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例1計算積分,是球面被平面()截出的頂部。例2計算積分,是圓柱面與平面,圍成的立體的全表面。例3求,其中為(),被積函數(shù)。例4計算積分,是球面;是介于平面,之間的圓柱面。例5計算積分,其中:。例6計算積分,是上半球面被旋轉(zhuǎn)拋物面截出的頂部。例7計算曲面積分,為錐面被圓柱面()所截下的部分。例8計算半徑為的均勻半球殼的重心。例1計算積分,是球面被平面()截出的頂部。解:,在面上的投影區(qū)域:,例2計算積分,是圓柱面與平面,圍成的立體的全表面。解:,:; :, :,:,:,其中、在面上的投影區(qū)域均為,且由,圍成。又例3求,其中為(),被積函數(shù)。解:,其中:();:();故;:在面的投影區(qū)域為:,則例4計算積分,是球面;是介于平面,之間的圓柱面。解:因為:,故;:,則;,:,:,在面上的投影區(qū)域相同均為:,且對于,均有例5計算積分,其中:。解:,其中:,:;:或因為積分曲面具有輪換對稱性,即,則例6計算積分,是上半球面被旋轉(zhuǎn)拋物面截出的頂部。解:關于、坐標面對稱,故,故:,:,例7計算曲面積分,為錐面被圓柱面()所截下的部分。解:因為錐面、圓柱面均關于面對稱,故曲面關于面對稱,而關于恰好是奇函數(shù),關于是偶函數(shù),從而:,如圖所示。例8計算半徑為的均勻半球殼的重心。解:設半球殼為上半球殼,即:,:;
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