1、第一章三角形的證明【單元分析】本章是八年級上冊第七章平行線的證明的繼續，在“平等線的證明”一章中，我們給出了 8條基本事實，并從其中的幾條基本事實出發證明了有關 平行線的一些結論。 運用這些基本事實和已經學習過的定理，我們還可以證明 有關三角形的一些結論。在這之前，學生已經對圖形的性質及其相互關系進行了大量的探索，探索的 同時也經歷過一些簡單的推理過程，已經具備了一定的推理能力，樹立了初步的 推理意識，從而為本章進一步嚴格證明三角形有關定理打下了基礎。【單元目標】1 .知識與技能(1)等腰三角形的性質和判定定理；(2)直角三角形的性質定理和判定定理；2 .過程與方法(1)會運用等腰三角形的性質

2、和判定定理解決相關問題；(2)直角三角形的性質定理和判定定理解決簡單的實際問題；3 .情感態度與價值觀(1)經歷由情景引出問題，探索掌握有關數學知識，再運用于實踐的過程，培 養學數學、用數學的意識與能力；(2)感受數學文化的價值和中國傳統數學的成就，激發學生熱愛祖國與熱愛祖 國悠久文化的思想感情。【單元重點】在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條 件和結論，能夠借助數學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定 定理。【單元難點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等【教學思路】1 .對于已有命題的證明，教學過程中要注意引導學生回憶過去

3、的探索、說理 過程，從中獲取嚴格證明的思路； 對于新增命題，教學過程中要重視學生的探索、 證明過程，關注該命題與其他已有命題之間的關系；對于整章的命題，注意關注 將這些命題納入一個命題系統，關注命題之間的關系，從而形成對相關圖形整體 的認識。2 .對于證明的方法，除了注重啟發和回憶，還應注意關注證明方法的多樣性, 力圖通過學生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在比較中選擇適當的方法。3 .證明過程中注意揭示蘊含其中的數學思想方法，如轉化、歸納、類比等。4 .作為初中階段幾何證明的最后階段，教學中應要求學生掌握綜合法和分析 法證明命題的基本要求，掌握規范的證明表述過程，達成課程標準對證明表述的

4、要求。【單元課時安排】課題課時等腰三角形4課時直角三角形2課時線段的垂直平分線2課時角平分線2課時回顧與思考2課時等腰三角形【教學目標】1 .知識與技能理解作為證明基礎的幾條公理的內容，應用這些公理證明等腰三角形的性質定理。2 .過程與方法經歷“探索-發現-猜想-證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探 索活動的自然延續和必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。3 .情感態度與價值觀啟發引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的相互依賴和 相互補充的辯證關系。【教學重點】經歷“探索一一發現一一猜想一一證明”的過程。【教學難點】用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論。【教學方法

5、】講授法【課時安排】4課時第一課時【教學目標】1 .知識與技能能夠借助數學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理。2 .過程與方法經歷“探索-發現-猜想-證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續和必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。3 .情感態度與價值觀啟發引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關系。【教學重點】探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法。【教學難點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等。【教學過程】教學隨筆教學過程第一環節：回顧舊知導出公理提請學生回憶并

6、整理已經學過的8條基本事實中的5條：1 .兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩 條直線平行；2 .兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；3 .兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS;4 .兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASQ;5.三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS ;在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（推論）兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AA9,并要求學生利用前面所提到的公理進行證明；2.回憶全等三角形的性質。已知：如圖，/ A=/ D,/B=/ E,BC=EF.求證： AB% DEF.證明：./ A=/ D,/B=/ E （已知），又/ A

7、+/B+/C=180° , /D+/E+/F=180° （三角形內角 和等于180° ）,C=180° -（ / A+/ B）,ZF=180° -（ / D+/ E）,./ C=/ F （等量代換）。又BC=EF（已知），.ABe DEF （ASA。第二環節：折紙活動探索新知在提問：“等腰三角形有哪些性質以前是如何探索這些性 質的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質嗎并根據折紙過 程，得到這些性質的證明嗎” 的基礎上，讓學生經歷這些定理 的活動驗證和證明過程。 具體操作中，可以讓學生先獨自折紙 觀察、探索并寫出等腰三角形的性質，然后再以六人為小組

8、進 行交流，互相彌補不足。第三環節：明晰結論和證明過程在學生小組合作的基礎上，教師通過分析、提問，和學生一起完成以上兩個個性質定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明，其余學生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總 各小組的結果以及具體證明方法，給學生明晰證明過程。(1)等腰三角形的兩個底角相等；(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條 線重合第四環節：隨堂練習 鞏固新知學生自主完成 P4第2題：如圖(圖略)，在4ABD中,C 是 BD上的一點，且 AC!BD, AC=BC=CD(1)求證： AB謠等腰三角形；(2)求/ BAD的度數。第五環節：課堂小結讓學生暢談收獲，包括具體結論

9、以及其中的思想方法等。第六環節：布置作業課本第4頁習題第2、3題【板書設計】等腰三角形（一）證明：:/ A=/ D,/B=/ E （已知），又/ A+/B+/C=180° , D D+ZE+ZF=180° （三角形內角和等于 180° ）,C=180° -（ / A+/ B）,ZF=180° -（ / D+/ E）,./ C=/ F （等量代換）。又BC=EF（已知），.ABe DEF （ASA。【教學反思】第二課時【教學目標】1 .知識與技能進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性。2 .過程與方法讓學生進一步體會證明是探索活動的

10、自然延續和必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。3 .情感態度與價值觀體驗數學活動中的探索與創造，感受數學的嚴謹性。【教學重點】用面積法驗證勾股定理。【教學難點】用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環節：提出問題，引入新課在回憶上節課等腰二角形性質的基礎上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發現其中一第二環節：自主探究在等腰三角形中自主作出一些線段 （如角平分線、中線、 高等），觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明。你可能得到哪些相等的線段你如何驗證你的猜測你能證明你的猜測嗎試作圖， 寫出已知、求證和證明

11、過程；還可以有哪些證明方法通過學生的自主探究和同伴的交流， 學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎上探究出：等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等.并對這些命題給予多樣的證明。如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學生得到了下面的證明方法：已知：如圖，在 ABC中，AB=AC BD CE是4ABC的角平分線.求證：BD=CE證法 1: .AB=ACA等、力償角A / ABCgACB等邊對等角）. e /dii3i24/ 1=2 /ABC Z 2=2 /ABC BC，/ 1=/ 2.在BDCffi CEB 中，ZACB ABC BC=CB /1 = /

12、2. .BDC CEB(ASA)，BD=CE住等三角形的對應邊相等)證法2:證明：: AB=AC，/ ABCg ACB在4ABC和4ACE中,/3=/4, AB=AC /A=/ A.AB乎 ACE(ASA)BD=CE住等三角形的對應邊相等).第三環節：經典例題變式練習提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外， 還可以有哪些線段相等并在學生思考的基礎上，研究課本“議一議”：在課本圖14的等腰三角形ABC中，(1)如果/ ABD1 / ABC /ACE/ACB®由止匕，你能得 34到一個什么結論,E _ 1 一 11 一(2)如果 AD=2 AC, AE=2 AB,那么 BD=

13、CE馬如果 AD=3 AC,1AE= AB呢由此你得到什么結論3第四環節：拓展延伸，探索等邊三角形性質提請學生在上面等要三角形性質定理的基礎上，思考等邊三角形的特殊性質：等邊三角形三個內角都相等并且每個內角 都等于60° .已知：在八ABC中，AB=BC=AC求證：/ A=/ B=/ C=60° .證明：在八ABC中，: AB=ACB=/C（等邊對等角）.同理：/ C=/ A,/ A=/ B=/ C （等量代換）.又;/A+/ B+Z C= 180° （三角形內角和定理），.二/ A=/ B=/ C= 60°學生一般都能得到這些定理的證明，能規范地寫出對

14、于“等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于 證明過程:第五環節： 隨堂練習 及時鞏固在探索得到了等邊三角形的性質的基礎上,讓學生獨立完成以下練習。形.1.如圖，已知人80和4 BDE都是等邊三角求證:AE=CD活動意圖：在鞏固等邊三角形的性質的同時,進一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規范證明的書寫格式。第六環節：探討收獲課時小結本節課我們通過觀察探索、發現并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結論歸納出一般結論，第七環節：布置作業課本第7頁習題第2、3題【板書設計】等腰三角形（二）已知：在八ABC中，AB=BC=AC求證：/ A=/ B=/ C=60° .證明：在八ABC中

15、，: AB=ACB=/ C（等邊對等角）.同理：/ C=/ A, . / A=/ B=/ C （等量代換）.又:/ A+/ B+/ C= 180° （三角形內角和定理），/ A=/ B=/ C=0° .【教學反思】第三課時【教學目標】1 .知識與技能探索等腰三角形判定定理。2 .過程與方法理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明3 .情感態度與價值觀培養學生的逆向思維能力。【教學重點】理解等腰三角形的判定定理。【教學難點】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環節：復習引入通過問題串回顧等腰三角形的性質定理以及證明的思路， 要求學

16、生獨立思考后再進交流。問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么這個命題的 題設和結論分別是什么問題2.我們是如何證明上述定理的問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立么 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等第二環節：逆向思考，定理證明教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結論， 這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過 來”思考問題，這也是獲得數學結論的一條途徑.例如“等邊 對等角”，反過來成立嗎也就是：有兩個角相等的三角形是等 腰三角形嗎生如圖，在 ABC中，/ B=/ C,要想證A明AB=AC只要構造兩個全等的三角形，使 AB與AC成為對應邊就可

17、以了.BC師你是如何想到的生由前面定理的證明獲得啟發，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作 BC上的高，都可以把 ABC分成兩個全等的三角形.師很好.同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然后 分組討論.生我們組發現，如果作BC的中線，雖然把 ABC分成了 兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們全等.因為我們得到的條件是兩個三角形對應兩邊及其一邊的對角分 別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的.后兩種方法是可行 的.師那么就請同學們任選一種方法按要求將推理證明過 程書寫出來.（教師可讓兩個同學在黑板上演示，并對推理證 明過程講評）（證明略）師我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常

18、 重要的定理一一等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角 形是等腰三角形.這一定理可以簡單敘述為： 等角對等邊.我 們不僅發現了幾何圖形的對稱美，也發現了數學語言的對稱 美.第三環節：鞏固練習將書中的隨堂練習提前到此，是為了及時鞏固判定定理。引導學生進行分析。已知：如圖，/ CA虛4ABC的外角，AD/ BC且/1=/2.求證：AB=AC證明：V AD/ BC,./1 = /B（兩直線平行，同位角相等/ 2=/C（兩直線平行，內錯角相等）.又一/ 1=/ 2,./ B=/ C.AB=AC等角對等邊）.第四環節：適時提問導出反證法我們類比歸納獲得一個數學結論，“反過來”思考問題也獲得了一個數學結

19、論.如果否定命題的條件，是否也可獲得一 個數學結論嗎我們一起來“想一想”：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩 個角所對的邊也不相等.你認為這個結論成立嗎如果成立，你 能證明它嗎有學生提出：“我認為這個結論是成立的.因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發現，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等. 但要像 證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因為它的條件和結論都 是否定的.”的確如此.像這種從正面人手很難證明的結論， 我們有沒有別的證明思路和方法呢我們來看一位同學的想法：如圖，在 ABC中，已知/ B手/ C,此時AB與Ac要么相 等，要么不相等.假設AB=AC那么根據“等邊對等角”定

20、理可得/ C=/ B, 但已知條件是/ B乎/C. "/C=/ B'與已知條件“/ B手/C” 相矛盾，因此AA AC你能理解他的推理過程嗎再例如，我們要證明 ABC中不可能有兩個直角，也可以 采用這位同學的證法，假設有兩個角是直角，不妨設/ A=90° , /B=90° ,可得/ A+/ B=180° , 1 ABZ A+/ B+Z C=180° , “/A+/ B=180° ” 與 “/A+/ B+Z C=180° ” 相矛盾，因此 ABC中不可能有兩個直角.引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢引出 反

21、證法。都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾， 從而證明命題的結論一定成 立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法.接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊"，最后結合實例了解了反證法的 含義.第五環節：拓展延伸/活動過程與效果： 在一節課結束之際，為培養學生思維的綜合性、靈活性特安排了 2個練習。一個是平行線、Y 平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉換求圖形的周長。另一個是一個開放性的問題，考察學生多角度多維度思考問題 的能力。學生在獨立思考的基礎上再小組交流。1 .如圖，BD平分/ CBACD平分

22、/ ACB且 MIN/ BC 設 AB=12AC=18,求 AMN勺周長.2 .現有等腰三角形紙片，如果能從一個角的頂點出發，將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片，問此時的等腰三角形的頂角的度數第六環節：課堂小結(1)本節課學習了哪些內容(2)等腰三角形的判定方法有哪幾種(3)結合本節課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區別和聯系.(4)舉例談談用反證法說理的基本思路第七環節：布置作業【板書設計】等腰三角形(三)已知：如圖，/ CA虛4ABC的外角，AD/ BC且/1=/2.*求證：AB=AC證明：: AD/ BC,./1 = /B(兩直線平行，同位角相等)，/ 2=/C(兩直線平行，內錯角相

23、等).又一/ 1=/ 2,B=/ C.AB=AC等角對等邊).【教學反思】第四課時【教學目標】1 .知識與技能理解等邊三角形的判別條件及其證明， 理解含有30o角的直角三角形性質 及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。2 .過程與方法經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維。3 .情感態度與價值觀在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。II學重點1等邊三角形判定定理的發現與證明。【教學難點】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用【教學過程】教學過程教學隨筆第一環節：提問問題，引入新課教師回顧前面等腰二角形的性質和判定定理的基

24、礎上，直 接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質呢又如何判別一個三角形是等腰三角形呢從而引入新 課。開門見山，引入新課，同時回顧，也為后續探索提供了鋪 墊。（教師應給學生自主探索、思考的時間 ）第二環節:自主探索學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件， 并交流 匯報各自的結論，教師適時要求學生給出相對規范的證明， 概 括出等邊二角形的判別條件，并引導學生總結出卜哀：性質判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形 頂角平分線，底 邊上的中線、高 互相重合有一角是60°等邊三角形三 個角都相等，且 每個角都是 60°

25、;三個角都相等的三角形是等邊三角形經歷定理的探究過程，即明確有關定理，同時提高學生的自主探究能力。第二環節：實際操作提出問題活動內容：教師直接提出問題：我們還學習過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形能拼出一個等邊三角形嗎在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關系，有哪些線段存在倍數關系，你能得到什么結論說說你的理由.讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發現結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于 30° ,那么它所對的直角邊等于斜邊 的一半.定理：在直角三角形中，

26、如果一個銳角等于30° ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.已知：如圖，在 RtABC中，/ C=90 , / BAC=30 .一 _ 1 _求證：BC=2 AB.分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發，延長BC至D,使CD=BC 連接 AD.證明：在 ABC中，/ ACB=90 , / BAC=30 / B=60° .延長BC至D,使CD=BC連接AD（如圖所示）. /ACB=90，/ACB=90VAC=AC AB®ADC(SAS). AB=AD住等三角形的對應邊相.ABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是 等邊三角形）.11- BC= BD=-

27、 AB . 22第四環節：變式訓練 鞏固新知直接提請學生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中， 如果一條直角邊等于斜邊的一半， 那么這條直角邊所對的銳角 等于30°嗎如果是，請你證明它.在師生分析的基礎上，給出證明：1 _已知：如圖，在 RtABC中，/ C=90 , BC=2 AB.求證：/ BAC=30證明：延長 BC至D,使CD=BC連接AD. /ACB=90 ,ACD=90 .ACB ACD(SAS)又AC=AC，AB=AD八八J,. CD=BCBC=2 BD.AX / BC=1 AB, AB=BD，AB=AD=B D即AABD是等邊三角形.，/B=60° .在 R

28、tABC中，/ BAC=30 .呈現例題，在師生分析的基礎上，運用所學的新定理解答 例題。等腰三角形的底角為15。，腰長為2a,求腰上的高CD的 長.分析：觀察圖形D可以發現在 RtAADC,.AJX中，AC=2a 而/ DAC BC是 ABC的一個外角，而/ DAC=15° =30° ,根據在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出 CD解：/ABCg ACB=15丁./DAC= ABC吆 ACB=15 +15° =30°11.CD=2 AC=2 X2a= a（在直角二角形中，如果一個銳角等于30° ,那么它所對的直角

29、邊等于斜邊的一半）.第五環節：暢談收獲課時小結讓學生對課堂學習進行小結， 注意總結具體的知識、結論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。第六環節：布置作業【板書設計】等腰三角形（四）一 ，一，_ c _1_已知：如圖，在 RtABC中，/ C=90 , BC=2 AB.求證：/ BAC=30證明：延長 BC至D,使CD=BC連接AD. /ACB=90 ,./ ACD=90 .又AC=AC.ACB ACD(SAS)，AB=AD1 一. CD=BC - BC=2 bd.B' D 'C BJ 'C(1)(2)X / BC=1 AB,，AB=BD，A

30、B=AD=B D即 ABD是等邊三角形./B=60° .在 RtABC中，/ BAC=30 .【教學反思】直角三角形【教學目標】1 .知識與技能(1)掌握直角三角形的性質定理(勾股定理)及判定定理的證明方法， 并能應用定理解決與直角三角形有關的問題。(2)結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命 題成立，其逆命題不一定成立。2 .過程與方法(1)進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維.(2)進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理的能力。3 .情感態度與價值觀體驗生活中的數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯系，激發

31、學生學數學、用數學的興趣。【教學重點】掌握直角三角形的性質定理(勾股定理)及判定定理的證明方法。【教學難點】應用定理解決與直角三角形有關的問題。【教學方法】講授法【課時安排】2課時第一課時【教學目標】1 .知識與技能掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法。2 .過程與方法進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維。3 .情感態度與價值觀在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。【教學重點】掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法。【教學難點】結合具體例子了解逆命題的概念， 會識別兩個互逆命題，知道原命

32、題成立，其逆命題不一定成立。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環節：創設情境，引入新課通過問題1,讓學生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質。問題1 一個直角三角形房梁如圖所示， 其中BC±AC, /BAC=30 , AB=10cm, CB1AB, BiC±AC,垂足分別是 B、Ci, 那么BC的長是多少BiCi呢. CBAB, ，/B+/ BCB= 90又A+/ B= 90°丁./ BCB = / A= 30°,115在 RtACB中，BB=- BC=- X5=二 cm = 2. 5 cm. '222，AB1= AB= BB= 10= (c

33、m).二在 RtCAB 中，/ A=30°1 -1，、 . B1C = g AB1 = 2 x = (cm).解決這個問題，主要利用了上節課已經證明的“30°角的直角三角形的性質” .由此提問：“一般的直角三角形具有什么 樣的性質呢”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎請同學們打開課本 P18,閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導出的定理，證明勾股定理的方法.第二環節：講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著 重討論第一種，第二種方法請有興趣的同學課后閱

34、讀.(1).勾股定理及其逆定理的證明.已知:如圖，在 ABC中，/ C= 90° , BO a, AC= b, AB=c.求證:a2+b2 = c2.證明:延長 CB至D,使B況b,作/ EBD= /A,并取 BE=c,連接 ED AE（如圖），則AABeABED，/BDE= 90° , ED= a（全等三角形的對應角相等，對應邊相等）.四邊形ACD自直角梯形.1一 S梯形 ACDE= 2 (a+b)(a+b)122 (a+b) .丁. / ABE= 180° ( / ABC+ / EBD)= 180° 90° =90°AB= BE.

35、BED,SA ABE= 1 c22ACD直 Saabe+&abc+&121211- 2 (a+b) = 2 c + 2 ab + 2 ab,即 2 a2 + ab +1 . 212.2 b =2 c + ab, a2+b2 = c2教師用多媒體顯示勾股定理內容，用課件演示勾股定理的 條件和結論，并強調.具體如下：勾股定理：直角三角形兩直 角邊的平方和等于斜邊的平方.反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三 邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三 角形”的結論.你能證明此結論嗎師生共同來完成.已知：如圖：在 ABC中，AB2+AC2=bC求證： ABC是

36、直角三角形.分析：要從邊的關系，推出/A= 90°是不容易的，如果能借助于 ABC與一個直角三角形全等，而得到/ A與對應角 （構造的三角形的直角）相等，可證.證明：作 RtAAz B' C',使/ A' = 90° , A' B' = AB, A A、AC（如圖），則A B' 2 + A' C 2.（勾股定理）.A.aB+aC=bC, a B，= AB, A C'b'，C，bC=b，c 2.BOB' C. .AB8B' C' （ SSS./A= /A' =90。（全等三

37、角形的對應角相等）.因此， ABC是直角三角形.總結得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊 的平方，那么這個三角形是直角三角形.（2）.互逆命題和互逆定理.觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系 在前面的學習中還有類似的命題嗎通過觀察，學生會發現：上面兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條 件是第二個定理的結論，結論是第二個定理的條件.這樣的情況，在前面也曾遇到過.例如“兩直線平行，內 錯角相等”，交換條件和結論，就得到“內錯角相等，兩直線 平行”.又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30° ,那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半”.交換此定理的條件和結論

38、就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的 一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°第三環節：議一議觀察下面三組命題：學生以分組討論形式進行， 最后在教 師的引導下得出命題與逆命題的區別與聯系。讓學生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區別與聯系，要能夠清晰地分別出一個命題的題設和結論，能夠將一個命題寫出“如果；那么”的形式，以及能夠寫出一個命題 的逆命題。活動中，教師應注意給予適度的引導， 學生若出現語言上不嚴謹時，要先讓這個疑問交給學生來剖析， 然后再總結。活 動時可以先讓學生觀察下面三組命題：如果兩個角是對頂角，那么它們相等.如果兩個角相等，那么它們是對頂角.如果小明患了肺炎

39、，那么他一定發燒.如果小明發燒，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的邊所對的角相等.三角形中相等的角所對的邊相等.上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎與同伴交流.不難發現，每組第二個命題的條件是第一個命題的結論， 第二個命題的結論是第一個命題的條件.在兩個命題中，如果一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題， 其中一個命 題稱為另一個命題的逆命題， 相對于逆命題來說，另一個就為 原命題.再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題， 如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題.請同學們判斷每組原命題的真假.逆命題呢在第一組中，原命題是真命題，

40、而逆命題是假命題.在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.在第三組中，原命題和逆命題都是真命題.由此我們可以發現：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題.第四環節：想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結論，然后把結論變換成條件， 條件變換成結論，就得到了逆命 題.請學生寫出命題“如果兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎它們都是真命題嗎從而引導學生思考：原命題是真命題嗎逆命題一定是真命 題嗎 并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那 么我們稱它們為互逆定理.其中逆命題成為原命題（即原定理）的逆定理.能舉例說出我們已學過的互逆定理如我

41、們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內 錯角相等”與“內錯角相等，兩直線平行”.“全等三角形對應邊相等”和“三邊對應相等的三角形全等”、“等邊對等 角”和“等角對等邊”等.第五環節：隨堂練習說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假；(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內旁內角互補；(3)如果 ab=0,那么 a=0, b =0分析互逆命題和互逆定理的概念， 學生接受起來應不會 有什么困難，尤其是對以“如果那么”形式給出的命 題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出 的命題，敘述其逆命題有一定困難.可先分析命題的條件和結 論，然后寫出逆命題.解：(1)多邊形是四邊形.

42、原命題是真命題，而逆命題是假命題.(2)同旁內角互補，兩直線平行.原命題與逆命題同為正.(3)如果a=0, 6 = 0,那么ab = 0.原命題是假命題，而逆命題是真命題.第六環節：課時小結這節課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結合數學和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步發展了演繹推理能力.第七環節：課后作業習題1. 5第1、2、3、4題【板書設計】直角三角形（一）已知：如圖，在 ABC中，/ C= 90° , BO a, AO b, AB= c.求證：a2+b2 = c2.證明：延長 CB至D,使B

43、況b,作/ EBD= /A,并取BE= c,連接ED AE（如 圖），貝ABe BED)，/BDE= 90° , ED= a（全等三角形的對應角相等，對應邊相等四邊形ACD自直角梯形.1一 S 梯形 acde= 2 (a+b)(a+b)12 (a+b)，/AB&180° (/ABO /EBD)=180°AB= BE. 90° =90° ,S 梯形 ACDB Saabe+Saabc+Sabed,211即2 a2 + ab +,212.b =2 c + ab,c + 2 ab + 萬 ab, a2+b2 = c2【教學反思】第二課時【教學目

44、標】1 .知識與技能能夠證明直角三角形全等的“ HL'的判定定理，進一步理解證明的必要2 .過程與方法進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維。3 .情感態度與價值觀進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理能力。【教學重點】能夠證明直角三角形全等的“ HL'的判定定理。【教學難點】進一步理解證明的必要性。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環節：復習問1 .判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種2 .已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。 想一想，怎 么畫同學們相互交流。3、有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎如果其中一個角是直角呢請

45、證明你的結論。我們曾從折紙的過程中得到啟示， 作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線， 運用公理，證明三角形全等，從而 得出“等邊對等角“。那么我們能否通過作等腰三角形底邊的 高來證明“等邊對等角”.要求學生完成，一位學生的過程如下：已知：在 ABC中，AB=AC求證：/ B=/ C.證明：過A作AD，BC,垂足為C,ADBg ADC=90又AB=AC AD=AD.AB* AACD. / B=/ C （全等三角形的對應角相等）在實際的教學過程中，有學生對上述證明方法產生了質疑。質疑點在于“在證明 AB乎AACDBt,用了 “兩邊及其 中一邊的對角對相等的兩個三角形全等”.而我們在前面學習

46、全等的時候知道，兩個三角形，如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的.可以畫圖說明.（如圖所示在 ABD和4ABC中,AB=AB / B=/ B, AC=AD 4lAABDA ABC不全等）”.也有學生認同上述的證明。教師順水推舟，詢問能否證明：“在兩個直角三角形中， 直角所對的邊即斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角 形全等.從而引入新課。第二環節：引入新課（1）. “HL'定理.由師生共析完成已知：在 RtABCffi RtAAz B' C'中，/ C=/ C =90° ,AB=A B' , BC=B C'.求證：Rt A

47、BC© Rt ,AAA B，C/證明：在 RtABC中，AC=AB/一 BC（勾股定理）.b c B' C'又在 RtA A' B' C'中,A' C' =A'C'=A'B' 2一 B'C'2 （勾 股定理）.AB=A'B' , BC=B'C', AC=A'C'.，RtAABCC RtAA'B'C' (SSS)教師用多媒體演示：定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊

48、"或" HL'表示.從而肯定了第一位同學通過作 底邊的高證明兩個三角形全等，從 而得到“等邊對等角”的證法是正 確的.練習：判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等；(3)兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；(4) 一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等.對于(1)、(2)、(3) 一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在了問題(4),學生感覺是真命題，一時有無法直接 利用已知的定理支持，教師引導學生證明.已知：RA AB陰0 RtAA'B '

49、 C', / C=/ C'=90° , BC=B'C', BD B'D'分別是AC A'C'邊上的中線且 BD-B'D'（如圖）.求證：RtAABC RtAA'B'C'.證明：在 RtABDCC0 RtAB'D'C'.BD=B'D',BC=B'C',.RtABDCCRtAB 'D 'C ' （HL 定理）.CD=C'D'.又 V AC=2CD A 'C '=2C 'D ',AC=A'C'.二在 RtAABCH RtAA 'B 'C '中，V BC=B'C ' , / C=/ C '