1、靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場2*11-1 場的描述場的描述 自然界中只存在兩種電荷：正電荷和負電荷。自然界中只存在兩種電荷：正電荷和負電荷。 電荷具有最小單元：電荷具有最小單元： 10-19C。 在自然界中在自然界中,帶電體的電量都是這一最小電量帶電體的電量都是這一最小電量e的整的整數倍：數倍： q=Ne 這個特性叫做電荷的量子化。這個特性叫做電荷的量子化。 1964年年,-曼曼(M.Gell-Mann)預言：更基本的粒子夸預言

2、：更基本的粒子夸克和反夸克的電量應取克和反夸克的電量應取e/3或或2e/3。但我們至今。但我們至今尚未發現單獨存在的夸克。尚未發現單獨存在的夸克。 電荷間有電力的相互作用：同號電荷相斥電荷間有電力的相互作用：同號電荷相斥,異號電異號電荷相吸。荷相吸。11-2 電荷電荷 電力電力靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場3 真空中真空中,點電荷點電荷q1對點電荷對點電荷q2的作用力為的作用力為 r則表示兩個點電荷之間的距離。則表示兩個點電荷之間的距離。(2)公式中的系數是公式中的系數是SI制要求的。制要求的。22910941 CmNo221

3、210858mN/C.o 真空的介電常數真空的介電常數11-3 庫侖定律庫侖定律roerqqF22141 (11-1)q1q2rF圖11-1re (1) er 是從點電荷是從點電荷q1指向點電荷指向點電荷q2的的單位矢量。單位矢量。 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場4 一一 .電電 場場 一個電荷要在它的周圍產生電場。一個電荷要在它的周圍產生電場。11-4 電場和電場強度電場和電場強度 兩個電荷之間的相互作用力是通過兩個電荷之間的相互作用力是通過電場來進行的。即電場來進行的。即 電場是什么？電場是一種物質。場和電場是什么？電場是

4、一種物質。場和(由基本粒由基本粒子組成的子組成的)實物物質一樣，具有能量、動量和質量。實物物質一樣，具有能量、動量和質量。場和實物是物質存在的兩種基本形式。場和實物是物質存在的兩種基本形式。 場和實物物質的主要區別是：實物獨占一定的空場和實物物質的主要區別是：實物獨占一定的空間；而場總是彌漫在一定的空間內，具有可疊加性。間；而場總是彌漫在一定的空間內，具有可疊加性。 電荷電荷 電場電場 電荷電荷q1q2rF圖11-1re靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場5二二.電場強度矢量電場強度矢量E 在靜止電荷產生的靜電場中的一場點，引入一個

5、在靜止電荷產生的靜電場中的一場點，引入一個試驗電荷試驗電荷qo(qo的電量、幾何尺度必須很小的電量、幾何尺度必須很小), 它受的力它受的力為為F，于是我們定義：該點的電場強度為，于是我們定義：該點的電場強度為 (1)式式(11-2)表明表明,電場中某場點上的電場強度矢電場中某場點上的電場強度矢量等于置于該點的單位正電荷所受的力。量等于置于該點的單位正電荷所受的力。 (2)電場強度矢量電場強度矢量E是反映電場性質的物理量，是反映電場性質的物理量，與試驗電荷與試驗電荷qo無關。無關。oqFE (11-2)靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電

6、磁場6 設源電荷是由設源電荷是由n個點電荷個點電荷q1, q2, qn構成構成,在該電在該電場中試驗電荷場中試驗電荷qo受的力為受的力為三三.場強疊加原理場強疊加原理 式式(11-4)表示表示:在在n個點電荷產生的電場中某點的個點電荷產生的電場中某點的電場強度等于每個點電荷單獨存在時在該點所產生電場強度等于每個點電荷單獨存在時在該點所產生的電場強度的矢量和的電場強度的矢量和,這一結果稱為場強疊加原理。這一結果稱為場強疊加原理。 式中的式中的Ei是電荷是電荷qi單獨存在時產生的電場強度。單獨存在時產生的電場強度。 niinFF.FFF121(11-3) nioioqFqFE1(11-4) nii

7、E1靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場7E 的大小：的大?。?4rqEo 若若q0,電場方向由點電荷沿徑向指向四周；若電場方向由點電荷沿徑向指向四周；若q0,則反向。即點電荷的電場具有球對稱性。則反向。即點電荷的電場具有球對稱性。四四.場強的計算！場強的計算！1.點電荷點電荷q的電場的電場rooerqqF241 oqFE qr.Pre圖11-2(11-5)roerq24 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場8 由由n個點電荷個點電荷q1, q2, qn產生的電場，可利用

8、點電產生的電場，可利用點電荷場強公式，直接由疊加原理求得荷場強公式，直接由疊加原理求得 3.帶電體的電場帶電體的電場 對電荷連續分布的帶電體對電荷連續分布的帶電體,可劃分為無限多個電荷可劃分為無限多個電荷元元dq(點電荷點電荷), 用點電荷的場強公式積分：用點電荷的場強公式積分：2.點電荷系的電場點電荷系的電場以上內容的學習重點：用積分的方法求電場。以上內容的學習重點：用積分的方法求電場。 niioirireqE124 (矢量和) (11-6) 帶電體帶電體24redqEor(11-7)靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場9 例題例

9、題11-1 有一均勻帶電直線，單位長度上的電量有一均勻帶電直線，單位長度上的電量為為 ，求離直線的距離為，求離直線的距離為a的的P點處的場強。點處的場強。 解解 此類題可按下列步驟求解此類題可按下列步驟求解: (1)建立適當的坐標系，如圖建立適當的坐標系，如圖11-3所示。所示。 (2)將直線分為長為將直線分為長為dx的無限多個電荷元的無限多個電荷元dq= dx(視視為點電荷為點電荷)，并寫出一個有代表性，并寫出一個有代表性(位置用變量位置用變量x表示表示)的電荷元在的電荷元在P點產生的電場：點產生的電場：24rdxdEo 由于不同位置的電荷元在由于不同位置的電荷元在P點產生的場強點產生的場強

10、dE方向不同方向不同,故應將故應將dE向向x軸和軸和y軸方向投軸方向投影影,于是有于是有(3)分析問題的對稱性。分析問題的對稱性。dExdEyoPaxy圖11-3 xdqdxrdE靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場10dEx=dEcos (4)統一積分變量統一積分變量,定積定積分限分限,完成積分完成積分,得到所求場得到所求場強分量式強分量式 21cos42xxoxrdxE 21sin42xxoyrdxEr=a/sin , x=-a.ctg ,dx=ad /sin2 )sin(sin412ao 21sin4daEoydEy=dEsi

11、n 1 2 21cos4daEox)cos(cos421ao dExdEyoPaxy圖11-3 xdqdxrdE靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場11 (1)對無限長帶電直線對無限長帶電直線, 討論討論:aEoy 2, 0 xE)sin(sin412aEox )cos(cos421aEoy 記住！記??！ (2)對平面、柱面等形狀對平面、柱面等形狀,可利用帶電直線公式積分?？衫脦щ娭本€公式積分。 1=0和和 2= ；代入得；代入得 1 2dExdEyoPaxy圖11-3 xdqdxrdE靜電場第11章Staticelectricf

12、ieldElectromagneticfield電磁場12 例題例題11-2 求均勻帶電的無限大平面外任一點的求均勻帶電的無限大平面外任一點的場強場強(設平面單位面積上的電量為設平面單位面積上的電量為 )。 解解 分為若干長直導線積分。分為若干長直導線積分。 由對稱性可知，平面外由對稱性可知，平面外P點的電場方向是垂直于點的電場方向是垂直于平面向上的平面向上的(即即y方向方向)，所以，所以完成積分得完成積分得:oE 2 (11-8) = .1dx222xadxao dxcos aEo 2 E=2ordx1xy圖11-4oaP.xdxrdEdEE靜電場第11章Staticelectricfiel

13、dElectromagneticfield電磁場13(勻強電場勻強電場)oE 2 oE 2 E=0E=0OE 2OE 23 oE 2 OE 23 記住無限大記住無限大平面電場！平面電場！+-靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場14 例題例題11-3 一均勻帶電一均勻帶電Q的圓弧，半徑為的圓弧，半徑為R、圓心、圓心角為角為 ，求圓心，求圓心o處的電場。處的電場。 解解 由對稱性可知，圓心由對稱性可知，圓心o點點的電場是沿角的電場是沿角 的平分線的平分線(y軸軸)方方向的。向的。 將圓弧劃分為若干電荷元將圓弧劃分為若干電荷元dq(點電荷

14、點電荷)，利用點電荷公式積，利用點電荷公式積分：分： 222sin22 RQoE24Ro dQ cosxoy圖11-5RdqdEdRoQyxE靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場15 例題例題11-4 一半徑為一半徑為R的圓環，的圓環，電荷線密度電荷線密度 = ocos , 其中其中 o為為常量常量,求圓心求圓心o點的場強。點的場強。 解解 將圓環分為若干個點電將圓環分為若干個點電荷荷dq積分。積分。 xERoo 4 2020sin4cosRRdEooy 20 Rdocos cos24Rod R圖11-6xyodqdE靜電場第11章

15、StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場16 例題例題11-5 一圓環半徑為一圓環半徑為R、均勻帶電、均勻帶電q，求軸線，求軸線上一點的場強。上一點的場強。 解解 由對稱性可知，軸線上的由對稱性可知，軸線上的電場方向是沿軸線向上的。電場方向是沿軸線向上的。rqocos42 即即注意：注意： 任何均勻帶電的旋轉體任何均勻帶電的旋轉體(如圓形、球形、柱形如圓形、球形、柱形)用圓環公式積分求電場最為方便。用圓環公式積分求電場最為方便。2/322)(41RxqxEo E 環24rdqo cospoR圖11-7xqrdqdEdEE靜電場第11章Staticel

16、ectricfieldElectromagneticfield電磁場17 例題例題11-6 一均勻帶電的薄圓盤，半徑為一均勻帶電的薄圓盤，半徑為R、面、面電荷密度為電荷密度為 ，求圓盤軸線上一點的場強。求圓盤軸線上一點的場強。 解解 分為若干園環積分。分為若干園環積分。圖11-8xpE2/322)(41RxxqEo Eo412/322)(rx x. 2 rdrR01222Rxxo 當當R(xR)時時,oE 2 這正是無限大平面的電場。這正是無限大平面的電場。drrR靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場18 例題例題11-7 一均勻帶

17、電的半球面，半徑為一均勻帶電的半球面，半徑為R，電，電荷面密度為荷面密度為 ，求球心，求球心o處的電場。處的電場。 解解 圖中圓環產生的電場：圖中圓環產生的電場：2/322)(41rzdqzdEo dq= .2 r.Rd z2+r2=R2,z =Rcos 202sin4dEoo2/322)(41RxxqEo Eo 4 o圖11-9d zRr靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場19 一一.電場線電場線(電力線電力線) 為了形象地描繪電場在空間的分布為了形象地描繪電場在空間的分布,按下述規定按下述規定在電場中畫出的一系列假想的曲線在電場

18、中畫出的一系列假想的曲線電場線：電場線： (1)曲線上每一點的切線方向表示該點場強的方曲線上每一點的切線方向表示該點場強的方向向; (2)通過垂直于電場方向單位面積上的電場線條通過垂直于電場方向單位面積上的電場線條數等于該點電場強度的大小。數等于該點電場強度的大小。 d e 通過通過ds的電場線條數的電場線條數dsdEe (11-9)11-5 高斯定理高斯定理！dsEEE圖11-10靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場20(a)正電荷正電荷(b)負電荷負電荷圖11-11靜電場第11章StaticelectricfieldElectr

19、omagneticfield電磁場21靜電場電場線的特點：靜電場電場線的特點： (1)電場線起自正電荷電場線起自正電荷,止于負電荷止于負電荷,或延伸到無窮或延伸到無窮遠處。遠處。 (2)電場線不形成閉合曲線。電場線不形成閉合曲線。 (3)在沒有電荷處在沒有電荷處,兩條電場線不會相交兩條電場線不會相交,也不會中也不會中斷。斷。(c)一對等量正電荷一對等量正電荷(d)一對等量異號電荷一對等量異號電荷靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場22 電通量電通量通過電場中任一給通過電場中任一給定曲面的電場線總數。定曲面的電場線總數。 二二 .電電

20、 通量通量ds 從圖從圖11-12可以看出，通可以看出，通過面元過面元dS的電通量和通過投影的電通量和通過投影面面dS的電通量是一樣的。因的電通量是一樣的。因此通過此通過dS的電通量為的電通量為 上式可以寫為上式可以寫為dsdEe dSEEdsde cos(11-11)d e=E dS=Edscos (11-10)Eds圖11-12ne靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場23 對一個任意曲面對一個任意曲面S(圖圖11-13), 通過的電通量應為通過的電通量應為(11-12)dSEEdsdecos ssedSEcosEds (11-1

21、3)圖11-13en靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場24 通過一個封閉曲面通過一個封閉曲面S的電通量的電通量(圖圖11-14)可表示為可表示為圖11-14S 對于閉合曲面對于閉合曲面,規定由內向外規定由內向外的方向為各處面元法向的正方向。的方向為各處面元法向的正方向。 由由d e=E dS=Edscos 知知 當電場線從面內穿出時當電場線從面內穿出時, d e 為正為正; 當電場線由面外穿入時當電場線由面外穿入時, d e 為負。為負。 因此，式因此，式(11-14)中表示的通過整個中表示的通過整個封閉曲面的電通量封閉曲面的電通

22、量 e,就等于穿出與穿就等于穿出與穿入該封閉曲面的電場線的代數和入該封閉曲面的電場線的代數和(凈通凈通量量)。 sedSE (11-14)EenEen靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場25 點電荷點電荷q位于一半徑為位于一半徑為r的的球面中心，則通過這球面的電球面中心，則通過這球面的電通量為通量為24rqo ooqrrq 2244三三 .真空中的高斯定理真空中的高斯定理 球球面面 cosEdSe )s(isoqSdE內內 1(11-15) 球面球面dSErq (a)圖11-15球面球面靜電場第11章Staticelectricfi

23、eldElectromagneticfield電磁場26 對包圍點電荷對包圍點電荷q的任意形的任意形狀的曲面狀的曲面S來說來說, 顯然顯然 如果閉合面如果閉合面S不包圍點電荷不包圍點電荷q, 如圖如圖11-15(c)所示所示,則則oqdSE S曲面00 odSE S曲面Erq (b)圖11-15球面球面sqE圖11-15(c)soiq 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場27 設封閉曲面設封閉曲面S內有內有n個點電荷個點電荷q1,q2,qn，這就是高斯定理。這就是高斯定理。q1qiqnQ1QjQms圖11-15(d) 封閉曲面封閉曲

24、面S外有外有m個個點電荷點電荷Q1,Q2,Qm, 則任一點的電則任一點的電場為場為 mjjniiEEE11 mjsjsnisiedSEdSEdSE11 )s(isoqSdE內內 1oiq ni 1+0靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場28 (1)高斯定理表明高斯定理表明:在真空中的靜電場內在真空中的靜電場內,通過任意通過任意封閉曲面封閉曲面(高斯面高斯面)的電通量等于該封閉曲面所包圍的的電通量等于該封閉曲面所包圍的電荷的電量的代數和電荷的電量的代數和(凈電荷凈電荷)乘以乘以1/ o倍倍 。 這就是說，通過一任意封閉曲面的電通量完全

25、由這就是說，通過一任意封閉曲面的電通量完全由該封閉曲面所包圍的電荷確定該封閉曲面所包圍的電荷確定,而與面外的電荷無關。而與面外的電荷無關。 (2)高斯定理表達式左方的場強高斯定理表達式左方的場強E是空間所有電荷是空間所有電荷(既包括封閉曲面內，又包括封閉曲面外的電荷既包括封閉曲面內，又包括封閉曲面外的電荷)共同共同產生的場強的矢量和。產生的場強的矢量和。 (3)高斯定理還表明高斯定理還表明:正電荷是發出電場線的源頭正電荷是發出電場線的源頭,負電荷是吸收電場線的閭尾。負電荷是吸收電場線的閭尾。 即即:靜電場是一個有源場。靜電場是一個有源場。 )s(isoqSdE內內 1(11-15)靜電場第11

26、章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場29問題：問題：1.如果高斯面上如果高斯面上E處處為零，則該面內必無電荷處處為零，則該面內必無電荷。如果高斯面上如果高斯面上E處處為零，則該面內必無凈電荷。處處為零，則該面內必無凈電荷。2.如果高斯面內無電荷，則高斯面上如果高斯面內無電荷，則高斯面上E處處為零。處處為零。如果高斯面內無電荷，則高斯面上如果高斯面內無電荷，則高斯面上E不一定為零不一定為零。3.如果高斯面上如果高斯面上E處處不為零，則該面內必有電荷。處處不為零，則該面內必有電荷。如果高斯面上如果高斯面上E處處不為零處處不為零,則該面內不一定有電荷

27、。則該面內不一定有電荷。4.高斯面內的電荷代數和為零時，則高斯面上各點的高斯面內的電荷代數和為零時，則高斯面上各點的場強一定為零。場強一定為零。 高斯面內的電荷代數和為零時，則高斯面上的場高斯面內的電荷代數和為零時，則高斯面上的場 強強不一定處處為零。不一定處處為零。 )s(isoqSdE內內 1(11-15)靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場3011-6 高斯定理的應用高斯定理的應用 用高斯定理計算場強的步驟：用高斯定理計算場強的步驟： (1)分析場強分布的對稱性，找出場強的方向和分析場強分布的對稱性，找出場強的方向和場強大小的

28、分布。場強大小的分布。 (2)選擇適當的高斯面，并計算出通過該高斯面選擇適當的高斯面，并計算出通過該高斯面的電通量。的電通量。 (3)求出高斯面所包圍的電量。求出高斯面所包圍的電量。 (4)按高斯定理求出場強。按高斯定理求出場強。 高斯定理大約能求解三類問題：高斯定理大約能求解三類問題： (a)球對稱，如均勻帶電的球體、球面、球殼。球對稱，如均勻帶電的球體、球面、球殼。 (b)軸對稱，如均勻帶電的長直柱體、柱面。軸對稱，如均勻帶電的長直柱體、柱面。 (c)平面型，如均勻帶電的無限大平面、平板。平面型，如均勻帶電的無限大平面、平板。靜電場第11章StaticelectricfieldElectr

29、omagneticfield電磁場31 例題例題11-8 一均勻帶電一均勻帶電q的球體，半徑的球體，半徑R，求球內外，求球內外的場強。的場強。 解解 由對稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。由對稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。 sEdS cos r2 內內qo1取半徑取半徑r的球面為高斯面，的球面為高斯面，由高斯定理由高斯定理R圖11-16rr是場點到球心的距離。是場點到球心的距離。 內內qrEo 142于是球對稱中的高斯定理可寫為于是球對稱中的高斯定理可寫為24rqEo 內內即即內q是以是以r為半徑的球面內電荷的代數和。為半徑的球面內電荷的代數和。靜電場第11章Staticelectricf

30、ieldElectromagneticfield電磁場32rR :qR圖11-16r24rqEo 內內靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場33 例題例題11-9 電荷體密度為電荷體密度為 的球體內有一球形空的球體內有一球形空腔，兩球心相距腔，兩球心相距a,如圖如圖11-17所示。求空腔中任一點所示。求空腔中任一點P的電場。的電場。 解解 空間任一點的電場可看作是帶電空間任一點的電場可看作是帶電的兩個的兩個實心球體電場的疊加。實心球體電場的疊加。+=or1po-r2porE 3由上題的結果，球體內：由上題的結果，球體內：圖11-17

31、aooP靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場34大?。捍笮。?3oaE 方向：由方向：由o指向指向o 。空腔中任一點空腔中任一點P的電場為的電場為r1-r2aooorE 31 or 32 )(321rro oa 3 +=or1po- r2porE 3 圖11-17 aooP靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場35 例題例題11-10 兩同心均勻帶電球面，半徑為兩同心均勻帶電球面，半徑為R1和和R2，分別帶電分別帶電q1和和q2, 求空間電場分布。求空間電場分布。 解解 由

32、對稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。由對稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。24rqEo 內內;4:221rERrRo 224:rERro q1q1+q2rR1:由球對稱中的高斯定理由球對稱中的高斯定理24rEo 0=0;R1R2oq1q2圖11-18靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場36 例題例題11-11 一帶電球體，半徑一帶電球體，半徑R，電荷體密度為，電荷體密度為 = o(1-r/R), o為常量；求為常量；求:(1)球內外的電場；球內外的電場；(2)場場強的最大值及相應的半徑。強的最大值及相應的半徑。 解解 (1)由高斯定

33、理由高斯定理:rR: E2.4 r2 =,drrRrRoo204)1(1 23212 rREoo 內內qrEo 142)1 (Rro343ro 1,rqEo24 內內)1 (Rro drr24 r0R圖11-19rdr靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場37 場強最大值出現在球內：場強最大值出現在球內：得得: :32Rr ooRE 9max, 01 drdE由由(2)場強的最大值及相應的半徑。場強的最大值及相應的半徑。rR: 23212 rREoo R圖11-19靜電場第11章StaticelectricfieldElectroma

34、gneticfield電磁場38 例題例題11-12一均勻帶電的無限長直柱體，半徑為一均勻帶電的無限長直柱體，半徑為R，電荷體密度為電荷體密度為 ，求柱內外的場強。，求柱內外的場強。 解解 由對稱性知由對稱性知,電場方向垂直軸電場方向垂直軸線指向四周線指向四周, 如圖如圖11-20所示。所示。 scosEdS rlqEos2 內內即即 選同軸選同軸封閉柱面為高斯面封閉柱面為高斯面, 由高斯定理有：由高斯定理有： 內內soq 1 cosEdScosEdS 側面側面上下底面上下底面lrE 2 底面半徑為底面半徑為r,高為高為l的的柱面內電荷的代數和柱面內電荷的代數和內sq圖11-20RrEo 2

35、rlE靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場39rR: rRo 22 圖11-20RrlErlqEos2 內內rlEo 2 rlEo 2 lr2 底面半徑為底面半徑為r,高為高為l的的柱柱 面面 內電荷的代數和內電荷的代數和 內內sqlR2 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場40 例題例題11-13 兩均勻帶電的同軸長直柱面，半徑兩均勻帶電的同軸長直柱面，半徑R1R2 ,單位長度的帶電量分別是單位長度的帶電量分別是 ，求電場分布。，求電場分布。 解解rR1: =0R1rR

36、2: =0R1R2+ - 圖11-21rlqEos2 內內rlEo 2 0rlEo 2 l rlEo 2 l )( 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場41 例題例題11-14 設電荷體密度沿設電荷體密度沿x軸方向按余弦規律：軸方向按余弦規律： = ocosx分布分布在整個空間在整個空間, o為幅值，求電場分布為幅值，求電場分布。 解解 空間是由許多垂直于空間是由許多垂直于x軸的無限大均勻帶電平軸的無限大均勻帶電平面組成。面組成。oxYoz平面圖11-22EE由此判斷由此判斷:電場方向沿電場方向沿x軸軸,且對且對yoz平面對稱。平面

37、對稱。選如圖所示的柱形高斯面選如圖所示的柱形高斯面,由高斯定理：由高斯定理： sEdS cosES2xdxo 1 xxES2xSoosin21 xEoosin1 SSxxxocosSdx 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場42 例題例題11-15 空間的電場分布為空間的電場分布為:Ex=bx ,Ey=0, Ez=0;求圖求圖11-23中所示的邊長為中所示的邊長為a的立方體內的凈電荷。的立方體內的凈電荷。(a=0.1m,b=1000N/(c.m) 解解 高斯定理高斯定理 內內ssoqcosEdS 1 soscosEdSq 內內= o

38、-2= oba2=8.85 10-12C。取立方體六個面為高斯面取立方體六個面為高斯面,則立方體內的凈電荷為則立方體內的凈電荷為)( 左右左右上下前后上下前后 cosEdScosEdSo 左左 cosEdSo() 右右 cosEdSaaxyzo圖11-23E+b(2a).a2靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場4311-7 電勢電勢 ！ 在點電荷在點電荷q的電場中，的電場中， qo由由a點沿任一路徑點沿任一路徑L移移到到b點點,電場力對電場力對qo所作的功為所作的功為一一 .靜電場的保守性靜電場的保守性 環路定理環路定理qrarba

39、bL圖11-24qo barroodrrqq24 由此可見由此可見,在點電荷在點電荷q的電場中的電場中,電場力的功只與電場力的功只與路徑的起點和終點位置有關路徑的起點和終點位置有關,而與路徑形狀無關。而與路徑形狀無關。)rr(qqbaoo114 (11-18)dlcos =dr baoEdlq cos baoabdlEqAErdrdl靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場44 在點電荷系在點電荷系q1,q2,qn的電場中，的電場中，qo從從a點沿任一點沿任一路徑路徑L移到移到b點時，電場力對點時，電場力對qo所作的功為所作的功為 顯然

40、，在由點電荷系產生的電場中顯然，在由點電荷系產生的電場中,電場力對電場力對qo的的功也與路徑無關。功也與路徑無關。)rr(qqibiaioio114 )rr(qqAbaooab114 baoabl dEqA baiiold)E(q ibaiol dEq iiEE靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場45 結論結論: 靜電力的功靜電力的功,僅與路徑的起點和終點的位僅與路徑的起點和終點的位置有關置有關,而與路徑形狀無關。而與路徑形狀無關。 所以所以, 靜電場是保守力場。靜電場是保守力場。顯然顯然 在靜電場中，電場強度沿任意閉合路徑的線在靜

41、電場中，電場強度沿任意閉合路徑的線積分積分(環流環流)為零。為零。 這就是靜電場的環路定理。這就是靜電場的環路定理。 LdlE0(11-21)rr(qql dEqAibiaioiobao114 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場46二二 .電勢能電勢能可見，靜電場力的功可寫為可見，靜電場力的功可寫為我們定義：我們定義：wa是是qo在在a點時點時系統系統的電勢能的電勢能; wb是是qo在在b點點時系統的時系統的電勢能。電勢能。 可見：電場力的功等于電勢能增量的負值。可見：電場力的功等于電勢能增量的負值。 baoabl dEqA(11

42、-22)wa-wb=-(wb-wa)rr(qqbaoo114 baoabl dEqA)rr(qql dEqAibiabaioiooab114 點電荷系點電荷系點電荷點電荷靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場47 若取若取b點為電勢能的零點點為電勢能的零點(零勢點零勢點),則則qo在在a點的點的電勢能為電勢能為 上式的意義是：上式的意義是：qo在場中某點在場中某點a的電勢能等于將的電勢能等于將qo從該點從該點a經任意路徑移到零勢點時電場力對經任意路徑移到零勢點時電場力對qo所作所作的功。的功。 baoabl dEqA(11-22)wa

43、-wb=-(wb-wa) 零勢點零勢點aoaldEqw靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場48三三 .電勢和電勢差電勢和電勢差 我們定義：場中我們定義：場中a點的電勢點的電勢 ：由電勢能的定義式：由電勢能的定義式： 電場中某點的電勢等于單位正電荷在該點的電電場中某點的電勢等于單位正電荷在該點的電勢能；勢能； 也等于將單位正電荷從該點經過任意路徑移到也等于將單位正電荷從該點經過任意路徑移到零勢點時電場力所作的功。零勢點時電場力所作的功。 零零勢勢點點aoadlEqw 零勢點零勢點aoal dEqw 零勢點零勢點aoaal dEqwV(

44、11-24)靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場49電勢差電勢差(電壓電壓)=兩點電勢之差兩點電勢之差aaqVw 得得)VV(qAbaab 得得 零零勢勢點點零零勢勢點點babadlEdlEVV(11-23)即即 babal dEVVU,dlEqwaoa 零勢點零勢點由由,ldEqAbaoab 由由靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場50)(baabVVqAaaqVw (1)原則上電勢零點可任意選擇，視方便而定原則上電勢零點可任意選擇，視方便而定 。 對有限大小的帶電體對

45、有限大小的帶電體,規定取無窮遠為零勢點規定取無窮遠為零勢點,于是于是 在實際問題中在實際問題中,也常常選大地的電勢為零。也常常選大地的電勢為零。 (2)電勢是相對量，隨零勢點的不同而不同。而電勢電勢是相對量，隨零勢點的不同而不同。而電勢差是絕對量，與電勢零點的選擇無關。差是絕對量，與電勢零點的選擇無關。 (3)電勢是標量電勢是標量,其值可正可負其值可正可負,與零勢點的選擇有關。與零勢點的選擇有關。 公公式式小小結結零勢點aal dEVbabadlEVV aaldEV(11-25)靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場51 1.點電荷點

46、電荷q場中場中p點點的電勢的電勢 即點電荷的電勢、電場為即點電荷的電勢、電場為rqVo4 (11-26)24rqEo dr圖11-25rPq取無窮遠為電勢零點，由定義式有取無窮遠為電勢零點，由定義式有rqo4 r24rqo dldr& 零零勢勢點點aadlEV aaldEV ppl dEV11-8 電勢的計算電勢的計算靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場522.點電荷系點電荷系(q1,q2,qiqn)場中的電勢場中的電勢，Ei 為為qi產生的電場。產生的電場。即即 niiaVV1式中式中: Vi代表第代表第i個點電荷個點電荷

47、qi單獨存在時在單獨存在時在a點產生點產生的電勢的電勢。 式式(11-27)表明表明:一個點電荷系的電場中任一點的一個點電荷系的電場中任一點的電勢等于每一個點電荷單獨存在時在該點所產生電勢等于每一個點電荷單獨存在時在該點所產生的電勢的代數和。這一結論稱作的電勢的代數和。這一結論稱作電勢疊加原理電勢疊加原理。 niioirq14(11-27) iiEE因因 aiaia)ldE(ldEV靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場53 3.帶電體電場中的電勢帶電體電場中的電勢 第第一一種方法：將帶電體分為許多電荷元種方法：將帶電體分為許多電荷元

48、dq(點電點電荷荷)，利用點電荷的電勢公式積分，利用點電荷的電勢公式積分: 第二種方法：按電勢的定義式進行計算：第二種方法：按電勢的定義式進行計算： 以上內容的學習重點：以上內容的學習重點：熟練掌握求電勢、電熟練掌握求電勢、電勢差及電場力的功的方法。勢差及電場力的功的方法。(用高斯定理求電場用高斯定理求電場) 帶電體帶電體rdqVo4(11-28) 零零勢勢點點aadlEV& aaldEV靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場54)(baabVVqAaaqVw babadlEVV 零勢點零勢點aal dEV& aald

49、EVrqVo4 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場55 例題例題11-16 (1)正六邊形邊長正六邊形邊長a，各頂點有一點電荷，各頂點有一點電荷，如圖如圖11-26(a)所示。將單位正電荷從無窮遠移到正六邊所示。將單位正電荷從無窮遠移到正六邊形中心形中心o點的過程中點的過程中,電場力的功為電場力的功為 解解)VV(o )(baabVVqA0 VVo=-q (oa)。 oA+1= - Vo將將uo代入功的式子，得代入功的式子，得aqAoo aqaqoo 44a+q+q+q+q+q-q圖11-26(a)o靜電場第11章Staticel

50、ectricfieldElectromagneticfield電磁場56)VV(qAcaoac (2)電荷分布如圖電荷分布如圖11-26(b)所示所示,將點電荷將點電荷qo從從a經經半園半園b移到移到c的過程中的過程中,電場力對電場力對qo的功為的功為044 RqRqooRqRqoo 4)3(4Rqo 6RqqAooac 6-qqo (6oR)。解解)VV(qAbaab aVcVRRaRo-q+qbc圖11-26(b)靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場57 (3)一點電荷帶電量一點電荷帶電量q=10-9C，A、B兩點與點電兩點與點

51、電荷荷q的距離分別為的距離分別為10cm、20cm。若取。若取B點的電勢為點的電勢為零，則零，則A點的電勢是多少？點的電勢是多少？ABq,rqVAoA4 解解或：取無窮遠為電勢零點，則或：取無窮遠為電勢零點，則BoBrqV 4 cmrA10cmrB20取取B點為電勢零點，則點為電勢零點，則A點的電勢：點的電勢：BoAoArqrqV44 =45V 零零勢勢點點AAl dEV BArrodrrq24BoAorqrq 44dr靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場58 例題例題11-17 一均勻帶電直線段，長為一均勻帶電直線段，長為L，電量

52、為，電量為q;求直線延長線上離一端距離為求直線延長線上離一端距離為d的的P電報的電勢。電報的電勢。(取取無窮遠為電勢零點無窮遠為電勢零點) 解解 將帶電直線分將帶電直線分為許多電荷元為許多電荷元dq(點電點電荷荷),利用點電荷電勢公利用點電荷電勢公式積分：式積分：dLdLqo ln4 pV LddxdxLqo4xPdLq圖11-27dxdqrqVo4 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場59Vo= 例題例題11-18 求圓弧圓心、圓環軸線上的電勢。求圓弧圓心、圓環軸線上的電勢。(取取無窮遠為電勢零點無窮遠為電勢零點)Rqo 4Rdq

53、o 4圓弧解解qoR圖11-28dqRrqo 4環rdqo 4Vp=RPxq圖11-29rdq.oRqVoo4 .o靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場60 解解 將圓盤分為若干個圓環將圓盤分為若干個圓環,利用圓環公式積分。利用圓環公式積分。 Rorxrdr02242 rqVo 4 Rorxrdr0222 )xRx(o 222 R0 .2 rdr4odpVxP圖11-30ddrr 例題例題11-19 均勻帶電圓盤，半徑為均勻帶電圓盤，半徑為R，電荷面密，電荷面密度為度為 ，求軸線上離盤心距離為，求軸線上離盤心距離為x的的P點的電勢。

54、點的電勢。(取無取無窮遠為電勢零點窮遠為電勢零點)靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場61 例題例題11-20 一圓臺的上下底面半徑分別為一圓臺的上下底面半徑分別為R1和和R2，它的側面上均勻帶電，電荷面密度為它的側面上均勻帶電，電荷面密度為 ，取無窮遠為，取無窮遠為電勢零點，求頂點電勢零點，求頂點o的電勢。的電勢。oR1R2rxdx 解解 將圓臺分為若干個圓環積分。將圓臺分為若干個圓環積分。rqVo 4 .2 rdx4ox pV 21xx sindrdx )(212RRo ,rx sin 由于由于 212RRopdrV 得得靜電場

55、第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場62 例題例題11-21 一無限大平面一無限大平面, 中部有一半徑為中部有一半徑為R的圓的圓孔，設平面上的電荷面密度為孔，設平面上的電荷面密度為 。求通過。求通過圓孔中心圓孔中心o并與平面垂直的直線上任一點并與平面垂直的直線上任一點p的場強和的場強和電勢。電勢。 取取o點點的電勢為零。的電勢為零。 解解 將平面分為若干個圓環積分。將平面分為若干個圓環積分。 xpoRxpoRdrr Eo 412322/)rx( x 2 rdrR232241/o)Rx(xqE 圓環圓環:222Rxxo 靜電場第11章Sta

56、ticelectricfieldElectromagneticfield電磁場63 xpoRxpoRdrrrquo 4 圓環圓環:RrPxq 取取o點的電勢為零點的電勢為零, 求求p點點的的電勢。電勢。222RxxEo oppl dEu2202Rxxdxox )xRR(o222 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場64 例題例題11-22 求半徑為求半徑為R、總電量為、總電量為q的均勻帶電球的均勻帶電球面的電勢分布。面的電勢分布。 解解 由高斯定理求出其場強分布由高斯定理求出其場強分布: ;E:Rr01 224rqE:Rro 選定無

57、限遠處的電勢為零選定無限遠處的電勢為零, 由電由電勢的定義式，有勢的定義式，有r R: 內內Vr R: 外外V RrdrE1 RdrE2Rqo4 rqo4 rdrE2 rl dER圖11-31q靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場65 例題例題11-23 電荷以相同的面密度電荷以相同的面密度 均勻分布在兩均勻分布在兩個半徑分別為個半徑分別為R1=10cm、R2=20cm的同心球面上，設的同心球面上，設無窮遠處為電勢零點，已知球心電勢為無窮遠處為電勢零點，已知球心電勢為300v，求，求: (1) =? (2)空間電勢分布；空間電勢分布

58、； (3) 兩球面的電勢差。兩球面的電勢差。 解解 (1)設內外球面分別帶電設內外球面分別帶電q1和和q2, R1R2o圖11-32 應當指出，電勢是空間坐標的連續函數。而電應當指出，電勢是空間坐標的連續函數。而電場一般是不連續的。場一般是不連續的。q1q2114Rqo oV224Rqo 球心電勢可用帶電球面的電勢疊球心電勢可用帶電球面的電勢疊加得出：加得出：靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場66 q1= .4 R12 q2= .4 R22 101RdrE球心電勢也可用電勢定義求得球心電勢也可用電勢定義求得:R1R2o圖11-32

59、q1q2 oV114Rqo 224Rqo :Rr2 :RrR21 :01Rr 01E2124rqEo 22134rqqEo 于是得于是得)RR(Voo21 292110858m/C.RRVoo 23RdrE 212RRdrE靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場67rqo 41 222RrdrEV rdrEV33rqqo 4211V114Rqo (2)各區域電勢：各區域電勢：R1R2o圖11-32q1q2 23RdrE 11RrdrE 212RRdrE224Rqo 224Rqo r R1:R1 r R2: r R2:01 E2124r

60、qEo 22134rqqEo drER 23靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場68(3)兩球面的電勢差兩球面的電勢差: 21212RRRRdrEVV)11(4211RRqo 21RRVV 或或R1R2o圖11-32q1q2 21214RRodrrq)RR(qo211114 1RV114Rqo 224Rqo 2RV2214Rqqo )(122RREU :RrR21 2124rqEo 靜電場第11章StaticelectricfieldElectromagneticfield電磁場69 例題例題11-24 一均勻帶電的球殼一均勻帶電的球殼, 電荷體密度為電