1、利用空間向量坐標運算解立幾題舉例湖南省江華一中鐘紹華（425500）空間向量把空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)代數(shù)化，向量的“方向和長度”屬性將立體幾何中關(guān)于“位置和度量”的定性問題轉(zhuǎn)化為定量研究，而定量研究的代數(shù)運算易為學生接受，而且學生空間想象能力的欠缺和作圖的困難也可得到一定的彌補甚至是回避，下面對利用空間向量的坐標運算解立幾題進行分類說明。一、證明四點共面BACDEFGHA1B1C1D1xyz例1、在棱長為a的正方體ABCDA1 B1C1 D1中，E、F、G、H分別是棱AB、BC、CC1、A1D1的中點，問四邊形EFGH是平面四邊形還是空間四邊形？解：如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系Dxyz則D（

2、0,0，0）E（a，0）F（，a，0）G（0，a，）H（，0，a）（，0，a）（a，0）（，a，0）（0，a，） 若E、F、G、H四點共線，則存在x、y、z 使xyz即x2y3z2故2y2四邊形EFGH是平面四邊形二、證明兩直線相交例2、三棱錐SABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點，作與SC平行的直線DP，證明：DP與SM相交。（93年全國高中聯(lián)賽題）ABCSDMPExyz解：如圖，以S為坐標原點，建立空間直角坐標系設(shè)A（a，0,0）B（0，b,0）C（0,0，c） 則D（，0）M（，）假設(shè)DP與SM相交于E因為DPSC可設(shè)E的坐標為（，r）由（，

3、）（，r）得（，r）（，）解得r即DP與SM相交于E（，）三、求異面直線所成角的大小xyzABCDEP例3、在三棱錐PABC中，APa，ABAC=a， PABPAC45°，cosBPC，D是AB的中點，DEPB，垂足為E，求CD與BP所成的角。解：由已知得PBPCa故APPBAPPC以P為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系則A（0,0，a）B（，0）C（0，a,0） =(0，a，a)=(，a)(，a)（，a）D是AB中點，DEAP故E是PB的中點（，0）（，0）cos<,>= 所以CD與BP所成的角為arccos四、求二面角的大小ABCDPxyzEF例4、在四棱錐PABC

4、D中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，且ABa，ADPA2a，求二面角BPCD的大小。解：過B作BFPC于F，過D作DEPC于E則與所成的角為二面角的平面角，如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，所以B（a，0，0）D（0，2a，0）PD2a 在直角三角形PDC中DCaPC3a CE= PF故E（，）F（，）（，）（，）cos，二面角BPCD的大小為arccos五、求直線與平面所成角的大小ABCDEGxyzA1B1C1例5、在直三棱柱ABCA1 B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，側(cè)棱AA12，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的

5、重心G，求A1B與平面ABD所成角的大小。（2003全國高考題）解：如圖，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系設(shè)CAa則A（a，0，0）B（0，a,0）C（0，0，0）D（0，0，1）A1（a，0,2）E（,1）G是ABD的重心 故G（，） =(,-,) =(-,-,-) 點E在平面ABD上的射影是點G所以0即0a2（2,2,2）=(,-,)cos，故A1B與平面ABD所成角為arccos六、證明兩直線垂直和求點到平面的距離例6、在棱長為4的正方體ABCDA1 B1C1 D1中，O是正方形A1 B1C1 D1中，的中心，點P在棱CC1上，且CC14CP，（1）設(shè)點O在平面D1AP上的射影為H，求

6、證：DH1A PzABCDOHxyA1B1C1D1P（2）求點P到平面ABD1的距離（04年江蘇高考題）解：如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系則D1（0，0，4）O（2,2，4）A（4,0，0）P（4,0，1）設(shè)H（a，b，c）得（a2，b2，c4）（4,4，1） =(4,0，4)（0，4,3）由O在平面D1AP上的射影為H得OHA D1OHP D1故00即4（a2）4（c4）04（b2）3（c4）0 ac2bc1代入得（a，b，c4）（c2，c1，c4） 4（c2）4（c1）c4=0 所以DH1A P（3）易得A1D平面ABD1，設(shè)平面ABD1的法向量（1,0，1） 故得d 所以點P到平面ABD1的距離為作 者 簡 介鐘紹華，男，35歲，中學數(shù)學高級教師，湖南省中學數(shù)學教學專業(yè)委員會會員，湖南省高中數(shù)學競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)教師，現(xiàn)任教于永州市示范性高級中學江華一中。91年畢業(yè)于吉首大學數(shù)學系，獲理學學士學位，98年通過自考取得國防科大計算機及應(yīng)用專業(yè)本科文憑。從事高中數(shù)學教學13年，任教了94、96、97、2000、2002、2003六屆高三，因