1、二次函數知識點、考點、典型試題集錦(帶詳細解析答案)一、中考要求：1經歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數關系的過程，進一步體驗如何用數學的方法描述變量之間的數量關系2能用表格、表達式、圖象表示變量之間的二次函數關系，發展有條理的思考和語言表達能力；能根據具體問題，選取適當的方法表示變量之間的二次函數關系3會作二次函數的圖象，并能根據圖象對二次函數的性質進行分析，逐步積累研究函數性質的經驗4能根據二次函數的表達式確定二次函數的開口方向，對稱軸和頂點坐標5理解一元二次方程與二次函數的關系，并能利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根6能利用二次函數解決實際問題，能對變量的變化趨勢進行預測二、

2、中考卷研究(一)中考對知識點的考查：2009、2010年部分省市課標中考涉及的知識點如下表: 序號所考知識點比率1二次函數的圖象和性質2.53%2二次函數的圖象與系數的關系6%3二次函數解析式的求法2.510.5%4二次函數解決實際問題810%(二)中考熱點： 二次函數知識是每年中考的重點知識，是每卷必考的主要內容，本章主要考查二次函數的概念、圖象、性質及應用，這些知識是考查學生綜合能力，解決實際問題的能力因此函數的實際應用是中考的熱點，和幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點問題三、中考命題趨勢及復習對策二次函數是數學中最重要的內容之一，題量約占全部試題的1015，分值約占總分的1015，題型

3、既有低檔的填空題和選擇題，又有中檔的解答題，更有大量的綜合題，近幾年中考試卷中還出現了設計新穎、貼近生活、反映時代特征的閱讀理解題、開放探索題、函數應用題，這部分試題包括了初中代數的所有數學思想和方法，全面地考查學生的計算能力，邏輯思維能力，空間想象能力和創造能力。針對中考命題趨勢，在復習時應首先理解二次函數的概念，掌握其性質和圖象，還應注重其應用以及二次函數與幾何圖形的聯系，此外對各種函數的綜合應用還應多加練習.(I)考點突破考點1：二次函數的圖象和性質一、考點講解：1二次函數的定義：形如（a0，a，b，c為常數）的函數為二次函數2二次函數的圖象及性質： 二次函數y=ax2 (a0）的圖象是

4、一條拋物線，其頂點是原點，對稱軸是y軸；當a0時，拋物線開口向上，頂點是最低點；當a0時，拋物線開口向下，頂點是最高點；a越小，拋物線開口越大y=a(xh)2k的對稱軸是x=h，頂點坐標是（h，k）。 二次函數的圖象是一條拋物線頂點為（，），對稱軸x=；當a0時，拋物線開口向上，圖象有最低點，且x，y隨x的增大而增大，x，y隨x的增大而減小；當a0時，拋物線開口向下，圖象有最高點，且x，y隨x的增大而減小，x，y隨x的增大而增大注意：分析二次函數增減性時，一定要以對稱軸為分界線。首先要看所要分析的點是否是在對稱軸同側還是異側，然后再根據具體情況分析其大小情況。 解題小訣竅：二次函數上兩點坐標為

5、（），（），即兩點縱坐標相等，則其對稱軸為直線。 當a0時，當x=時，函數有最小值；當a0時，當 x=時，函數有最大值。3圖象的平移：將二次函數y=ax2 (a0）的圖象進行平移，可得到y=ax2c，y=a(xh)2，y=a(xh)2k的圖象 將y=ax2的圖象向上(c0）或向下(c< 0）平移|c|個單位，即可得到y=ax2c的圖象其頂點是（0,c），形狀、對稱軸、開口方向與拋物線y=ax2相同 將y=ax2的圖象向左（h<0）或向右(h0）平移|h|個單位，即可得到y=a(xh)2的圖象其頂點是（h，0），對稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同 將y=ax2的

6、圖象向左（h<0）或向右(h0）平移|h|個單位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位，即可得到y=a(xh)2 +k的圖象，其頂點是（h，k），對稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同 注意：二次函數y=ax2 與y=ax2 的圖像關于x軸對稱。平移的簡記口訣是“上加下減，左加右減”。一、 經典考題剖析：【考題】.拋物線y=4(x+2)2+5的對稱軸是_【考題2】函數y= x24的圖象與y 軸的交點坐標是（ ） A.（2，0） B.（2，0） C.（0，4） D.（0，4）【考題】在平面直角坐標系內，如果將拋物線向右平移2個單位，向下平移3個單位

7、，平移后二次函數的關系式是（） 答案：。【考題】（2009、貴陽）已知拋物線的部分圖象（如圖1-2-1），圖象再次與x軸相交時的坐標是（ ） A（5，0）B.（6，0） C（7，0）D.（8，0）解：C 點撥：由，可知其對稱軸為x=4,而圖象與x軸已交于(1，0)，則與x軸的另一交點為(7，0)。參考解題小訣竅。【考題】（深圳）二次函數yO圖像如圖所示，若點（，），（，）是它的圖像上兩點，則與的大小關系是（）不能確定答案：。點，均在對稱軸右側。三、針對性訓練：( 分鐘) (答案： ) 1已知直線y=x與二次函數y=ax2 2x1的圖象的一個交點 M的橫標為1，則a的值為（ ） A、2 B、1

8、C、3 D、42已知反比例函數y= 的圖象在每個象限內y隨x的增大而增大，則二次函數y=2kx2 x+k2的圖象大致為圖123中的（ ） 4拋物線y=x2x5的頂點坐標是（ ） A（2，1） B（2，1） C（2，l） D（2，1）二次函數 y=2（x3）2+5的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別為（ ） A開口向下，對稱軸x=3，頂點坐標為（3,5） B開口向下，對稱軸x3，頂點坐標為（3，5） C開口向上，對稱軸x=3，頂點坐標為(3,5) D開口向上，對稱軸x=3，頂點(3,5）二次函數的圖象上有兩點(3，8)和(5，8)，則此拋物線的對稱軸是（ ） A B. C. D.7在平面直角坐

9、標系內，如果將拋物線 向右平移3個單位，向下平移4個單位，平移后二次函數的關系式是（ ） 8.已知，點A（1，），B（，），C（5，）在函數的圖像上，則，的大小關系是（） A . B.C.D.9已知二次函數(a0）與一次函數y=kx+m(k0）的圖象相交于點A（2，4）,B(8，2)，如圖127所示，能使y1y2成立的x取值范圍是_3x=110.（襄樊）拋物線的圖像如圖所示，則拋物線的解析式為_。11.若二次函數的頂點坐標是（2，1），則b=_，c=_。12直線y=x+2與拋物線y=x2 +2x的交點坐標為_13讀材料：當拋物線的解析式中含有字母系數時，隨著系數中的字母取值的不同，拋物線的頂點

10、坐標也將發生變化 例如：由拋物線，有y=，所以拋物線的頂點坐標為（m，2m1），即。 當m的值變化時，x、y的值隨之變化，因而y值也隨x值的變化而變化，將代人，得y=2x1l可見，不論m取任何實數，拋物線頂點的縱坐標y和橫坐標x都滿足y=2x1，回答問題：（1）在上述過程中，由到所用的數學方法是_，其中運用了_公式，由得到所用的數學方法是_；（2）根據閱讀材料提供的方法，確定拋物線頂點的縱坐標與橫坐標x之間的關系式_.14拋物線經過第一、三、四象限，則拋物線的頂點必在（ ） A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限15 已知M、N兩點關于 y軸對稱，且點 M在雙曲線 y= 上，點 N在直線

11、上，設點M的坐標為(a，b)，則拋物線y=abx2+(ab）x的頂點坐標為_.16當b0時，一次函數y=ax+b和二次函數y=ax2bxc在同一坐標系中的圖象大致是圖129中的（ ）考點2：二次函數的圖象與系數的關系一、考點講解：1、a的符號：a的符號由拋物線的開口方向決定拋物線開口向上，則a0；拋物線開口向下，則a02、b的符號由對稱軸決定，若對稱軸是y軸，則b=0；若拋物線的頂點在y軸左側，頂點的橫坐標0，即0，則a、b為同號；若拋物線的頂點在y軸右側，頂點的橫坐標0，即0則a、b異號間“左同右異”3c的符號：c的符號由拋物線與y軸的交點位置確定若拋物線交y軸于正半，則c0，拋物線交y軸于

12、負半軸則c0；若拋物線過原點，則c=04的符號：的符號由拋物線與x軸的交點個數決定若拋物線與x軸只有一個交點，則=0；有兩個交點，則0沒有交點，則0 5、a+b+c與ab+c的符號：a+b+c是拋物線(a0）上的點(1，a+b+c）的縱坐標，ab+c是拋物線(a0）上的點（1，abc）的縱坐標根據點的位置，可確定它們的符號.二、經典考題剖析：【考題1】（2009、濰坊）已知二次函數的圖象如圖 l22所示，則a、b、c滿足（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0解：A 點撥：由拋物線開口向下可知a0；與y軸交于正半軸可知c0；拋物線的對稱軸在y軸左側，

13、可知0，則b0故選A 【考題2】（2009、天津）已知二次函數 (a0）且a0，ab+c0，則一定有（ ） Ab24ac0 Bb24ac0 Cb24ac0 Db24ac0 解：A 點撥：a0，拋物線開口向下，經過（1，ab+c）點，因為ab+c0，所以（1，ab+c）在第二象限，所以拋物線與x軸有兩個交點，所以b24ac0，故選A 【考題】（2009、重慶）二次函數的圖象如圖1210，則點（b，）在（） A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解： 點撥：拋物線開口向下，所以a 0, 頂點在y軸右側，a、b為異號，所以b0，拋物線交y軸于正半軸，所以c0，所以0，所以 M在第四象限三、針對

14、性訓練：( 60分鐘)1已知函數的圖象如圖1211所示，給出下列關于系數a、b、c的不等式：a0，b0，c0，2ab 0，abc0其中正確的不等式的序號為_-2已知拋物線與x軸交點的橫坐標為1，則ac=_.3拋物線中，已知a：b：c=l：2：3，最小值為6，則此拋物線的解析式為_4已知二次函數的圖象開口向下，且與y軸的正半軸相交，請你寫出一個滿足條件的二次函數解析式： _.5拋物線如圖1212 所示，則它關于y軸對稱的拋物線的解析式是_.6若拋物線過點(1，0)且其解析式中二次項系數為1，則它的解析式為_（任寫一個）7已知二次函數的圖象與x軸交于點（2，0），(x1，0)且1x12，與y

15、83;軸正半軸的交點連點(0，2）的下方，下列結論：ab0；2a+c0；4a+c< 0，2ab+l0其中的有正確的結論是（填寫序號）_8若二次函數的圖象如圖，則ac_0（“”“”或“=”） 第8題圖9二次函數的圖象如圖 1214所示，則下列關于a、b、c間的關系判斷正確的是（） Aab0 B、bc0 Ca+bc0 Dab十c010拋物線（a0）的頂點在x軸上方的條件是（） Ab24ac0 Bb24ac 0 Cb24ac0 D c 011 二次函數y=3x2；y= x2；y= x2的圖象的開口大小順序應為（） A（1）（2）（3）B（1）（3）（2）C（2）（3）（1）D（2）（1）（3）

16、考點3：二次函數解析式求法一、考點講解：1二次函數的三種表示方法：表格法：可以清楚、直接地表示出變量之間的數值對應關系；圖象法：可以直觀地表示出函數的變化過程和變化趨勢；表達式：可以比較全面、完整、簡潔地表示出變量之間的關系2二次函數表達式的求法：一般式法：若已知拋物線上三點坐標，可利用待定系數法求得；將已知的三個點的坐標分別代入解析式，得到一個三元一次方程組，解這個方程組即可。頂點式法：若已知拋物線的頂點坐標或對稱軸方程，則可采用頂點式：其中頂點為(h，k)，對稱軸為直線x=h；交點式法：若已知拋物線與x軸的交點坐標或交點的橫坐標，則可采用交點式：,其中與x軸的交點坐標為（x1，0），（x2

17、，0）。解題小訣竅：在求二次函數解析式時，要靈活根據題目給出的條件來設解析式。例如，已知二次函數的頂點在坐標原點可設；已知頂點（0，c），即在y軸上時可設；已知頂點（h，0）即頂點在x軸上可設. 注意：當涉及面積周長的問題時，一定要注意自變量的取值范圍。二、經典考題剖析：【考題1】（2009、長沙）如圖1216所示，要在底邊BC=160cm，高AD=120cm的ABC鐵皮余料上，截取一個矩形EFGH，使點H在AB上，點G在AC上，點E、F在BC上，AD交HG于點M，此時。(1)設矩形EFGH的長HG=y，寬HE=x，確定y與x的函數關系式；(2)當x為何值時，矩形EFGH的面積S最大？(3)以

18、面積最大的矩形EFGH為側面，圍成一個圓柱形的鐵桶，怎樣圍時，才能使鐵桶的體積較大？請說明理由(注：圍鐵桶側面時，接縫無重疊，底面另用材料配備)。 解：AHGABC，所以，所以=，所以矩形的面積S=xy，S=所以x=60cm, S最大=48002.圍圓柱形鐵桶有兩種情況：當x=60時，第一種情況：以矩形EFGH的寬HE=60cm作鐵桶的高，長HG=80cm作鐵桶的底面周長，則底面半徑R= 第二種情況：以矩形EFGH的長HG=80cm作鐵桶的高，寬HE=60cm作鐵桶的底面周長，則底面半徑R=.因為V1V2，所以以矩形EFGH的寬HE=60cm作鐵桶的高，長HG=80cm作鐵桶的底面周長圍成的圓

19、柱形鐵桶的體積較大 點撥：作鐵桶時要分兩種情況考慮，通過比較得到哪種情況圍成的鐵桶的體積大 【考題2】在直角坐標系中，AOB的頂點坐標分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），把AOB繞O點按逆時針方向旋轉900到COD。（1）求C，D兩點的坐標；（2）求經過C，D，B三點的拋物線解析式。 解：（1）C點（2,0），D點（0，4）。 （2）設二次函數解析式為，由點C，B兩點的坐標，得。將點D（0,4）代入得a=，即二次函數解析式為。【考題3】如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點。點A,C的坐標分別是(1，0)，(0，)。（1）求此拋物線對應的函數解析式

20、；（2）若點P是拋物線上位于x軸上方的一個動點，求ABP的面積的最大值。 解：（1）已知拋物線的對稱軸為x=1，設拋物線解析式為，將點A(1，0)，C(0，)代入解析式，得 解得， 即。 （2）A點橫坐標為1，對稱軸為x=1，則點B的橫坐標為3，設點P橫坐標是m（1m3），則點P縱坐標。（0）當m=1時，S有最大值，為4。 解題小訣竅：當二次函數圖像上出現動點時，可以先設出動點的橫坐標，然后利用二次函數的解析式將動點的縱坐標表示出來，如上面點P的縱坐標的表示方法。 【考題4】（2009、南寧）目前，國內最大跨江的鋼管混凝土拱橋永和大橋，是南寧市又一標志性建筑，其拱形圖形為拋物線的一部分（如圖1

21、218），在正常情況下，位于水面上的橋拱跨度為350米，拱高為85米。在所給的直角坐標系中（如圖1219），假設拋物線的表達式為，請你根據上述數據求出、的值，并寫出拋物線的表達式（不要求寫自變量的取值范圍，、的值保留兩個有效數字）。七月份汛期將要來臨，當邕江水位上漲后，位于水面上的橋拱跨度將會減小，當水位上漲4時，位于水面上的橋拱跨度有多大？（結果保留整數）解：（1）因為橋拱高度OC=85m，拋物線過點C （0，85），所以b=85又由已知，得AB=350m，即點A、B的坐標分另為（175，0），（175，0）則有0= 1752·a+ 85，解得a000028，所求拋物線的解析式為y

22、=000028x285；（2）由1220所示，設DE為水位上升4m后的橋拱跨度，即當y= 4時，有4=000028x285，所以x±12677所以 D、E兩點的坐標為（12 6.7 7，4），（12 6.7 7，4）所以ED12 67 7+12 677254米.答：當水位上漲4m時，位于水面上的橋拱跨度為254m 點撥：理解橋拱的跨度AB即為拋物線與x軸兩交點之間的距離 .【考題5】（2009、海口）已知拋物線y=x2+(2n1)x+n21 (n為常數).(1)當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數關系式；(2)設A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在

23、對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作ABx軸于B，DCx軸于C.當BC=1時，求矩形ABCD的周長；試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由.解：由拋物線過原點，得n21=0。解這個方程，得n1=1, n2=1。當n=1時，得y=x2+x, 此拋物線的頂點不在第四象限；當n=1時，得y=x23x, 此拋物線的頂點在第四象限.所求的函數關系為y=x23x.(2) 由y=x23x，令y=0, 得x23x=0，解得x1=0,x2=3。拋物線與x軸的另一個交點為(3,0)，它的頂點為(,), 對稱軸為直

24、線x=, 其大致位置如圖所示。BC=1，由拋物線和矩形的對稱性易知OB=×(31)=1.B(1,0)，點A的橫坐標x=1，又點A在拋物線y=x23x上，點A的縱坐標y=123×1=2.AB=|y|=|2|=2.矩形ABCD的周長為：2(AB+BC)=2×(2+1)=6.點A在拋物線y=x23x上，故可設A點的坐標為(x，x23x),B點的坐標為(x,0). (0x)BC=32x, A在x軸下方，x23x0，AB=|x23x|=3xx2，矩形ABCD的周長P=2(3xx2)+(32x)= 2(x)2+a=20,當x=時，矩形ABCD的周長P最大值為. 此時點A的坐標

25、為A(,). 解題小訣竅：在此類求三角形面積、四邊形周長和面積的最值問題時，解題的關鍵是如何用一個未知數將其表示出來【考題6】（2009、鄲縣）如圖1224，OAB是邊長為2的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸的正方向上，將OA B折疊，使點A落在邊OB上，記為A，折痕為EF（1）當AEx軸時，求點A和E的坐標；（2）當AEx軸，且拋物線經過點A和E時，求該拋物線與x軸的交點的坐標；（3）當點A在OB上運動但不與點O、B重合時，能否使AEF成為直角三角形若能，請求出此時點A的坐標；若不能，請你說明理由解：（1）當AEx時，EAO=90 ，因為AOB為等邊三角形，所以AOE=60 ，AE

26、O=30，AO= EO，設OA=a，則OE=2a，由勾股定理得AE=，由題意意可知AEFAEF，所以AE=A E，所以AE=a=AE，因為AE+OE=2+，所以a=OA=1，AE=，所以A(0,1)，E(，1)由題意知，點A(0,1)，E(，1)在的圖象上，則方程組所以，當y=0時，得所以，拋物線與x軸的交點坐標為(2，0)，(，0)不能理由：因為要使AEF為直角三角形，則90°角只能是AEF或AFE若AEF=90 ，因為FA與FAE關于 FE對稱，所以AEF=AEF90 ，AEA=180此時A、E、A應在同一直線上，點A應與O點重合，這與題設矛盾所以AEF90，即AEF不能為直角三

27、角形同理，AFE90也不成立，即AEF不能為直角三角形點撥：此題是代數、幾何綜合題，注意利用幾何圖形之間的關系【考題】如圖，已知二次函數圖像的頂點坐標為C(1,0)，直線與二次函數的圖像交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3,4），B點在y軸上。 （1）求m的值及二次函數的解析式； （2）P為線段AB上的一個動點（點P與A,B不重合），過點P做x軸的垂線與二次函數圖像交于點E，設線段PE的長度為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍； （3）D為直線AB與這個二次函數圖像對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請說明理由

28、。 解：（1）點A（3,4）在直線上，4=3+m，m=1。 設所求二次函數為點A（3,4）在二次函數為上，a=1.所求二次函數為,即（2）設P、E兩點的縱坐標是， 所以，PE=h=(x+1) =， 即h=(0x3). (3)存在。要使四邊形DCPE是平行四邊形，必有PE=DC，點D在直線上，點D的坐標為（1,2）。所以=2，解得（不合題意舍），所以點P坐標為（2,3）時符合題意。三、針對性訓練：(45 分鐘) 1二次函數的圖象經過點（3，2），（2，7），（0，1），求其解析式2已知拋物線的對稱軸為直線x=2，且經過點（l，1），（4，0）兩點求拋物線的解析式3已知拋物線與 x軸交于點（1，0

29、）和(2，0)且過點 (3，4)，求拋物線的解析式4已知二次函數的圖象經過點A（0，1）B(2，1）兩點（1）求b和c的值；(2）試判斷點P（1，2）是否在此拋物線上？5已知一個二次函數的圖象如圖1225所示，請你求出這個二次函數的表達式，并求出頂點坐標和對稱軸方程6已知拋物線過三點（1，1）、（0，2）、（1，l）（1）求拋物線所對應的二次函數的表達式；（2）寫出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（3）這個函數有最大值還是最小值？ 這個值是多少？7當 x=4時，函數的最小值為8，拋物線過點（6，0）求：（1）頂點坐標和對稱軸；（2）函數的表達式；（3）x取什么值時，y隨x的增大而增大；x取什么

30、值時，y隨x增大而減小8在ABC中，ABC90 ，點C在x軸正半軸上，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上(圖1226所示），若 tanBAC= ，求經過 A、B、C點的拋物線的解析式9已知：如圖1227所示，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點B、C，拋物線y=x2bxc經過點B、C，點A是拋物線與x軸的另一個交點（1）求拋物線的解析式；（2）若點P在直線BC上，且SPAC=SPAB，求點P的坐標10四邊形DEFH為ABC的內接矩形(圖1228)，AM為BC邊上的高，DE長為x，矩形的面積為y，請寫出y與x之間的函數關系式，并判斷它是不是關于x的二次函數.考點4：根據二次函數圖象解一元二次

31、方程的近似解一、考點講解：1二次函數與一元二次方程的關系：（1）一元二次方程就是二次函數當函數y的值為0時的情況（2）二次函數的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當二次函數的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2bxc=0的根（3）當二次函數的圖象與 x軸有兩個交點時，則一元二次方程有兩個不相等的實數根；當二次函數的圖象與x軸有一個交點時，則一元二次方程ax2bxc0有兩個相等的實數根；當二次函數yax2+ bx+c的圖象與 x軸沒有交點時，則一元二次方程沒有實數根解題小訣竅：拋物線與x軸的兩個交點間的距離可以用| x1x2

32、|來表示。二、經典考題剖析：【考題1】（2009、湖北模擬）關于二次函數 的圖象有下列命題：當c=0時，函數的圖象經過原點；當c0且函數的圖象開口向下時，axbxc=0必有兩個不等實根；函數圖象最高點的縱坐標是；當b=0時，函數的圖象關于y軸對稱其中正確的個數是（） A1 B2 C3D4解：C 點撥：顯然正確；由a0及c0，得=b2-4ac0所以正確由于a的符號不定，所以頂點是最高點或最低點不定所以不正確因為b=0時，對稱軸為x0所以正確 【考題2】（2009、青島模擬，8分）已知二次函數y=x26x+8，求： （1）拋物線與x軸y軸相交的交點坐標； （2）拋物線的頂點坐標； （3）畫出此拋物

33、線圖象，利用圖象回答下列問題： 方程x2 6x8=0的解是什么？ x取什么值時，函數值大于0？ x取什么值時，函數值小于0？ 解：（1）根據題意，得x26x+8=0則（x2）(x4）= 0，x1=2，x2=4所以與x軸交點為（2,0）和（4，0）；當x1=0時，y=8所以拋物線與y軸交點為（0，8）。 （2），拋物線的頂點坐標為（3，1）。（3）圖1229所示由圖象知，x26x+8=0的解為x1=2，x2=4當x2或x4時，函數值大于0；當2x4時，函數值小于0 點撥：二次函數y= x26x+8與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程x26x+8=0的兩個解，用拋物線解一元二次方程需要知道拋物線與x

34、軸的交點坐標【考題3】（2009、天津）已知拋物線yx22x8，（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點； （2）若該拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B， 且它的頂點為P，求ABP的面積解：（1）證明：因為對于方程x22x8=0，其判別式=（2）2 4×（8）360，所以方程x22x8=0有兩個實根，拋物線y= x22x8與x軸一定有兩個交點；（2）解：因為方程x22x8=0有兩個根為x1=2，x2=4，所以AB=| x1x2|6又拋物線頂點P的縱坐標yP =9，所以SABP=·AB·|yP|=27。點撥：本題主要考查了二次函數，一元二次方程等知識及它們的綜合應用

35、 三、針對性訓練：( 45分鐘) 1已知函數y=kx27x7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是（）2直線y=3x3與拋物線y=x2x+1的交點的個數是（） A0 B1 C2 D不能確定3函數的圖象如圖l230，那么關于x的方程的根的情況是（） A有兩個不等的實數根B有兩個異號實數根 C有兩個相等實數根D無實數根4二次函數的圖象如圖l231所示，則下列結論成立的是（） Aa0，bc0，0B.a0，bc0，0 Ca0，bc0，0D.a0，bc0，05函數的圖象如圖 l232所示，則下列結論錯誤的是（） Aa0 Bb24ac0 C、的兩根之和為負D、的兩根之積為正6不論m為何實數，拋物線y=x2m

36、xm2（ ）A在x軸上方B與x軸只有一個交點 C與x軸有兩個交點D在x軸下方7畫出函數y =x22x3的圖象，利用圖象回答：（1）方程x22x3=0的解是什么？（2）b取什么值時，函數值大于0？（3）b取什么值時，函數值小于0？8已知二次函數y =x2x6·（1）求二次函數圖象與坐標軸的交點坐標及頂點坐標；（2）畫出函數圖象；（3）觀察圖象，指出方程x2x6=0的解；（4）求二次函數圖象與坐標軸交點所構成的三角形的面積考點5：用二次函數解決實際問題一、考點講解：1二次函數的應用：（1）二次函數常用來解決最優化問題，這類問題實際上就是求函數的最大（小）值；（2）二次函數的應用包括以下方

37、面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系；運用二次函數的知識解決實際問題中的最大（小）值注意：二次函數實際問題主要分為兩個方面的問題，幾何圖形面積問題和經濟問題。解幾何圖形面積問題時要把面積公式中的各個部分分別用同一個未知數表示出來，如三角形S=，我們要用x分別把h，l表示出來。經濟問題：總利潤=總銷售額總成本；總利潤=單件利潤×銷售數量。解最值問題時，一定要注意自變量的取值范圍。分為三類：對稱軸在取值范圍內；取值范圍在對稱軸左邊；取值范圍在對稱軸右邊。2解決實際問題時的基本思路：（1）理解問題；（2）分析問題中的變量和常量；（3）用函數表達式表示出它們之間的關系；（

38、4）利用二次函數的有關性質進行求解；（5）檢驗結果的合理性，對問題加以拓展等二、經典考題剖析：【考題1】（2009、貴陽，12分）某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表： 若日銷售量y是銷售價x的一次函數；（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式；（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 解：（1）設此一次函數解析式為則，解得：k=1,b=40, 即：一次函數解析式為（2）設每件產品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元，w =。產品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤

39、為225元 點撥：求（1）（2）中解析式時，可選取表格中的任意兩組值即可 【考題2】（2009、鹿泉）圖1233是某段河床橫斷面的示意圖查閱該河段的水文資料，得到下表中的數據：x/m51020304050y/m0.1250.524.5812.5（1）請你以上表中的各對數據（x，y）作為點的坐標，嘗試在圖1234所示的坐標系中畫出y關于x的函數圖像；（2）填寫下表：x51020304050根據所填表中數據呈現的規律，猜想出用x表示y的二次函數關系式：_.（3）當水面寬度為36m時，一般吃水深度（船底部到水面的距離）為1.8m的貨船能否在這個河段安全通過？為什么？ 解：（1）圖象如圖1235所示；

40、（2）如下表所示；y= x2；（3）當水面寬度為36m時，相應的x=18，則y×182 =162，此時該河段的最大水深為162m因為貨船吃水深度為18米，而1.62 18，所以當水面寬度為36m時，該貨船不能通過這個河段【考題3】我區某鎮地理環境偏僻，嚴重制約經濟發展，豐富的花木產品只能在本地銷售，我區政府對該花木產品每投資x萬元，所獲利潤為P（x30）210萬元。為了響應我國西部大開發的宏偉決策，我區政府在制定經濟發展的10年規劃時，擬開發此花木產品，而開發前后可用于該項目投資的專項資金每年最多50萬元。若開發該產品，在前5年中，必須每年從專項資金中拿出25萬元投資修通一條公路，且

41、5年修通。公路修通后，花木產品除在本地銷售外，還可運往外地銷售，運往外地銷售的花木產品，每投資x萬元可獲利潤Q（50x）2（50x）308萬元。若不進行開發，求10年所獲利潤的最大值是多少？若按此規劃進行開發，求10年所獲利潤的最大值是多少？根據、計算的結果，請你用一句話談談你的想法。解：（1）若不修路，由P（x30）210知，只需從50萬元專款中拿出30萬元投資，每年即可獲得最大利潤10萬元，則10年的最大利潤M1 =10 ×10=100萬元；（2）若對產品開發，在前5年中，當x=25時，每年最大利潤是P（2530）210=9.5，則前5年的最大利潤M2 =9.5×5=4

42、7.5萬元；設5年中x萬元是用于本地銷售的投資P（2530）210，則將余下的(50x)萬元全部用于外地的投資Q50（50x）250（50x）308，才有可能獲得最大利潤，則后5年的利潤是M3 =3500故當x20時，M3取得最大值為 3500萬元所以，10年的最大利潤為M=M2 +M3 =475+3500=35475萬元；（3）因為35475100，故有極大的開發價值 【考題4】學校要建造一個圓形噴水池,在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OAO恰好在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下且在過OA的任意平面上的拋物線如圖l236所示，建立平面

43、直角坐標系（如圖l237），水流噴出的高度y(m)與水面距離x(m)之間的函數關系式是，請回答下列問題：（1）花形柱子OA的高度；（2）若不計其它因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水不至于落在池外？把代入拋物線，得 OA=1.5米 把代入，得， 。，又0，。OB=3 ， 半徑至少是3米 點撥：以學校要建圓形噴水池為背景材料，將學生送到了一個“設計師”的角度，運用二次函數解題時，應注意實際情況中的取值【考題5】（2009、青島）某工廠現有 80臺機器，每臺機器平均每天生產384件產品，現準備增加一批同類機器以提高生產總量，在試生產中發現，由于其他生產條件沒變，因此每增加一臺機 器，每臺機

44、器平均每天將少生產4件產品（1）如果增加x臺機器，每天的生產總量為y件，請你寫出y與x之間的關系式；。（2）增加多少臺機器，可以使每天的生產總量最大？最大生產總量是多少？ 解：（1）根據題意，得y=(80x)(3844x) 整理，得y=4x264x30720； （2）因為y=4x264x30720=4（x8）230976，所以，當x =8時，y最大值=3072030976即：增加8臺機器，可以使每天的生產總量最大，最大生產總量是 30976件三、針對性訓練：( 60分鐘) (答案：270 ) 1小王家在農村，他家想利用房屋側面的一面墻，圍成一個矩形豬圈（以墻為長人現在已備足可以砌10米長的墻的

45、材料他想使豬圈的面積最大，你能幫他計算一下矩形的長和寬應當分別是多少米嗎？此時豬圈的面積有多大？2數學興趣小組幾名同學到某商場調查發現，一種純牛奶進價為每箱40元，廠家要求售價在4070元之間，若以每箱50元銷售平均每天銷售90箱，價格每降低1元平均每天可多銷售3箱老師要求根據以上資料，解答下列問題，你能做到嗎？寫出平均每天銷售量y（箱）與每箱售價社元）之間的函數關系；寫出平均每天銷售利潤W（元）與每箱售價x（元）之間的函數關系；求出中M次函數的頂點坐標及當x=40、70時的W的值3某商人開始時，將進價為每件8元的某種商品按每件10元出售，每天可售出100件他想采用提高售價的辦法來增加利潤，經

46、試驗，發現這種商品每件每提價l元，每天的銷售量就會減少10件寫出售價x（元件）與每天所得的利潤y（元）之間的函數關系式；每件售價定為多少元，才能使一天的利潤最大？4圖1238所示是一條高速公路上的隧道口在平面直角坐標系上的示意圖，點A和A1，點B和B1分別關于y軸對稱，隧道拱部分BCB1為一段拋物線，最高點C離路面AA1的距離為8米，點B離路面AA1的距離為6米，隧道的寬AA1為16米求隧道拱拋物線BC B1的函數解析式；現有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與路面的距離為7米，它能否安全通過這個隧道？說明理由5啟明公司生產某種產品，每件產品成本是8元，售價是4元

47、，年銷售量為10萬件為了獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告根據經驗，每年投人的廣告費是x(萬元）時，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y=，如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費：（1）試寫出年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）的函數關系式，并計算廣告費是多少萬元時，公司獲得的年利潤最大，最大年利潤是多少萬元？（2）把(1）中的最大利潤留出3萬元做廣告，其余的資金投資 新項目，現有6個項目可供選擇，各項目每股投資金額和預計年收益如下表： 如果每個項目只能投一股，且要求所有投資項目的收益總額不得低于1.6萬元，問：有幾種符合要求的投資方式？寫出每種投資方式所選的項目6某玩具廠計劃生

48、產一種玩具熊貓，每日最高產量為40只，且每日生產出的產品全部售出，已知生產X只玩具熊貓的成本為R（(元)，售價每只為P（元）且R，P與X的關系式為 R=5003.5x，P=170 2x當日產量為多少時，每日獲得的利潤為1750元；當日產量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？(II)2010年新課標中考題一網打盡【回顧1】（2010、嘉峪關，3分）拋物線y=x22x3的對稱軸是直線（ ） Ax =2 Bx =2 Cx =1 Dx =1 【回顧2】（2010、嘉峪關，3分）如圖1239，半圓O的直徑AB=4，與半圓O內切的動圓O1與AB切于點M，設O1的半徑為y，AM= x，則y關于x的函數

49、關系式是（ ） A【回顧3】（2010、南充，3分）二次函數y=x2+2x7的函數值是8，那么對應的x的值是（ ） A3 B5 C3和5 D3和5 【回顧4】（2010、自貢，3分）拋物線y=x2x的頂點坐標是（ ）【回顧5】（2010、自貢，3分）二次函數的圖象，如圖1240所示，根據圖象可得a、b、c與0的大小關系是（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0【回顧6】（2010、紹興，4分）小敏在今年的校運動會跳遠比賽中跳出了滿意一跳，函數h=35 t49 t2(t的單位s；h中的單位：m）可以描述他跳躍時 重心高度的變化如圖1241，則他起跳后

50、到重心最高時所用的時間是（ ） A071s B0.70s C0.63s D036s【回顧7】（2010、溫州，4分）已知拋物線的解析式為y=（x2）2l，則拋物線的頂點坐標是（ ） A（2，1） B（2，l）C（2，1） D（1，2）【回顧8】（2010、江西，3分）若二次函數y=x2x與y=x2+k的圖象的頂點重合，則下列結論不正確的是（ ） A這兩個函數圖象有相同的對稱軸 B這兩個函數圖象的開口方向相反 C方程x2+k=0沒有實數根 D二次函數y=x2k的最大值為【回顧9】（2010、衡州）拋物線y=x2 +2x3 與x軸的交點的個數有（ ） A0個 B1個 C2個 D3個【回顧10】（2

51、010、金華）拋物線y=（xl）2 +2 的對稱軸是（ ） A直線x=1 B直線x=1 C直線x=2 D直線x=2【回顧11】（2010、湖州，3分）已知二次函數的圖象如圖l242所示，則在“ a0，b0，c 0，b24ac0”中，正確的判斷是（ ）A、 B、 C、 D、【回顧12】（2010、武漢，3分）已知二次函數(a0）的圖象如圖 1243所示，則下列結論：a、b同號；當x=1和x=3時，函數值相等；4a+b=0；當y=2時，x的值只能取0其中正確的個數是（ ） Al個 B2個 C3個 D4個【回顧13】（2010、麗水，4分）如圖l244，拋物線的頂點P的坐標是（1，3），則此拋物線對應的二次函數有（） A最大值1 B最小值3