1、求變力做功的六種方法都勻市民族中學：王方喜在高中階段求變力做功問題，既是學生學習和掌握的難點，也是教師教學的難點。本文舉例說明了在高中階段求變力做功的常用方法，比如微元累積（求和）法、平均力等效法、功率的表達式、F-x圖像、用動能定理、等效代換法等來求變力做功。一、運用微元積累(求和)法求變力做功求変力做功還可以用微元累積法，把整個過程分成極短的很多段，在極短的每一段里，力可以看成是恒力，則可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代數和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我們可以用力乘以路程來計算。用微元累積法的關鍵是如何選擇恰當的微元，如何對微元作恰當的物理和數學處理，微元累積法對數學

2、知識的要求比較高。例1如圖1-1所示，某人用力轉動半徑為的轉盤，力的大小不變，但方向始終與過力的作用點的轉盤的切線一致，則轉動轉盤一周該力做多少功圖1-1【分析與解答】在轉動轉盤一周過程中，力的方向時刻變化，但每一瞬時力總是與該瞬時的速度同向（切線方向），即在每瞬時與轉盤轉過的極小位移同向這樣，無數瞬時的極小位移，都與當時的方向同向因而在轉動一周過程中，力做的功應等于在各極小位移段所做功的代數和即（）  2【總結】變力始終與速度在同一直線上或成某一固定角度時，可把曲線運動或往復運動的路線拉直考慮，在各小段位移上將變力轉化為恒力用Lcos計算功，而且變力所做功應等于變力在各小段所做功之

3、和。【檢測題1-1】如圖1-2所示，有一臺小型石磨，某人用大小恒為F、方向始終與磨桿垂直的力推磨，設施力點到固定轉軸的距離為L，在使磨轉動一周的過程中，推力做了多少功？ 圖1-2【檢測題1-2】小明將籃球以10 m/s的初速度，與水平方向成30°角斜向上拋出，被籃球場內對面的小虎接到，小明的拋球點和小虎的接球點離地面的高度都為1.8 m由于空氣阻力的存在，籃球被小虎接到時的速度是6 m/s.已知籃球的質量m0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全過程中籃球克服空氣阻力做的功；(2)如果空氣阻力恒為5 N，籃球在空中飛行的路程二、運用平均力等效法求變力做功 當力的方向不變，而大小

4、隨位移線性變化時(即x)，可先求出力的算術平均值，再把平均值當成恒力，用功的計算式求解。用平均值求變力做功的關鍵是先判斷変力F與位移x是否成線性關系。例2.要把長為的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進入木板的深度成正比，比例系數為k。問此釘子全部進入木板需要打擊幾次？【分析和解答】在把釘子打入木板的過程中，釘子把得到的能量用來克服阻力做功，而阻力與釘子進入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。釘子在整個過程中受到的平均阻力為：釘子克服阻力做的功為：設全過程共打擊n次，則給予釘子的總能量：所以【檢測題2】某人用豎直向上的力勻速提起長為、

5、質量為的置于地面上的鐵鏈，求將鐵鏈從提起到剛提離地面時，提力所做的功如圖2所示圖2【分析與解答】鐵鏈被提升過程中所需提力方向不變，大小隨離地高度均勻地從0增大到平均提力02（12），提力通過的位移為，因此，提力所做的功為·LmgL/2【說明】此題也可將鐵鏈質量集中于其重心，從提起到剛離開地面，鐵鏈重心上升L/2，運用功能原理求解特點：變力與位移成線性關系時，才可用平均力等效變力用公式Lcos計算功三、運用求變力做功涉及到機車的啟動、吊車吊物體等問題，如果在某個過程中保持功率P恒定，隨著機車或物體速度的改變，牽引力也改變，要求該過程中牽引力的功，可以通過求変力做功。例3質量為5000k

6、g的汽車，在平直公路上以60kW的恒定功率從靜止開始啟動，速度達到24的最大速度后，立即關閉發動機，汽車從啟動到最后停下通過的總位移為1200m.運動過程中汽車所受的阻力不變.求汽車加速運動的時間.【分析和解答】牽引力是変力，該過程中保持功率P恒定，牽引力的功可以通過來求。汽車加速運動的時間為t，由動能定理得： P t +( Ff · s ) = 0汽車達到最大速度時，牽引力和阻力大小相等，則 即可求得汽車加速運動的時間為【檢測題3】【題目】質量為4000kg的汽車，由靜止開始以恒定的功率前進，它經100/3 s的時間前進425m，這時候它達到最大速度15m/s。假設汽車在前進中所受

7、阻力不變，求阻力為多大。    【分析和解答】汽車在運動過程中功率恒定，速度增加，所以牽引力不斷減小，當減小到與阻力相等時速度達到最大值。汽車所受的阻力不變，牽引力是變力，牽引力所做的功不能用功的公式直接計算。由于汽車的功率恒定，汽車功率可用P=Fv求，速度最大時牽引力和阻力相等，故P=Fvm=fvm，所以汽車的牽引力做的功為W汽車=Pt=fvmt根據動能定理有： W汽車 + (-fs) = mvm2/2，即fvmt fs = mvm2/2     代入數值解得： f=6000N。 【

8、總結】變力做功的問題是一教學難點，在上述實例中，從不同的角度、用不同的方法闡述了求解變力做功的問題在教學中，通過對變力做功問題的歸類討論，有利于提高學生靈活運用所學知識解決實際問題的能力，有利于培養學生的創造性思維，開闊學生解題的思路四、運用F-x圖像中的面積求變力做功某些求変力做功的問題，如果能夠畫出変力F與位移x的圖像，則F-x圖像中與x軸所圍的面積表示該過程中変力F做的功。運用F-x圖像中的面積求變力做功的關鍵是先表示出変力F與位移x的函數關系，再在畫出F-x圖像。 例4：用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設阻力與釘子進入木板的深度成正比， 每次擊釘時錘子對釘子做的功相同，已知第一次擊后釘子進入木

9、板1cm，則第二次擊釘子進入木板的深度為多少？【分析和解答】鐵錘每次做功都是用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，F=kx，以F為縱坐標，F方向上的位移x為橫坐標，作出Fx圖象，如圖4-1，函數線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對鐵釘做的功.由于兩次做功相等，故有：S1=S2(面積) 即：圖4-1kx12=k(x2+x1)(x2x1)得 所以第二次擊釘子進入木板的深度為：【檢測題4】放在地面上的木塊與一勁度系數的輕彈簧相連?，F用手水平拉彈簧，拉力的作用點移動時，木塊開始運動，繼續拉彈簧，木塊緩慢移動了的位移，求上述過程中拉力所做的功?！痉治龊徒獯稹坑深}意作出圖象如圖4

10、-2所示，在木塊運動之前，彈簧彈力隨彈簧伸長量的變化是線性關系，木塊緩慢移動時彈簧彈力不變，圖線與橫軸所圍梯形面積即為拉力所做的功。即圖4-2五、運用動能定理求變力做功動能定理的表述：合外力對物體做功等于物體的動能的改變，或外力對物體做功的代數和等于物體動能的改變。對于一個物體在某個過程中的初動能和末動能可求，該過程其它力做功可求，那么該過程中変力做功可求。運用動能定理求變力做功關鍵是了解哪些外力做功以及確定物體運動的初動能和末動能。圖5-1例5如圖5-1所示，原來質量為m的小球用長L的細線懸掛而靜止在豎直位置.用水平拉力F將小球緩慢地拉到細線與豎直方向成角的位置的過程中，拉力F做功為（ ）A

11、. B. C. D. 【解析】很多同學會錯選B，原因是沒有分析運動過程，對FLcos來求功的適用范圍搞錯，恒力做功可以直接用這種方法求，但變力做功不能直接用此法正確的分析，小球的運動過程是緩慢的，因而任一時刻都可看作是平衡狀態，因此F的大小不斷變大，F做的功是變力功，小球上升過程中只有重力和拉力做功，而整個過程的動能改變為零，可用動能定理求解：所以 ，故D正確。【檢測題5】如圖5-2所示，質量的物體從軌道上的A點由靜止下滑，軌道AB是彎曲的，且A點高出B點h=0.8m。物體到達B點時的速度為2m/s，求物體在該過程中克服摩擦力所做的功。 圖5-2【分析和解答】物體由A運動到B的過程中共受到三個

12、力作用：重力G、支持力和摩擦力。由于軌道是彎曲的，支持力和摩擦力均為變力。但支持力時刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而該過程中只有重力和摩擦力做功。由動能定理，其中所以代入數據解得所以，物體在該過程中克服摩擦力所做的功為5.84J。六、用等效代換法求變力做功求某個過程中的変力做功，可以通過等效法把求該変力做功，轉換成求與該変力做功相同的恒力的功，此時可用功定義式WFLcos求恒力的功，從而可知該変力的功。等效轉換的關鍵是分析清楚該変力做功到底與哪個恒力的功是相同的。例6如圖6-1所示，一個可以看做質點的物體靜止于水平地面上的點，用質量不計的細繩系住物體，繩子的另一端通過距地面高為=3m的無摩擦定滑輪，用=4N的恒定拉力拉繩子，使物體向右運動。已知=370，=530，求物體從點運動到點過程中，繩子的拉力對物體所做的功。(sin370=0.6，sin530=0.8) 圖6-1【分析與解答】如圖6-2，物體從運動到的過程中，繩上拉力的方向時刻變化，因而在物體位移方向上的分力大小是變化的從圖1可以看出，此變力使物體在水平方向上移動時所做的，等效于恒力對繩做功力的作用點由a移動到時，設力對繩所做的功為即 圖6-2繩的拉力對物體所做的功FLabFLAcFh（1/sin