1、 由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。分析二階電路的方法仍然是建立二階微分方程，分析二階電路的方法仍然是建立二階微分方程，并利用初始條件求解得到電路的響應。本章主要并利用初始條件求解得到電路的響應。本章主要討論含兩個動態元件的線性二階電路，重點是討討論含兩個動態元件的線性二階電路，重點是討論電路的零輸入響應論電路的零輸入響應(固有響應固有響應)。下 頁圖圖51 RLC串聯二階電路串聯二階電路)()()()(SCLRtutututu2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 為了得到圖

2、為了得到圖51所示所示RLC串聯電路的微分方程，先列出串聯電路的微分方程，先列出KVL方程方程5.1 RLC串聯電路的零輸入響應串聯電路的零輸入響應一、一、 RLC串聯電路的微分方程串聯電路的微分方程下 頁上 頁 根據前述方程得到以下微分方程根據前述方程得到以下微分方程 2CCCS2dd( )(7 1)dduuLCRCuu ttt 這是一個常系數非齊次線性二階微分方程。這是一個常系數非齊次線性二階微分方程。 其特征方程為其特征方程為 其特征根為其特征根為 零輸入響應方程為零輸入響應方程為 02 CCCudtduRCdtudLCLCLRRp2/422, 1 LCLRLR1)2(22 012 RC

3、pLCp下 頁上 頁二二. 零輸入響應的三種情況零輸入響應的三種情況二二個個不不等等負負實實根根 2CLR 二二個個相相等等負負實實根根 2CLR 二二個個共共軛軛復復根根 2CLR 過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼下 頁上 頁 電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當R，L，C的量值不同時，特征根可能出現以下三種情況的量值不同時，特征根可能出現以下三種情況 2 )1(CLR 非振蕩放電過程非振蕩放電過程 當當 時，電路的固有頻率時，電路的固有頻率p1，p2為兩個不相同的為兩個不相同的實數，齊次微分方程的解答具有下面的形式實數，齊次微分方

4、程的解答具有下面的形式 CLR212C12( )ee(75)p tp tu tAA 式中的兩個常數式中的兩個常數A1，A2由初始條件由初始條件iL(0)和和uc(0) 確定。確定。 C12(0)(76)uAA 對式對式(55)求導，再令求導，再令t=0得到得到 CL01122d( )(0)(77)dtutiA pA ptC下 頁上 頁 求解以上兩個方程，可以得到求解以上兩個方程，可以得到 L12C21L21C12(0)1(0) (0)1(0)iAp uppCiAp uppC 由此得到電容電壓的零輸入響應，再利用由此得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和方程和電容的電容的VCR可以得到電感

5、電流的零輸入響應。可以得到電感電流的零輸入響應。 下 頁上 頁例例51 電路如圖電路如圖51所示，已知所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸，求電容電壓和電感電流的零輸 入響應。入響應。221 2213383 1422RRpLLLC ，解：將解：將R，L，C的量值代入式（的量值代入式（54）計算出固有頻率）計算出固有頻率圖圖51 RLC串聯二階電路串聯二階電路下 頁上 頁 將固有頻率將固有頻率p1=-2和和p2=-4代入式（代入式（55）得到）得到 24C12( )ee(0)ttutAAt 利用電容電壓的初始值利用

6、電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個方程：得到以下兩個方程： C12CL012 (0)2d( )(0)244dtuAAutiAAtC A1=6A2=-4)0(V)e4e6()(42Cttutt 最后得到電容電壓的零輸入響應為最后得到電容電壓的零輸入響應為 下 頁上 頁 利用利用KCL和電容的和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響方程得到電感電流的零輸入響應應 )0(A)e4e3(dd)()(42CCLttuCtititt 從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過

7、程。路各元件的能量交換過程。下 頁上 頁 當當 時，電路的固有頻率時，電路的固有頻率p1, p2為兩個相同的實為兩個相同的實數數p1=p2=p。齊次微分方程的解答具有下面的形式。齊次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2C12( )ee(7 8)ptptu tAAt 式中的兩個常數式中的兩個常數A1，A2由初始條件由初始條件iL(0)和和uC(0) 確定。確定。令式令式(55)中的中的t=0得到得到 C1(0)(79)uA(2)2 LRC臨界情況臨界情況 下 頁上 頁 聯立求解以上兩個方程，可以得到聯立求解以上兩個方程，可以得到 1CL21C(0)(0)(0)AuiAp uC 將將 A1, A

8、2的計算結果，代入式（的計算結果，代入式（58）得到電容電壓）得到電容電壓的零輸入響應，再利用的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的方程和電容的VCR可以得到電可以得到電感電流的零輸入響應。感電流的零輸入響應。 對式對式(55)求導，再令得到求導，再令得到 CL012d( )(0)(7 10)dtutiA pAtC下 頁上 頁例例52 電路如圖電路如圖51所示。已知已知所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電，求電容電壓和電感電 流的零輸入響應。流的零輸入響應。221 2212242 0222RRpLLLC ，解：將解：將R

9、，L，C的量值代入式的量值代入式(54)計算出固有頻率的數計算出固有頻率的數值值圖圖51 RLC串聯二階電路串聯二階電路下 頁上 頁 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程得到以下兩個方程 C1CL012 (0)1d( )(0)20dtuAutiAAtC 將兩個相等的固有頻率將兩個相等的固有頻率p1=p2=-2 代入式（代入式（58）得到）得到 22c12( )ee(0)ttu tAA tt下 頁上 頁 得到電感電流的零輸入響應得到電感電流的零輸入響應 )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCL

10、ttttuCtititttt 求解以上兩個方程得到常數求解以上兩個方程得到常數A1=-1和和A2=-2，得到電容，得到電容電壓的零輸入響應電壓的零輸入響應 )0(V)e2e()(22Ctttutt下 頁上 頁 根據以上兩個表達式用計算機程序根據以上兩個表達式用計算機程序DNAP畫出的波形畫出的波形曲線，如圖曲線，如圖53所示。所示。 (a) 電容電壓的波形電容電壓的波形 (b) 電感電流的波形電感電流的波形圖圖53 臨界阻尼情況臨界阻尼情況 )0( A e4)()()0( V)e2e()(2CL22Ctttititttuttt下 頁上 頁欠阻尼情況欠阻尼情況 當當 時，電路的固有頻率時，電路的

11、固有頻率p1，p2為兩個共軛復數為兩個共軛復數根，它們可以表示為根，它們可以表示為 CLR22221 201jj22RRpLLLC ， 其中其中 0220 21 RLLC稱為衰減系數稱為諧振角頻率稱為衰減諧振角頻率 2 )2(CLR 下 頁上 頁 齊次微分方程的解答具有下面的形式齊次微分方程的解答具有下面的形式 C12( )ecos()sin()ecos()(7 11)ttu tAtAtAt 式中式中 222121arctanAAAAA 由初始條件由初始條件iL(0)和和uC(0)確定常數確定常數A1，A2后，得到電容后，得到電容電壓的零輸入響應，再利用電壓的零輸入響應，再利用KCL和和VCR

12、方程得到電感電流方程得到電感電流的零輸入響應。的零輸入響應。 下 頁上 頁例例53 電路如圖電路如圖51所示。已知所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應。零輸入響應。2221 213353j422RRpLLLC ，解：將解：將R，L，C的量值代入式的量值代入式(54)計算出固有頻率的數計算出固有頻率的數值值圖圖51 RLC串聯二階電路串聯二階電路下 頁上 頁 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩

13、個方程得到以下兩個方程 C1CL012 (0)d( )(0)347dtuAutiAAtC 求解以上兩個方程得到常數求解以上兩個方程得到常數A1=3和和A2=4，得到電容電，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應壓和電感電流的零輸入響應: )0(A )74.734cos(e)4sin(24)4cos(7e04. 0dd)()0( V)1 .534cos(e5)4sin(44cos3e)(33cL33ctttttuCtitttttutttt 將兩個不相等的固有頻率將兩個不相等的固有頻率 p1=-3+j4 和和 p2=-3-j4 代入式代入式（5-11）得到）得到 3C12( )ecos4sin(4 )

14、(0)tu tAtAtt下 頁上 頁(a) 衰減系數為衰減系數為3的電容電壓的波形的電容電壓的波形 (b) 衰減系數為衰減系數為3的電感電流的波形的電感電流的波形(c) 衰減系數為衰減系數為0.5的電容電壓的波形的電容電壓的波形 (d) 衰減系數為衰減系數為0.5的電感電流的波形的電感電流的波形 圖圖5-4 欠阻尼情況欠阻尼情況 用計算機程序用計算機程序DNAP畫出的波形曲線，如圖畫出的波形曲線，如圖5-4(a)和和(b)所示所示 下 頁上 頁 從式從式(511)和圖和圖54波形曲線可以看出，欠阻尼情況波形曲線可以看出，欠阻尼情況的特點是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電的特點是能量在

15、電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當例當例53中電阻由中電阻由R=6減小到減小到R=1，衰減系數由，衰減系數由3變變為為0.5時，用計算機程序時，用計算機程序DNAP得到的電容電壓和電感電流得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖的波形曲線，如圖54(c)和和(d)所示，由此可以看出曲線衰所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數為零時，電容減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。 下 頁上 頁例例

16、54 電路如圖電路如圖51所示。已知所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應。輸入響應。221 215j522RRpLLLC ，解：將解：將R，L，C的量值代入式（的量值代入式（54）計算出固有頻率的）計算出固有頻率的 數值數值 圖圖51 RLC串聯二階電路串聯二階電路下 頁上 頁 將兩個不相等的固有頻率將兩個不相等的固有頻率p1=j5和和p2=-j5代入式（代入式（511）得到得到 c12( )cos(5 )sin(5 )(0)u tAtAtt 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的

17、初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個方程得到以下兩個方程 C1CL02 (0)3d( )(0)57dtuAutiAtC 求解以上兩個方程得到常數求解以上兩個方程得到常數A1=3和和A2=1.4，得到電容，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應電壓和電感電流的零輸入響應: )0(A)655cos(66. 0)5cos(7)5sin(1504. 0dd)()0(V)255cos(31. 3)5sin(4 . 1)5cos(3)(CLCtttttuCtitttttu下 頁上 頁 用計算機程序用計算機程序DNAP畫出的電容電壓和電感電流的波畫出的電

18、容電壓和電感電流的波形曲線，如圖形曲線，如圖55所示。所示。 圖圖55 無阻尼情況無阻尼情況 下 頁上 頁 從電容電壓和電感電流的表達式和波形曲線可見，由從電容電壓和電感電流的表達式和波形曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為差為90 ，當電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達，當電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當電感電流為零，到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當電感電流為零

19、，磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于電場中。電場中。 從以上分析計算的結果可以看出，從以上分析計算的結果可以看出，RLC二階電路的零二階電路的零輸入響應的形式與其固有頻率密切相關，我們將響應的幾輸入響應的形式與其固有頻率密切相關，我們將響應的幾種情況畫在圖種情況畫在圖56上。上。下 頁上 頁圖圖56下 頁上 頁 由圖由圖56可見：可見： 1. 在過阻尼情況，在過阻尼情況，p1和和p2是不相等的負實數，固有頻是不相等的負實數，固有頻率出現在率出現在s平面上負實軸上，響應按指數規律衰減。平面上負實軸上，響應按指數規律衰減。 2.在臨

20、界阻尼情況，在臨界阻尼情況，p1=p2是相等的負實數，固有頻率是相等的負實數，固有頻率出現在出現在s平面上負實軸上，響應按指數規律衰減。平面上負實軸上，響應按指數規律衰減。 3.在欠阻尼情況，在欠阻尼情況，p1和和p2是共軛復數，固有頻率出現在是共軛復數，固有頻率出現在s平面上的左半平面上，響應是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，平面上的左半平面上，響應是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數規律衰減，衰減系數其振幅隨時間按指數規律衰減，衰減系數 越大，衰減越越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率快。衰減振蕩的角頻率 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。越大，振蕩周期越小，振蕩越快。下 頁上 頁 對于圖示直

21、流激勵的對于圖示直流激勵的RLC串聯電路，當串聯電路，當uS(t)=US時，可時，可以得到以下非齊次微分方程以得到以下非齊次微分方程 )0(ddddSCC2C2tUutuRCtuLC5.2 二階電路的零狀態響應和全響應二階電路的零狀態響應和全響應下 頁上 頁 電路的全響應由對應齊次微分方程的通解與微分方程電路的全響應由對應齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成的特解之和組成 )()()(CpChCtututu 電路的固有頻率為電路的固有頻率為 21 2122RRpLLLC， 當電路的固有頻率當電路的固有頻率p1 p2時，對應齊次微分方程的通解時，對應齊次微分方程的通解為為 12ch12(

22、)eep tp tutAA下 頁上 頁 微分方程的特解為微分方程的特解為 Scp)(Utu 全響應為全響應為 12CChCp12S( )( )( )eeptp tu tututAAU 利用以下兩個初始條件利用以下兩個初始條件Cittuut)0(d)(d ),0(L0CC 可以得到可以得到(零狀態是零狀態是uc(0)和和iL(0)均為零均為零)C12S(0)0uAAU下 頁上 頁 對對uC(t)求導，再令求導，再令t=0得到得到 CL01122d( )(0)0dtutiA pA ptC 求解這兩個代數方程，得到常數求解這兩個代數方程，得到常數A1和和A2后就可得到后就可得到uC(t)。下 頁上

23、頁例例56 電路如圖所示。已知電路如圖所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uS(t)= 1V。求。求t0時電容電壓的零狀態響應。時電容電壓的零狀態響應。 解：解：t0時，時， uS(t)= 1V ，可以作為直流激勵處理。首先計，可以作為直流激勵處理。首先計算電路的固有頻率算電路的固有頻率 2221 213353j422RRpLLLC ，下 頁上 頁 根據這兩個固有頻率根據這兩個固有頻率p1=-3+j4和和p2=-3-j4，可以得到全，可以得到全響應的表達式為響應的表達式為 3C12( )ecos(4 )sin(4 ) 1V(0)tutAtAtt 利用電容電壓的初始值利用電容電壓

24、的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程得到以下兩個方程 C1C012 (0)10d( )340dtuAutAAt 下 頁上 頁 求解以上兩個方程得到常數求解以上兩個方程得到常數A1-1和和A2-0.75，得到，得到電容電壓的零狀態響應電容電壓的零狀態響應 ) 0(V 1)1 .1434cos(e25. 1 V1)4sin(75. 0)4cos(e)(33Ctttttutt 可以用計算機程序可以用計算機程序DNAP畫出電容電壓和電感電流零畫出電容電壓和電感電流零狀態響應的波形。狀態響應的波形。下 頁上 頁注：圖注：圖(c)和和(d)表示當電阻由表

25、示當電阻由R=6減小到減小到R=1，衰減系數由，衰減系數由3變為變為0.5時的電時的電 容電壓和電感電流零狀態響應的波形曲線。容電壓和電感電流零狀態響應的波形曲線。 注：圖注：圖(a)和和(b)表示用表示用DNAP程序畫出的電容電壓和電感電流的波形。程序畫出的電容電壓和電感電流的波形。 圖圖5 57 7下 頁上 頁 圖中按圖中按Ae- t畫出的虛線稱為包絡線，它限定了振幅的畫出的虛線稱為包絡線，它限定了振幅的變化范圍。變化范圍。 4.在無阻尼情況，在無阻尼情況，p1和和p2是共軛虛數，固有頻率出現在是共軛虛數，固有頻率出現在s平面上的虛軸上，衰減系數為零，振幅不再衰減，形成角平面上的虛軸上，衰減系數為零，振幅不再衰減，形成角頻率為頻率為 0的等幅振蕩。的等幅振蕩。 顯然，當固有頻率的實部為正時，響應的振幅將隨時顯然，當固有頻率的實部為正時，響應的振幅將隨時間增加，電路是不穩定的。由此可知，當一個電路的全部間增加，電路是不穩定的。由此可知，當一個電路的全部固有頻率均處于固有頻率均處于s平面上的左半平面上時，電路是穩定的。平面上的左半平面上時，電路是穩定的。 下 頁上 頁 全響應全響應= =零輸入響應零輸入響應+ +零狀態響應零狀態響應 但實際上，根據列出的方程可以知道，但實