1、精選優質文檔-傾情為你奉上第二十八講 遞推方法 月 日 課次 專 題 知 識 簡 述有時，我們會遇上一些具有規律性的數學問題，這就需要我們在解題時根據已知條件盡快地去發現規律，并利用這一規律去解決問題。例如：按規律填數：1，4，9，16，25，（ ），49，64；分析：要在括號填上適當的數，就要正確判斷出題目所呈現出的規律。若你仔細地觀察這一數列，就會發現這些數之間的規律：先考慮相鄰兩個數之間的差，依次是3，5，7，9，15；可以看到相鄰兩數的差從3開始呈現遞增2的規律，所以括號里的數應是25+11=36，再看36+13=49得到驗證。如果我們換一個角度去考慮，那么我們還可以發現，這數列的第一

2、項是1的平方，第二項是2的平方，第三項是3的平方，從這些事實中，發現規律是第n項是n的平方。那么所求的是第六項是62=36。我們把相鄰數之間的關系稱為遞歸關系，有了遞歸關系可以利用前面的數求出后面的未知數。象這種解題方法稱為遞推法。例 題 解 析 10個910個9例1 999999×999999的乘積中有多少個數字是奇數？分析 我們可以從最簡單的9×9的乘積中有幾個奇數著手尋找規律。9×9=81，有1個奇數；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2個奇數；999×999=999（1000-1）=-999=，有3

3、個奇數； 10個910個9從而可知，999999×999999的乘積中共有10個數字是奇數。Aa1a2a3a4a5a6a7a8例2 如圖所示：線段AB上共有10個點（包括兩個端點）那么這條線段上一共有多少條不同的線段？B 分析 先從AB之間只有一個點開始，在逐步增加AB之間的點數，找出點和線段之間的規律。我們可以采用列表的方法清楚的表示出點和線段數之間的規律。AB之間只有1個點：線段有 1+2=3條。AB之間只有2個點：線段有 1+2+3=6條。AB之間只有3個點：線段有 1+2+3+4=10條。AB之間只有4個點：線段有 1+2+3+4+5=15條。 不難發現，當AB之間有8個點時

4、，線段有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45條。若再進一步研究可得出這樣得規律，線段數=點數×（點數-1）÷2。例3 計算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。分析 這是一道特殊的計算題，當然我們可以采用分別求出每個數的立方是多少再求和計算出這題的結果。這樣的計算工作量比較大，是否可以采用其它較簡便的方法計算呢？下面我們就來研究這個問題。13+23=（1+2）2； 13+23+33=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2 ；這樣我們可以容易地得到13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 =（1+

5、2+3+4+5+6+7+8+9+10）2 = 552= 3025通過這個例題我們可以得到13+23+33+n3=（1+2+3+n）2例4 2000個學生排成一行，依次從左到右編上12000號，然后從右到左按一、二報數，報一的離開隊伍，剩下的人繼續按一、二報數，報一的人離開隊伍，按這個規律如此下去，直至當隊伍只剩下一人為止。問：最后留下的這個人原來的號碼是多少？分析 我們通過前幾次留在隊伍中的學生的編號找出規律。第一次留下的學生編號是：2，4，6，8，10，； 都是2的倍數。即21的倍數；第二次留下的學生編號是：4，8，12，16，20，； 都是4的倍數，即22的倍數；第一次留下的學生編號是：8

6、，16，24，32，40，；都是8的倍數。即23的倍數；由于210=10242000211=2048；這樣可知，最后留下學生的號碼一定是1024。例5 圓周上兩個點將圓周分為兩半，在這兩點上寫上數1；然后將兩段半圓弧對分，在兩個分點上寫上相鄰兩點上的數之和；再把4段圓弧等分，在分點上寫上相鄰兩點上的數之和，如此繼續下去，問第6步后，圓周上所有點上的之和是多少？11112211223333分析 先可以采用作圖嘗試尋找規律。第一步，圓周上有兩個點，第二步有四個點，第三步有八個點，第四步有十六個點，第六步有32個點。因為問題是求圓周上所有數的和，所以我們不必去考慮每一步具體增加了哪些數，只須知道每一

7、步增加數的總和是多少。第一步：圓周上有兩個點，兩個數的和是1+1=2；第二步：圓周上有四個點，四個數的和是1+1+2+2=6；增加數之和恰好是第一步圓周上所有數之和的2倍。第三步：圓周上有八個點，八個數的和是1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加數之和恰好是第二步數圓周上所有數之和的2倍。第四步：圓周上有十六個點，十六個數的和是1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，增加數之和恰好是第三步數圓周上所有數之和的2倍。 這樣我們可以知道，圓周上所有數之和是前一步圓周上所有數之和的3倍。用遞推法關系表示。 設an為第n步后得出的圓周上所有數之和，則an=3×

8、;an1利用此式可以得到： an=3×an1=3×3an2=3×3×3an3=3×3××3a1（n1）個3因為a1=2，所以：（n1）個3 an=3×3××3a1=3（6-1）×2=486。例6 4個人進行籃球訓練，互相傳球接球，要求每個人接球后馬上傳給別人，開始由甲發球，并作為第一次傳球，第五次傳球后，球又回到甲手中，問有多少種傳球方式？（n1）個3分析 設第n次傳球后，球又回到甲手中的傳球方式有an種?？梢韵胂笄皀-1次傳球，如果每一次傳球都任選其他三人中的一人進行傳球，即每次傳球

9、都有3種可能，由乘法原理，共有 3×3××3=3（種）傳球方法。（n1）個3這些傳球方式并不是符合要求的，它們可以分為兩類，一類是第n-1次恰好傳到甲手中，這有an-1傳法，它們不符合要求，因為這樣第n次無法再把球傳給甲；另一類是第n-1次傳球，球不在甲手中，第n次持球人再將球傳給甲，有an傳法。根據加法原理，有an-1+an=3×3××3=3n-1。由于甲是發球者，一次傳球后球又回到甲手中的傳球方式是不存在的，所以a1=0。利用遞推關系可以得到 a2=3-0=3，a3=3×3-3=6，a4=3×3×3-

10、6=21，a4=3×3×3×3-21=60。這說明經過5次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法有60種。 當然這題也可以利用列表法求解。 我們可以這樣想，第n次傳球后，球不在甲手中的傳球方法，第n+1次傳球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次傳球后，球不在甲手中的傳法共有多少種。從圖中可以看出經過四次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法共有60種。練習鞏固1、下列數是按一定規律排列的。 3、8、15、24、35、48、63、，那么，它的第36個數是（ ）。2、右圖中最上面的空格中應填（ ）。3、33333×33333的乘積中有幾個數字是奇數？10個34、把一

11、張長16厘米、寬8厘米的長方形紙對折后裁成兩半，再把其中的一張對折并裁成兩半，繼續這樣裁下去，直到得到兩個邊長為1厘米的正方形紙片為止。一共需要裁（ ）次。5、如圖，從A點到B點，最短路線共有多少條？6、將一根繩子連續對折3次，然后每隔一定長度剪一刀，共剪了6刀。這樣原來的繩子被剪成（ ）段。7、在一張四邊形紙上共有10個點，如果把四邊形的頂點算在一起，則一共有14個點。已知這些點中的任意三個點都不在同一直線上。按照下面規定把這張紙片剪成一些三角形： 每個三角形的頂點都是這14個點中的3個； 每個三角形內都不再有這些點。那么，這張四邊形的紙最多可以剪出（ ）個三角形。8、某公共汽車線路上共有1

12、5個車站（包括起點站和終點站）。在每個站上車的人中，恰好在以后各站下去一個。要使行駛過程中每位乘客都有座位，車上至少要備有多少個座位？9、在平面內畫五條直線和一個圓，最多能把平面分成多少部分？10、一個三位數，如果它的每一位數字都不小于另一個三位數對應數位上的數字，就稱它“吃掉”后一個三位數，例如543吃掉432。543吃掉543。但是543不能吃掉534。那么能吃掉587的三位數共有多少個？練習答案1. 這列數規律是第n個數是（n+1）21。所以第36個數是（36+1）21=1368。2. 613. 10個4. 每次裁一次面積減少一半，16×8=27，所以需要裁7次。5. 如圖，共有10條最短路線6. 考慮繩子被對折后形成的彎。i. 繩子對折3次，繩子共折成8段，其中彎有7個彎。ii. 繩子被剪6刀，即每段繩子被剪成7段，這樣繩子共被剪成56段，由于有7個彎，把兩段繩子連在一起，所以原來的繩子被剪成567=49段。7 在10個點中任意取一點，與四邊形的四個頂點構成4個三角形。再在剩下的9個點中任意取一點，它必定落在某一個三角形中，只能與三角形的三個頂點構成三個三角形，即增加2個三角形。以后各點情況都與此相同。除了第一點增加4個三角形