk=0ln=0丿N 41 N 4=送 x*(n)石送 X(k)W/nn=0N k=0N -1N -4=Z. x (n)x(n)=送 |x(n) |2n Yn X題干若X(K)=DFTx(n) n,

7、證明X(K)是隱含周期的，其周期為N。答案證明：對任意整數m , k, m,N 1N _1N AX(k+mN)=2； x(n)wNk_|mN)n =遲 x(n)W,n = X(k)nn蘭題干證明wNk的周期性，即WNk =Wk*N其中:k,m為整數，N為自然數答案證明：k -4mNj 輛;k 4mN )Wn二=ej評_j綁N=ex e_jN7-j 2 nm=e& e_j三琢=e貳(cos 2兀 m j sin 2兀 m)_j五=ek=Wn題干若：DFTx(n)=X(k)證明：DFTx"(n)=X(Nk)k=0N1答案證明：N/X*(N k)=瓦 x(n)WN(N±n

8、*n=0N 4=L x*(n曲N*nn =0N 4=送 x*( n)W/N w,nn =0N 4x*(n)WNknn =0= DFTx*( n)其中：WfN =e閘N =e%=cos(2n兀)+ j sin(2 低)=1題干若：x(n) =x(n )+jXi ( n ) 證明 DFTx(n)=Xep(k)答案證明：DFTxr( n) =DFTRex( n)= DFT&x(n)+x*( n)#X(k) + X*(N k)*p(k)題干若：x(n)=心(n)+xUn )證明 DFTxep(n)=X r(K)答案證明：DFTXep( n) = DFT1x(n) +x*(N n)= 2X(k)

9、 + X*(k)= ReX(k)=XR(k)題干若:x(n) =Xr (n )十 jXi (n ) 證明 DFTjx , (n)=Xop(k)答案題干若：x(n) =Xep(n)+Xop(n ) 證明：DFTXop(n) = jXi(K)答案證明：DFTXop( n) = DFT&x(n) x*(N n)= 1X(k)X*(k)= jlmX(k) = jXi(k)= X°p(k)證明：DFTjx(n) =DFT2x(n)x (n)= ；X(k) X*(N k)= X°p(k)= ；X(k) X*(N k)題干證明：Wr-WN"答案證明：=e卻，e皿= ej

10、；Rcos兀-jsin兀= -wN題干證明：WrT=(-1)k答案證明：w/k=COS化 k) jsin嚴 k) =(1)k題干證明：答案證明：M/Nf* r散）*Wn =e NejN）ej2e 耶=e= e x enW,題干證明：Wn=w,答案證明：_e訓）_e訓伽 j 2 ym=e N" x（cos2jsin2兀）j 2 _m=e N （cos2二-j sin 2二） 二 eWw題干證明wNJ =wL答案證明：wKJ=eT=e"F=WN：題干證明DFT的線性性質即：若y(n)=axi(n) +bx?(n)則：丫(k)=DFTv(n)l =aX“(k)+bX2(k)其中：

11、a、b 為常數答案證明：令：y(n)=ax“(n)+bx2(n)則： 丫(e® =FTy( n)=FTaxd n) +bx2( n)od=瓦a%(n)址屜(n)eJwnn =cd=Z_ ax“(n)ewn +£ bx2(n)ewnnnoci= a£° xdn)ewn +b£° x?(n)ewn= aXi(ej 號 +bX2(ej<°)題干證明 FT 的線性性質。即設Xj(ej° )=FT :x1(n): ,X2(ej° )=FT:x2(n):,那么 FTax1(n) +bx2(n) =aX<e

12、鬥 +bX2(e勺 式中,a, b是常數答案證明：令：y(n)=axi(n)+bx?(n)則： 丫(e號二 FTy(n)=FTaxi( n) +bx2( n)oO=Z a%(n) + bx2 (n)e_|wnn z=cO=送 ax-! (n)eTwn + 送 bx2(n)eTwnnn=£30= a£° xi(n)ewn +b x?(n)e$n= aX1(e +bX2(e)題干將序列x( n)分成實部xr( n)與虛部Xj (n) , x( n)=xr( n)+jx j (n),證明：FTXr( n)=xej答案證明：Xe(e尬戶 FT X(門)=送 Xr(n)ej

13、<nn=Qxe(e戶三 Xr(n )e=Xe(e)n=oO實序列的Fourier變換具有共軛對稱性題干將序列x( n)分成實部xr( n)與虛部Xj (n) , x( n)=xr( n)+jx j (n),證明：FTjXi( n)=xo(e唸)答案證明：Xo(ej)=j xjnn z=dOX：(eS)=j£ 片(nje雖=-Xo(ej<°)n =c0虛數Fourier變換具有共軛反對稱性題干將序列x(n)分解為共軛對稱序列和共軛反對稱序列 即：x(n)=xjn)+xo(n)證明：FTxe( n)=XR(e臨)答案證明：1FTxe (n) =；X(ejC°

14、;)+X*(ejG) =ReX(e 心)=XR(ejCC)2序列x( n)的共軛對稱部分xe( n)對應著X(ej °)的實部XR(ej °)題干將序列x(n)分解為共軛對稱序列和共軛反對稱序列 即：x(n)=人(門)+人(n)證明：FT>o( n)=jXi(e熾)答案證明：FT) = 1x(e(ej<a)=j Im X (ej° )=jXi (e戀)序列x( n)的共軛反對稱部分 xo( n)對應著X(ej ° )的虛部(包括j)。題干證明時域卷積定理，即設y( n)=x( n)* h(n)則：Y(ej 3)=X(ej ° )H

15、(ej ° )答案證明：y(n)=QOZ x(m)h(nm)mcCiY(e血)cOQO= FTy(n)=送送 x(m)h(n m)ej“nJO moo令 k=n-m則：Y(e血)=送 Z h(k)x(m)e "e"=jaOm=cCiQOQO=Z h(k)e捋送 x(m)ejmm=a= H(ej°)X(e血)題干設 x(n)是因果序列,X(z)=ZT :x( n) L 則 x(0) =lim X(z)答案證明：oOX(z)=送 x(n)z* =x(0) +x(1)z +x(2)z" + n=0因此：lim X =x(0)題干設 w( n)=x(

16、n)*y( n)X(z)=ZT : x(n) :Rx <|z|<R x+Y(z)=ZT : y(n) :R <|z|<R y+1證明；W(z)=ZT : w(n) =X(z)Y(z)Rw_ <|z|<R w+Rw+=min Rx+, Ry+R w-=max : Rx- , R y-答案證明：W(z) =ZTx(n) y(n)oOoo=遲_遲 x(m)y(n m)zmcciQOoO=Z x(m)送 y(n m)z=送 x(m)z Z y(n m)z4nJM)n=cCi= X(z) Y(z)W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。題干設 m(n)=a

17、x(n)+by(n)a, bX(z)=ZT :x(n) : R<-<|z|<R x+Y(z)=ZT :y(n) : Ry-<|z|<R y+則:M(z)=ZT : m(n) =aX(z)+bY(z)Rm-<|z|<R m+Rm+=min : 0+, R y+: ;Rm-=max :Rx-, R y-:答案證明：ZTm(n) =ZTax( n) +by( n)o=瓦ax(n) +by(n)Znqooa=Z ax(n)Z十送 by(n)Znn =£30oooa=a 瓦 x(n)Z+b 瓦 y(n)Z= aX(Z) +bY(Z)Rm-<|z|<R m+Rm+=mi n Rx+, Ry+】 ；Rm-=max Rx-, Ry-:題干證明：FT的周期性。即證明 FT的周期是2兀。答案證明：X(ej3)=：£ x(門曲涉x(n屮 $(e®M為整數nnz;f5Cl題干證明線性卷積服從交換律。即證明下面等式成立：x(n廣h( n)=h( n)*x( n)答案證明：因為o