1、精選優質文檔-傾情為你奉上第二章 無限期界與世代交疊模型A、拉姆齊（賽）卡斯庫普曼模型1、假設：廠商大量相同廠商，生產函數是，是規模報酬不變，要素與產出市場是競爭性的，A是給定的，以速率g外生增長，且企業由家庭所有，企業產生的任何利潤歸于家庭。家庭大量相同家庭，家庭中人口的規模以n速率外生增長，將其擁有的資本租給廠商，初始資本為，其中，是經濟中的資本的初始量，H是家庭數量。不存在折舊，每個時點上，家庭將其收入（勞動收入、資本所獲得收入和從廠商處接受的利潤）在消費與儲蓄中分配，以最大化其終身效用。家庭的效用函數是：，其中是家庭每個成員的消費。是瞬時效用函數既定時刻家庭每個成員的效用，其形式是（它

2、是著名的相對風險厭惡不變的CRRA效用函數，該函數的相對風險厭惡系數（阿羅帕拉特風險厭惡測度值）為即獨立于C，并能使經濟收斂于平衡的增長路徑。其二個特征：（1）如果，關于C是遞減的；如果，則消費是遞增的。給除以，是確保無論取什么值，消費的邊際效用是正的。（2）在，瞬時效用函數可簡化為）， ，是消費跨期替代彈性。是經濟的總人口，是每個家庭的成員人數。是時刻家庭的總瞬時效用。是貼現率，其越大，表明相對于現期消費，家庭對未來消費的估價越小（更偏好于現期消費，少儲蓄）。且（可確保終生效用不會發散，如果這個條件不成立，家庭可獲得無限的終生效用，且難以得到其最大化問題的解）。2、家庭與廠商的行為：（1）廠

3、商：邊際產品，市場是競爭的，資本獲得其邊際產品，以不存在折舊，資本的真實報酬率等于每單位時間的收入（利率），那么，真實利率為：，勞動的邊際產品是，它等于。根據，它可寫成，因此，在時刻，真實工資為：，每單位有效勞動的工資是：。（2）家庭的預算約束：代表性家庭把與的路徑取做給定的。家庭的預算約束是其終生消費的貼現值不能超過其初始的財富與其終生勞動收入的現值之和。考慮到可隨時間而變化，將累加利息因子定義為。表示在0時刻投資一單位的產出品將在時刻獲得數量為的物品。亦即，在時刻的一單位產出的價值用0時刻的產出表示為（表明在0, 時刻連續復利的效應）。家庭預算為：用家庭的資本持有量的極限行為來表示，即從到

4、的積分形式作為一種極限：（指時刻，家庭資本持有量）根據上式，可將預算約束簡單寫成：，表示家庭所持資產的現值不能是負的。著名的非蓬齊博弈條件。（3）家庭的最大化問題（每工人消費）家庭瞬時效用簡化為：由于代入目標函數，得：家庭預算簡化：家庭總消費家庭的總勞動收入：因（是家庭持有的，不是家庭成員持有的）非蓬齊條件表達式：由于構建拉格朗日函數：求關于的導數，即一階條件：對上式取對數，得：兩邊求關于的導數，得：即表明每個工人的消費是以的速率增長。如果實際報酬超過了家庭用于貼現未來消費的速率，每個工人消費將上升。越小，隨著消費的變化，其邊際效用的變化越小，從而，為對實際利率與貼現率之間的差異作出反應，消費

5、變動就越大。歐拉方程的求解：假設家庭在時，將減少較小的量，在一個較短的時刻，把這個新增的儲蓄進行投資，并在時刻消費這部分收入。這種變化對終生效用的邊際影響則是零。的邊際效用是，則這種變化的效用成本為：；由于瞬時的報酬率為，在時刻，可被增加的數量為（有效勞動增加）。同樣，由于的增長率是，那么，因此，在的邊際效用為：理性家庭，其期望效用保持不變：給兩邊同除以，得：3、經濟的動態學：（1）的動態學：由于，即，當，那么，設代表在時的的水平，當，（資本邊際報酬遞減），；當，。如圖：kc（2）的動態學：與索洛模型一樣，等于實際投資減去持平投資。由于不存在折舊，持平投資為，實際投資是產出減去消費為，即：，那

6、么消費等于實際產出與持平投資線的差額時，開始關于是遞增的，直到（的黃金律水平），后關于是遞減的。當超過可獲得的水平時，則下降，當小于可獲得的水平時，則上升，對于充分大的，持平投資超過產出，在此條件下，對于一切的正值，。如圖：，ck的動態學（3）與相圖：，E 與的動態學 （4）的初始值：（解釋在下方，大于0,可用來解釋，因為下方的小，而使產出大于持平投資，或者可從，及）CFDAB 與關于的各種初始值的行為）中（F是收斂的，因為，其他點上，發散的，即較之于家庭的終生消費的貼現值，其終生收入的貼現值是無窮大的，因此，家庭可獲得更高的效用，這樣的路徑不是均衡的。） （5） 鞍點路徑： 鞍點路徑是指對于

7、的任何正的初始水平，存在一個惟一的的初始水平，它與家庭的最優化、資本存量的動態學、家庭預算約束以及不為負的要求相一致，那么，這種初始的作為的一個函數的函數便是鞍點路徑。 E 鞍點路徑 4、福利（略） 5、平衡增長路徑（1）平衡增長路徑的性質：經濟行為一旦收斂于E點，它便等同于處在平衡路徑上的索洛經濟的行為，每單位有效勞動的資本、產出與消費是不變的。由于與不變的，儲蓄率也是不變的，總資本存量與總消費均以的速率增長，且每工人資本、每工人產出與消費發速率增長。（儲蓄率的內生與外生假定都一樣，勞動的有效性的增長仍是每工人產出持續增長的惟一可能的源泉。（2）平衡增長路徑與資本的黃金律水平索洛模型與拉姆齊

8、模型的平衡增長路徑之間的惟一區別是：擁有資本存量大于黃金律資本水平的平衡路徑在拉姆齊模型是不可能的，即在索洛模型中，充分高的儲蓄率引致經濟達到一個平衡路徑，它的性質是存在一些可行的選擇，涉及在每個時刻更高的水平的消費。相反，在拉姆齊模型中，儲蓄由家庭行為中推出，該家庭的效用依存于其消費，并且不存在外部性，結果，使經濟在每個時點上獲得較高消費水平的路徑，不能是一個均衡，如果經濟處在這樣一個路徑上，家庭將會減少他們的儲蓄并利用這種機會。（從鞍點圖分析：（a）當初始資本存量大于黃金律水平，初始消費會大于那個為保持不變所需的消費水平，因此，逐漸趨向；（b）小于黃金律資本存量意味著經濟并不會收斂于那種可

9、獲得的最大維持水平的平衡路徑，假設，那么，是由定義的，而黃金律的由定義，因而我們假定簡化為，由于，在處開始的儲蓄增加將會引致每工人的消費最終高于其先前的水平，并且在那里保持不變，但因家庭對現期消費的偏好大于未來時期，使得消費的最終的永久性增加的好處受到限制。在某個點上，特別地，當，暫時的短期犧牲與永久的長期收益之間的替代是十分不利的，以致接受該替代會減少而非提高終生的效用，因此，收斂于低于黃金律水平的資本量，由于是經濟收斂于平衡路徑時的的最優水平，它便是著名的修正的黃金律資本存量）。 6、貼現率下降的效應 考慮一個處在其平衡路徑上的拉姆齊經濟，并且設存在貼現率下降。由于是主導家庭對現期與未來消

10、費之間偏好的參數，在這個模型中，這個變化與索洛模型中的儲蓄率的上升，十分相似。 （1）定性效應： 由于的演化由技術而非偏好決定，進入而不是進入的方程。因此，只有的軌跡受到影響。由于，當， 值由決定，且由于，這意味著的下降會提高。那么，線向右邊移動。 在的變動的時刻，的值，即每單位有效勞動的資本存量由經濟的歷史給定，并且它不能間斷地變化。特別地，在變動的時刻，等于原平衡增長路徑上的值。相反，即家庭此時刻正在進行的消費的速率，則在沖擊時刻發生跳躍。 在變動發生的時刻，向下跳躍，使得經濟處在新鞍點路徑值（如圖中的A點）。此后，與逐漸上升到其新的平衡增長路徑值，這些值均高于其原平衡增長路徑上的值。因此

11、，貼現率下降的效應類似于索洛模型中的儲蓄率上升的效應：在兩種情形中，逐漸上升到新的較高水平，但均初始下降但接著上升到其開始時的水平之上。正如索洛模型中具有一個儲蓄率的永久性上升的情況一樣，貼現率的永久下降會產生每工人資本增長率與每工人產出的暫時性增長。兩者差異是：在下降的情形下，產出的儲蓄部分在調整過程中一般不是不變的。EA 貼現率下降的效應（2）調整速率與鞍點路徑的斜率 這里用平衡增長路徑附近的線性近似方程替代這些非線性的方程。在與的附近給與取一階泰勒近似，即，定義與，由于與均不變，則且，上式可寫成：對分別求關于與的導數，且時，那么，可得到：對上式兩邊同除以，得到： （1）同理，對分別求關于

12、與的導數，且，可得到對上式兩邊同除以，可得： （2）（1）與（2）式意味著與的增長率只依存于與的比率。設，方程（1）可變為：，假設，那么，如果為正，那么，與正在增長，這便是經濟不是沿一條直線走向的，相反，它正在沿一條直線偏離。因此，如果經濟收斂于，那么，為負，即，。如圖所示：ABEBAkc 線性化相圖由于是負的，則意味著與之間的關系所具有的符號將不同于的，鞍點路徑AA線斜率為正，BB線的斜率為負。如果我們線性化關于與的方程，可以用模型參數刻畫經濟動態學的特征。在0時刻，必定會跳躍到（這是從推出的）。此后，與均會以速率收斂于它們的平衡路徑；這便是，。（3）調整速度理解對于收斂于平衡路徑的速度的含

13、義，我們用柯布道格拉斯生產函數，即。由于平衡路徑上消費等于產出減去持平投資，每單位有效勞動的消費等于，代入式得：由于，可得，將此代入上式，得： 上式表明了用模型的基本參數表示的調整速率。 7、政府購買的效應 （1）把政府納入模型中。假設每單位有效勞動的政府購買是，其不影響私人效用，其購買由稅收融資而得，不影響產出。那么，投資是產出同私人消費與政府購買之間的差額。因此，的運動方程如下： 較高的值把軌跡向下移動，如果保持不變，那么由政府購買的產品越多，由私人購買的產品就越少。依據假設，家庭的偏好不變，但歐拉方程或在對家庭施加終生預算約束限制下由其偏好中推出的，其他條件仍成立，但政府購買融資的稅收會

14、影響家庭預算約束，即： 同樣的推導過程，可得出消費增長路徑。 增加政府購買并不影響歐拉方程，那么我們來分析： （2）政府購買的永久性與暫時性變動的效應 假設在某個數量為水平上保持不變，經濟處在平衡增長路徑，并且存在一個未預期的、永久性的G的趨向的增加。由于的軌跡向下移動的數量等于G的增加量，且增加政府購買并不影響歐拉方程，則的軌跡不變，如下圖： E 政府購買永久性增加的效應對這種變化作出反應，必須跳躍，使得經濟處在其新的鞍點路徑上。即政府購買與稅收的永久性增加會減少家庭的終生財富。因此，消費立即下降。由于購買與稅收的增加是永久性的，不存在家庭通過調整其消費的時間方式來提高其效用的空間。因此，消費的立即下降的數量等于整個政府購買的增加量，并且資本存量與實際利率不受影響。更為復雜的是由G的非預期的增加提供的：假設最終時期被確切地知道，在這種情形中，的下降量并不等于整個G的增加量。如果該數量為，那么當政府購買再回到水平時，消費將會發生