1、淺析基于學生數學認知結構教學設計的原則【摘要】數學認知結構是數學知識結構與學生個體心理結構相互作用的產物,數學教師應以此作為出發點,有的放矢的進行教學設計。本文對基于學生數學認知結構教學設計的三項原則作出簡要論述。【關鍵字】數學認知結構數學知識結構教學設計數學教學包含緊密聯系的三個方面:教師、教材、學生。這三個因素組成教學的三要素,其中學生是整個教學過程的核心,是出發點,是基礎。高中數學教師進行教學設計必須以現階段高中學生的數學認知結構狀況為出發點。一數學認知結構與數學知識結構數學認知結構是學習者頭腦中的數學知識結構,即數學知識結構通過內化在學習者頭腦中所形成的觀念的內容和組織。所謂數學知識結

2、構就是數學學科知識的內部聯系和規律,即數學的基本概念、公理、定理、方法相互滲透互相關聯而形成的梯級結構和網絡結構。數學認知結構是一種主觀的帶有能動性的、具有開放性的立體多層次的網狀知識結構。它既包含處于低層次的諸如概念、定理等的一般知識,又包含處于高層次的諸如解題方法的中層知識,還包含處于最高層次的諸如數學方法論、數學觀的知識。數學認知結構和數學知識結構的關系可簡單地表示為如下的式子:數學認知結構=數學知識結構+主體人的主觀能動性(或:數學知識結構內化數學認知結構。這里的“+”不是機械相加,而是表示內化,即數學知識結構通過主體內化為數學認知結構。數學認知結構既包括作為數學知識內容的表象、概念和

3、概念體系,又包括掌握相應知識內容所必須的數學思維能力。數學知識結構是人類歷史上數學成果的總結,對認識主體來說,它是客觀的、外在的東西;各人的認識水平不同,從而產生不同的思維能力,因而數學認知結構是主觀的內在的能動的東西,甚至可以是錯誤的東西。即使機械地記住了全部數學內容,也不見得就形成了與之相應的數學認知結構,單純的數學知識的堆砌不能形成良好的數學認知結構;另外,各人對數學的看法不同,因而也形成了各不相同的解決數學問題的方法和不同的數學觀。二良好數學認知結構的特性數學教學的主要目的就是使學生產生良好的數學認知結構,從而發展學生的數學思維能力,而學生能否形成良好的數學認知結構取決于學生原有的數學

4、認知結構里是否具有清晰的(可辨別的、可同化新的數學知識的觀念(固定點、生長點以及這些觀念的穩定情況,據此,認知心理學家布魯納認為良好的數學認知結構有如下三個特點。1.可利用性:當學習者學習新的數學知識時,他原有的數學認知結構中具有可以同化新的知識的固定點;2.可辨別性:當原有的數學認知結構同化新的數學知識時,新舊知識的異同點可以清晰地被辨別;3.穩定性:數學認知結構里的原有觀念是相對穩定的。三基于學生數學認知結構教學設計的原則分析(一 深入了解目前多數學生的數學認知結構狀況要建立學生良好的數學認知結構,必須深入了解學生原有的數學認知結構狀況,只有這樣,才能選擇更適合學生特點的教材呈現方式供學生

5、學習,也只有這樣,才能有針對性地進行教學。必須了解學生初中學過哪些數學知識,高中數學知識與初中數學知識要有一個銜接過程;還必須了解目前高中學生的數學認知能力層次。了解學生數學認知結構的方法之一是在一定范圍內編制診斷性的測驗,根據一個完整數學認知結構應包含的成分,設立某知識范圍的數學認知結構測驗。這種測驗在效度、信度和區分度上應有一定的要求,應既包含簡單的概念、公式、定理的測試題,也包含數學方法、技巧的測試題,還要包含單元整體結構以及數學思維能力的測試題。測試題在難度上層次逐漸增大,測驗的結果,把學生的數學認知結構分成不同的水平和層次,從而分出認知水平的高低。在進行教學設計的時候當然不可能照顧到

6、每個學生的情況,但應照顧大多數學生的認知結構狀況。上述通過編制診斷性測驗是更深入、科學的了解學生認知結構的方法。但是迫于課時計劃,教師也可以采用較為方便的手段來對學生的認知狀況作粗略的了解。例如在進行二元二次方程組的教學時,教師可以通過提問、作業、個別交流等方式了解學生是否具備了相關的概念和方法,比如,二元一次方程組的定義,解二元一次方程組的基本思想和方法,一元二次方程的解法等等。作了以上工作后教師可以很好的把握教學起點,從而可以有的放矢的進行教學設計。(二 整體性原則其一,對那些聯系功能強的數學知識要給予充分的重視。所謂聯系功能強即是指某個知識點與其它知識點聯系的廣泛性強,例如,概括程度高的

7、數學概念就是聯系功能強的知識。據此,我們認為應注意以下兩點。1.把概括程度較高的基本概念、公式、定理,作為教學的重點。概括程度高的知識易于被同化,使其不斷分化,形成既有抽象觀念又有具體內容的豐富的數學認知結構。當然,談數學知識的概括程度是相對而言的,還必須考慮到高中學生的接受能力。教授此類知識的時候要循序漸進,合理的加大課時量和練習量。2.選擇基本的數學方法和數學思想。數學方法和數學思想經過內化能很好地加強數學知識點之間的聯系。教師在教授知識點的過程中要穿插各種數學方法和數學思想,其中包括基本方法(如配方法、換元法、待定系數法等,又包括思維方法(如類比、分類分析、綜合歸納等,更包括高層次的思想

8、觀念(如方程思想、函數思想、化歸思想等。這樣能使學生居高臨下,形成聯系功能更強的數學認知結構。比如,向量方法是一種聯系數學知識的很好方法,它能把平面解析幾何、復數、三角、函數、初等幾何以至某些代數知識統一在一個觀點下,這對于學生把不同的數學知識融會貫通有極大的幫助,從而能形成各種數學認知結構的互相聯合,形成更大的具有整體性的良好的數學認知結構。其二,以何種方式和順序呈現數學知識對建構學生良好的數學認知結構有利。數學知識結構在很大程度上影響學生數學認知結構的形成,只有最適宜的數學知識結構才有助于學生良好數學認知結構的形成,因此,教師要根據知識結構設計最佳的數學知識呈現序列。1. 數學教材里呈現的

9、每一數學知識(原始概念除外在以前的數學教材中都應有它的固定點,從而為學生數學知識的整體化作準備。例如講圓與圓的位置關系時,要求學生回憶點與圓的位置關系,直線與圓的位置關系,并分析比較它們的異同。這樣,圓與圓的位置關系通過同化與順應兩個過程與原認知結構相作用,才能更有效地耦合進學生的認知結構中去。2 把聯系緊密的數學知識集中起來成“塊”呈現。孤立的數學知識建構不了良好的數學認知結構。當然,必須用發展的觀點看待數學知識的呈現序列。數學教材不可能也不必要一次呈現完某一部分的全部數學知識。例如,整個數的概念(從自然數到復數不可能也沒有必要在初中或高中的某一階段全部集中一次呈現完,因為除了考慮學生的接受

10、能力外,還必須考慮學生數學認知結構的準備情況。(三 啟發性原則數學教材的學習不能只是概念、定理及其證明等的簡單羅列,教師在教學過程中必須對教材加工處理使其能啟發學生思考,激發學生學習數學的興趣。教學設計的啟發性主要體現在對概念、定理的引入上,可舉出具有啟發性的例子,設計出問題系列,使學生在問中找到定理的結論及其證明方法。從認知的角度看,啟發式的方法與直接給出結論的方法相比有很大的優越性:1.在問題中學生有更高的積極性,在這種積極性的促使下,不斷探索解決數學問題的方法,這是加固數學認知結構里各數學觀念之間聯系的重要手段。布魯納曾指出,發現學習確有使學習者成為構造主義者的作用。從某種意義上說,這個人(發現者在對材料加以組織時,力求發現規律和聯系,使信息不致流失,以保證日后起相應的功用。在他看來,發現的實質就是把現象“重新組織”或轉換,使人得以超越現象,再進行組合,從而獲得“新的領悟”,發揮人的智慧潛力。2.在問題的情景中“發現”,有利于記憶的保持,從而有利于數學認知結構的同化和不斷分化,為形成良好的數學認知結構創造條件。布魯納采用米勒關于人的記憶主要