1、第一章 測量誤差及數據處理物理實驗的任務不僅是定性地觀察各種自然現象，更重要的是定量地測量相關物理量。而對事物定量地描述又離不開數學方法和進行實驗數據的處理。因此，誤差分析和數據處理是物理實驗課的基礎。本章將從測量及誤差的定義開始，逐步介紹有關誤差和實驗數據處理的方法和基本知識。誤差理論及數據處理是一切實驗結果中不可缺少的內容，是不可分割的兩部分。誤差理論是一門獨立的學科。隨著科學技術事業的發展，近年來誤差理論基本的概念和處理方法也有很大發展。誤差理論以數理統計和概率論為其數學基礎，研究誤差性質、規律及如何消除誤差。實驗中的誤差分析，其目的是對實驗結果做出評定，最大限度的減小實驗誤差，或指出減

2、小實驗誤差的方向，提高測量質量，提高測量結果的可信賴程度。對低年級大學生，這部分內容難度較大，本課程盡限于介紹誤差分析的初步知識，著重點放在幾個重要概念及最簡單情況下的誤差處理方法，不進行嚴密的數學論證，減小學生學習的難度，有利于學好物理實驗這門基礎課程。第一節測量與誤差物理實驗不僅要定性的觀察物理現象，更重要的是找出有關物理量之間的定量關系。因此就需要進行定量的測量，以取得物理量數據的表征。對物理量進行測量，是物理實驗中極其重要的一個組成部分。對某些物理量的大小進行測定，實驗上就是將此物理量與規定的作為標準單位的同類量或可借以導出的異類物理量進行比較，得出結論，這個比較的過程就叫做測量。例如

3、，物體的質量可通過與規定用千克作為標準單位的標準砝碼進行比較而得出測量結果；物體運動速度的測定則必須通過與二個不同的物理量，即長度和時間的標準單位進行比較而獲得。比較的結果記錄下來就叫做實驗數據。測量得到的實驗數據應包含測量值的大小和單位，二者是缺一不可的。國際上規定了七個物理量的單位為基本單位。其它物理量的單位則是由以上基本單位按一定的計算關系式導出的。因此，除基本單位之外的其余單位均稱它們為導出單位。如以上提到的速度以及經常遇到的力、電壓、電阻等物理量的單位都是導出單位。一個被測物理量，除了用數值和單位來表征它外，還有一個很重要的表征它的參數，這便是對測量結果可靠性的定量估計。這個重要參數

4、卻往往容易為人們所忽視。設想如果得到一個測量結果的可靠性幾乎為零，那么這種測量結果還有什么價值呢？因此，從表征被測量這個意義上來說，對測量結果可靠性的定量估計與其數值和單位至少具有同等的重要意義，三者是缺一不可的。測量可以分為兩類。按照測量結果獲得的方法來分，可將測量分為直接測量和間接測量兩類，而從測量條件是否相同來分，又有所謂等精度測量和不等精度測量。根據測量方法可分為直接測量和間接測量。直接測量就是把待測量與標準量直接比較得出結果。如用米尺測量物體的長度，用天平稱量物體的質量，用電流表測量電流等，都是直接測量。間接測量借助函數關系由直接測量的結果計算出所謂的物理量。例如已知了路程和時間，根

5、據速度、時間和路程之間的關系求出的速度就是間接測量。一個物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學技術的發展，測量儀器的改進，很多原來只能間接測量的量，現在可以直接測量了。比如電能的測量本來是間接測量，現在也可以用電度表來進行直接測量。物理量的測量，大多數是間接測量，但直接測量是一切測量的基礎。根據測量條件來分，有等精度測量和非等精度測量。等精度測量是指在同一（相同）條件下進行的多次測量，如同一個人，用同一臺儀器，每次測量時周圍環境條件相同，等精度測量每次測量的可靠程度相同。反之，若每次測量時的條件不同，或測量儀器改變，或測量方法、條件改變。這樣所進行的一系列測量叫做非等精度測量，非等精度測量的結

6、果，其可靠程度自然也不相同。物理實驗中大多采用等精度測量。應該指出：重復測量必須是重復進行測量的整個操作過程，而不是僅僅為重復讀數。測量儀器是進行測量的必要工具。熟悉儀器性能。掌握儀器的使用方法及正確進行讀數，是每個測量者必備的基礎知識。如下簡單介紹儀器精密度、準確度和量程等基本概念。儀器精密度是指儀器的最小分度相當的物理量。儀器最小的分度越小，所測量物理量的位數就越多，儀器精密度就越高。對測量讀數最小一位的取值，一般來講應在儀器最小分度范圍內再進行估計讀出一位數字。如具有毫米分度的米尺，其精密度為1毫米，應該估計讀出到毫米的十分位；螺旋測微器的精密度為0.01毫米，應該估計讀出到毫米的千分位

7、。 儀器準確度是指儀器測量讀數的可靠程度。它一般標在儀器上或寫在儀器說明書上。如電學儀表所標示的級別就是該儀器的準確度。對于沒有標明準確度的儀器，可粗略地取儀器最小的分度數值或最小分度數值的一半，一般對連續讀數的儀器取最小分度數值的一半，對非連續讀數的儀器取最小的分度數值。在制造儀器時，其最小的分度數值是受儀器準確度約束的，對不同的儀器準確度是不一樣的，對測量長度的常用儀器米尺、游標卡尺和螺旋測微器它們的儀器準確度依次提高。量程是指儀器所能測量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測量范圍（有時也將所能測量的最大值稱量程）測量過程中，超過儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀器準確度降低，使用壽命縮

8、短，重則損壞儀器。誤差與偏差測量的目的就是為了得到被測物理量所具有的客觀真實數據，但由于受測量方法、測量儀器、測量條件以及觀測者水平等多種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，也就是說，一個被測量值N與真值N0之間總是存在著這種差值，這種差值稱為測量誤差，即NNN0顯然誤差N有正負之分，因為它是指與真值的差值，常稱為絕對誤差。注意，絕對誤差不是誤差的絕對值！誤差存在于一切測量之中，測量與誤差形影不離，分析測量過程中產生的誤差，將影響降低到最低程度，并對測量結果中未能消除的誤差做出估計，是實驗中的一項重要工作，也是實驗的基本技能。實驗總是根據對測量結果誤差限度的一定要求來制定方案和選用儀器的，不

9、要以為儀器精度越高越好。因為測量的誤差是各個因素所引起的誤差的總合，要以最小的代價來取得最好的結果，要合理的設計實驗方案，選擇儀器，確定采用這種或那種測量方法。如比較法、替代法、天平復稱法等，都是為了減小測量誤差；對測量公式進行這樣或那樣的修正，也是為了減少某些誤差的影響；在調節儀器時，如調儀器使其處于鉛直、水平狀態，要考慮到什么程度才能使它的偏離對實驗結果造成的影響可以忽略不計；電表接入電路和選擇量程都要考慮到引起誤差的大小。在測量過程中某些對結果影響大的關鍵量，就要努力想辦法將它測準；有的測量不太準確對結果沒有什么影響，就不必花太多的時間和精力去對待，在進行處理數據時，某個數據取到多少位，

10、怎樣使用近似公式，作圖時坐標比例、尺寸大小怎樣選取，如何求直線的斜率等，都要考慮到引入誤差的大小。由于客觀條件所限、人們認識的局限性，測量不可能獲得待測量的真值，只能是近似值。設某個物理量真值為x0 ，進行n 次等精度測量，測量值分別為x1，x2， xn，（測量過程無明顯的系統誤差）。它們的誤差為 求和 即 當測量次數n，可以證明0, 而且是的最佳估計值，稱為測量值的近似真實值。為了估計誤差，定義測量值與近似真實值的差值為偏差：即 。偏差又叫做“殘差”。實驗中真值得不到，因此誤差也無法知道，而測量的偏差可以準確知道，實驗誤差分析中要經常計算這種偏差，用偏差來描述測量結果的精確程度。相對誤差絕對

11、誤差與真值之比的百分數叫做相對誤差。用表示：由于真值無法知道，所以計算相對誤差時常用代替。在這種情況下，可能是公認值，或高一級精密儀器的測量值，或測量值的平均值。相對誤差用來表示測量的相對精確度，相對誤差用百分數表示，保留兩位有效數字。系統誤差與隨機誤差根據誤差的性質和產生的原因，可分為系統誤差和隨機誤差。系統誤差 是指在一定條件下多次測量的結果總是向一個方向偏離，其數值一定或按一定規律變化。系統誤差的特征是具有一定的規律性。系統誤差的來源具有以下幾個方面：（1）儀器誤差。它是由于儀器本身的缺陷或沒有按規定條件使用儀器而造成的誤差；（2）理論誤差。它是由于測量所依據的理論公式本身的近似性，或實

12、驗條件不能達到理論公式所規定的要求，或測量方法等所帶來的誤差；（3）觀測誤差。它是由于觀測者本人生理或心理特點造成的誤差。例如，用“落球法”測量重力加速度，由于空氣阻力的影響，多次測量的結果總是偏小，這是測量方法不完善造成的誤差；用停表測量運動物體通過某一段路程所需要的時間，若停表走時太快，即使測量多次，測量的時間t總是偏大為一個固定的數值，這是儀器不準確造成的誤差；在測量過程中，若環境溫度升高或降低，使測量值按一定規律變化，是由于環境因素變化引起的誤差。在任何一項實驗工作和具體測量中，必須要想盡一切辦法，最大限度的消除或減、小一切可能存在的系統誤差，或者對測量結果進行修正。發現系統誤差需要改

13、變實驗條件和實驗方法，反復進行對比，系統誤差的消除或減小是比較復雜的一個問題，沒有固定不變的方法，要具體問題具體分析各個擊破。產生系統誤差的原因可能不止一個，一般應找出影響的主要因素，有針對性地消除或減小系統誤差。以下介紹幾種常用的方法。檢定修正法：指將儀器、量具送計量部門檢驗取得修正值，以便對某一物理量測量后進行修正的一種方法。替代法：指測量裝置測定待測量后，在測量條件不變的情況下，用一個已知標準量替換被測量來減小系統誤差的一種方法。如消除天平的兩臂不等對待測量的影響可用此辦法。異號法：指對實驗時在兩次測量中出現符號相反的誤差，采取平均值后消除的一種方法。例如在外界磁場作用下，儀表讀數會產生

14、一個附加誤差，若將儀表轉動180°再進行一次測量，外磁場將對讀數產生相反的影響，引起負的附加誤差。兩次測量結果平均，正負誤差可以抵消，從中可以減小系統誤差。隨機誤差 在實際測量條件下，多次測量同一量時，誤差的絕對值符號的變化，時大時小、時正時負，以不可預定方式變化著的誤差叫做隨機誤差，有時也叫偶然誤差。當測量次數很多時，隨機誤差就顯示出明顯的規律性。實踐和理論都已證明，隨機誤差服從一定的統計規律（正態分布），其特點是：絕對值小的誤差出現的概率比絕對值大的誤差出現的概率大（單峰性）；絕對值相等的正負誤差出現的概率相同（對稱性）；絕對值很大的誤差出現的概率趨于零（有界性）；誤差的算術平均

15、值隨著測量次數的增加而趨于零（抵償性）。因此，增加測量次數可以減小隨機誤差，但不能完全消除。引起隨機誤差的原因也很多。儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關。如儀器顯示數值的估計讀數位偏大和偏?。粌x器調節平衡時，平衡點確定不準；測量環境擾動變化以及其他不能預測不能控制的因素，如空間電磁場的干擾，電源電壓波動引起測量的變化等。由于測量者過失，如實驗方法不合理，用錯儀器，操作不當，讀錯數值或記錯數據等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差，只要測量者采用嚴肅認真的態度，過失誤差是可以避免的。實驗中，精密度高是指隨機誤差小，而數據很集中；準確度高是指系統誤差小，測量的平均值偏離真值??；精確度高是

16、指測量的精密度和準確度都高。數據集中而且偏離真值小，即隨機誤差和系統誤差都小。測量的精密度、準確度和精確度測量的精密度、準確度和精確度都是評價測量結果的術語，但目前使用時其涵義并不盡一致，以下介紹較為普遍采用的意見。測量精密度表示在同樣測量條件下，對同一物理量進行多次測量，所得結果彼此間相互接近的程度，即測量結果的重復性、測量數據的彌散程度，因而測量精密度是測量偶然誤差的反映。測量精密度高，偶然誤差小，但系統誤差的大小不明確。測量準確度表示測量結果與真值接近的程度，因而它是系統誤差的反映。測量準確度高，則測量數據的算術平均值偏離真值較小，測量的系統誤差小，但數據較分散，偶然誤差的大小不確定。測

17、量精確度則是對測量的偶然誤差及系統誤差的綜合評定。精確度高，測量數據較集中在真值附近，測量的偶然誤差及系統誤差都比較小。隨機誤差的估算對某一測量進行多次重復測量，其測量結果服從一定的統計規律，也就是正態分布（或高斯分布）。我們用描述高斯分布的兩個參量（x和）來估算隨機誤差。設在一組測量值中，n 次測量的值分別為：1算術平均值根據最小二乘法原理證明，多次測量的算術平均值 （1）是待測量真值的最佳估計值。稱為近似真實值，以后我們將用來表示多次測量的近似真實值。2標準偏差誤差理論證明，平均值的標準偏差 （貝塞爾公式） （2）其意義表示某次測量值的隨機誤差在之間的概率為68.3。算術平均值的標準偏差當

18、測量次數n有限，其算術平均值的標準偏差為 （3）其意義是測量平均值的隨機誤差在之間的概率為68.3%。或者說，待測量的真值在范圍內的概率為68.3。因此反映了平均值接近真值的程度。標準偏差 標準偏差小表示測量值密集，即測量的精密度高；標準偏差大表示測量值分散，即測量的精密度低。估計隨機誤差還有用算術平均誤差、2、3等其它方法來表示的。異常數據的剔除剔除測量列中異常數據的標準有幾種，有3準則、肖維準則、格拉布斯準則等。13準則統計理論表明，測量值的偏差超過3的概率已小于1。因此，可以認為偏差超過3的測量值是其他因素或過失造成的，為異常數據，應當剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數據，算出各測量值的偏差 和標準偏差，把其中最大的與3比較，若3，則認為第j個測量值是異常數據，舍去不計。剔除后，對余下的各測量值重新計算偏差和標準偏差，并繼續審查，直到各個偏差均小于3為止。2肖維準則假定對一物理量重復測量了n次，其中某一數據在這n次測量中出現的幾率不到半次，即小于，則可以肯定這個數據的出現是不合理的，應當予以剔除。根據肖維準則，應用隨機誤差的統計理論可以證明，在標準誤差為的測量列中，若某一個測量值的偏差等于或大于誤差的極限值，則此值應當剔出。不同測量次數的誤差極限值列于下表。表1 肖維系數表