1、河南省開圭寸市高考數學一模試卷（文科）一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （5 分）設集合 A=1, 3, 5, 7 , B=x|2x0，b0)a bToB- i為等軸雙曲線，且焦點到漸近線x2- y2=210. （5 分）函數 y=xln|x|的圖象大致是（）萬世不竭”其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠都截不完現將該木棍依此規律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計算截取 7 天后所剩木棍的長度（單位：尺），則處可分別填入的是（）C.17,9. （5分）1 1-.i M D. I；. - , i 1-

2、12 2如圖，在一個正方體內放入兩個半徑不相等的球Oi、02，這外切，且球 0i與正方體共頂點A 的三個面相切，球 02與正方體共頂點 Bi的三個面相切，則兩球在正方體的面AAiCiC 上的正投影是（）B.二叮-： 11. （5 分）拋物線M: y2=4x 的準線與 x 軸交于點 A,點 F 為焦點，若拋物線M上一點 P 滿足 PA 丄 PF,則以 F 為圓心且過點 P 的圓被 y 軸所截得的弦長約為（參 考數據：匸2.24）（）A.仁1B.C.D.R12.（5 分）已知函數1.：， 若函數 F（x） =f （x）63-3 的所有零點依次記為xi,X2, x3,，Xn，且 xiV沁Vx3 VV

3、冷，則Xl+2X2+2x3+2xnT+xn=（）A.B.445nC. 455nD.-33、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.14. （5 分）已知函數 f （x） =ax3+bx+1 的圖象在點（1, f （1）處的切線方程為4x- y- 1=0,貝 U a+b=_.f5x+3y1515. （5 分）設 x, y 滿足約束條件* rCx+l ，且 x, y Z,則 z=3x+5y 的最大x-5y3值為_ .16. （5 分）一個棱長為 5 的正四面體（棱長都相等的三棱錐）紙盒內放一個小正四面體，若小正四面體在紙盒內可以任意轉動， 則小正四面體的棱長的最大值 為2/3 x

4、 b 0),稱圓心在原點 O,半徑為 -的圓是橢圓 C 的準圓”已知橢圓 C 的離心率一二，其準圓”的方程為 x2+y2=4.3(I) 求橢圓 C 的方程；(II)點 P 是橢圓 C 的準圓”上的動點，過點 P 作橢圓的切線 h , 12交準圓”于點M，N.(1) 當點 P 為準圓”與 y 軸正半軸的交點時，求直線 h, 12的方程，并證明 li丄12；(2) 求證：線段 MN 的長為定值.21.(12 分)已知函數 f (x) = (t - 1) xe?，g (x) =tx+1 - ex.(I)當 t豐1 時，討論 f (x)的單調性；(n)f (x) g (x)在0，+x)上恒成立，求 t

5、 的取值范圍.選修 4-4 :極坐標與參數方程22.(10 分)已知直線 l: 3x- =y-6=0,在以坐標原點 O 為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 C:p-4sin0=0(I)將直線 l 寫成參數方程 P=2+tC0SQ(t 為參數，a0, n),)的形式，(y=tsind并求曲線 C 的直角坐標方程；(n)過曲線 C 上任意一點 P 作傾斜角為 30勺直線，交 l 于點 A,求| AP|的最值.選修 4-5:不等式選講23.已知關于 x 的不等式| x+11+| 2x- 1| 3 的解集為x|mwx n.(I) 求實數 m、n 的值；(II)設 a、b、c 均為正數，且 a

6、+b+c=n-m,求丄+ +丄的最小值.a b c2018 年河南省開封市高考數學一模試卷(文科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的.1. (5 分)設集合 A=1, 3, 5, 7 , B=x|2x 5，貝UAHB 的真子集個數為 ( )A. 2 個 B. 3 個 C. 4 個 D. 8 個【解答】解：集合 A=1, 3, 5, 7，B=x|2x450, x8,二 x=9,.乙的平均成績超過甲的平均成績的概率為 p=故選：A.227.（5 分）已知曲線 耳-耳=1 （a0, b0）為等軸雙曲線

7、，且焦點到漸近線/ b2的距離為，則該雙曲線的方程為（）A.廠B. X2 y2=1 C -D. X2 y2=22 2【解答】解：根據題意，若曲線=1（a0, b0）為等軸雙曲線，則 a2=b2,a2b2c=.：、=*：,即焦點的坐標為（土叮:a, 0）;其漸近線方程為 x y=0,若焦點到漸近線的距離為爲則有 =a= :,V1+1則雙曲線的標準方程為斗-=1,即 x2 y2=2；故選：D.8.（5分） 我國古代名著 莊子？天下篇中有一句名言 一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠都截不完.現將該木 棍依此規律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計算截取 7 天后

8、所剩木棍的長 度（單位：尺），則處可分別填入的是（）A.JiB. 一_ 11 1C. 1.一 . i M D. 1 . . - , i M2 2【解答】解：由題意可得：由圖可知第一次剩下 丄，第二次剩下一，由此得出2 22第 7 次剩下，可得為 i 0 得：x丄，得出函數 f (x)在(丄，+x)上是ee增函數，故選：C.11.(5 分)拋物線M: y2=4x 的準線與 x 軸交于點 A,點 F 為焦點，若拋物線M上一點P 滿足 PA 丄 PF,則以 F 為圓心且過點 P 的圓被 y 軸所截得的弦長約為(參 考數據：匚2.24)()A.丄！ B.亍 C.D.【解答】解：由題意，A (- 1，0

9、)，F (1, 0)，點 P 在以 AF 為直徑的圓 x2+y2=1 上.C10. (5 分)函數 y=xln|x|的圖象大致是()設點 P 的橫坐標為 m，聯立圓與拋物線的方程得X2+4X-仁 0,Im0,二 m= - 2+；伍,點 P 的橫坐標為-2+ 7,| PF =m+1 = - 1+伍,圓 F 的方程為(x- 1)2+y2= ( :- 1)2,令 x=0,可得 y= !撫 | EF =25-卻宅=2*5 竝X 24=伍!,12. (5 分)已知函數：，若函數 F (x) =f (x)63-3 的所有零點依次記為xi, X2, x3,，Xn，且 xiV沁 x3VVxn，則xi+2x2+

10、2x3+- +2xn-l+xn=()A.下B.445nC. 455nD. 33【解答】解：函數.,6令 2x-=+kn得X=T+, k乙即 f(x)的對稱軸方程為 x=飛丿+丄,622323k Z.If (x)的最小正周期為 T=n,0 x,;J當 k=30 時,可得 x=, f (x)在0, 二 L上有 30 條對稱軸,3根據正弦函數的性質可知：函數：與 y=3 的交點 xi, X2關于一63對稱，X2, X3關于對稱，6即 Xi+X2=X2,X2+X3X2,，XnT+Xn=2X()6623將以上各式相加得：xi+2X2+2x3+2x28+X29=2( *+-+)=(2+5+8+-+89)6

11、 6 6X 二=455n3貝 UXi+2X2+2X3+ +2Xn-1+Xn= ( X1+X2) +( X2+X3)+X3+ +Xn-l+ (Xn-l+Xn)=2(今誓+“+警=455n,故選：C二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.2尹=s2.【解答】解：由題意，自變量為 2,故內層函數 f (2) =log (22- 1) =12,故有 f (1) =2Xe1-1=2,即 f(f(2)=f(1)=2Xe1-1=2,故答案為 214. (5 分)已知函數 f (x) =ax3+bx+1 的圖象在點(1, f (1)處的切線方程為4x- y-仁 0,則 a+b= 2.【解

12、答】解：函數 f (x) =ax3+bx+1 的導數為 f(x) =3ax+b,f (x)的圖象在點(1, f (1)處的切線方程為 4x- y-仁 0,可得 3a+b=4, f (1) =3=a+b+1,解得 a=1, b=1,則 a+b=2.故答案為：2.f5x+3y1515.（5 分）設 x, y 滿足約束條件応北+1，且 x, y Z,則 z=3x+5y 的最大Lx-5y3值為 13.r5x+3y 4：I18. (12 分)如圖 1,在矩形 ABCD 中，AD=2AB=4 E 是 AD 的中點.將 ABE 沿BE 折起使 A 到點 P 的位置，平面 PEB 丄平面 BCDE 如圖 2.

13、(I)求證：PB 丄平面 PEC(n)求三棱錐 D-PEC 的高.D團丄【解答】解：（I）證明 AD=2AB E 為線段 AD 的中點， AB=AE取 BE 中點 0,連接 P0,則 P0 丄 BE,又平面 PEBL 平面 BCDE 平面 PEBA 平面 BCDE=B E P0 丄平面 BCDE 貝 U P0 丄 EC,在矩形 ABCD 中 ,二 AD=2AB E 為 AD 的中點, BE! EC,貝 U EC平面 PBE EC! PB,又 PB 丄 PE,且 PEAEC=E PB 丄平面 PEC（U）以 0B 所在直線為 x 軸,以平行于 EC 所在直線為 y 軸,以 0P 所在直線為 z

14、軸建立空間直角坐標系， PB=PE=2 則 B （匚,0 , 0）, E （-匚,0 , 0）, P （0 , 0,匚），D （- 2 匚,-,0）, C （- - , 2 - , 0）,二 T =（-匚,0,-匚），-：-（-二,2 匚,-二）， VP-ECD=VD-EPC,設三棱錐 D- PEC 的高為 h,則可得：15ECD?0P=&EPC?h ,可V0&EP(- | 1|?|：| ?sin/ EPC得：J2-h,解得：三棱錐 D- PEC 的高h=1.19. (12 分)近年來我國電子商務行業迎來蓬勃發展的新機遇，2017 年雙 11 期間，某購物平臺的銷售業績高達 1271 億人民幣

15、與此同時，相關管理部門推出 了針對電商的商品和服務的評價體系， 現從評價系統中選出 200 次成功交易，并 對其評價進行統計，對商品的好評率為 0.6,對服務的好評率為 0.75,其中對商 品和服務都做出好評的交易為 80 次.(I)完成下面的 2X2 列聯表，并回答是否有 99%的把握，認為商品好評與服務好評有關?對服務好評對服務不滿意合計對商品好評對商品不滿意合計200(n)若針對商品的好評率，采用分層抽樣的方式從這 200 次交易中取出 5 次交 易，并從中選擇兩次交易進行客戶回訪，求至少有一次好評的概率.汽.m：，其中n=a+b+c+d)【解答】解：(I)根據題意，對商品好評次數為 2

16、00X0.6=120，對服務好評次數為 200X0.75=150,填寫 2X2 列聯表如下;對服務好評對服務不滿意合計對商品好評8040120對商品不滿意701080合計15050200計算11.116.635,有 99%的把握認為商品好評與服務好評有關；(n)根據分層抽樣原理，從這 200 次交易中取出 5 次交易,抽取商品好評次數為 120=3,不滿意次數為 2,P (Q k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(adHoc)2附:200分別記為 a、b、c、D、E,從中選擇兩次交易，基

17、本事件為ab、ac、aD、aE、be、bD、bE、cD、cE、DE 共 10 種，至少有一次好評的事件為ab、ac、aD、aE、be、bD、bE、cD、cE 共 9 種，故所求的概率為 P=20.(12 分)給定橢圓 C:+.=1( a b 0),稱圓心在原點 O,半徑為 的圓是橢圓 C的 準圓”已知橢圓 C 的離心率 ,其準圓”的方程為 x2+y2=4.(I) 求橢圓 C 的方程；(II)點 P 是橢圓 C 的準圓”上的動點，過點 P 作橢圓的切線 h , 12交準圓”于點M, N.(1) 當點 P 為準圓”與 y 軸正半軸的交點時，求直線 h, 12的方程，并證明 11丄12；(2) 求證

18、：線段 MN 的長為定值.【解答】解：(I)由準圓方程為/+y2=4 ,貝Ua2+b2=4 ,橢圓的離心率解得：a= :, b=1,2厲橢圓的標準方程(U)證明：(1)V準圓X2+/=4與 y 軸正半軸的交點為 P(0,2),設過點 P (0, 2)且與橢圓相切的直線為 y=kx+2,fy=kx+2聯立 *F 2，整理得(1+3”)x2+12kx+9=0.直線 y=kx+2 與橢圓相切，二 =144k2- 4X9 (1 +3k2) =0,解得 k= 1, I1, I2方程為 y=x+2, y=-X+2.I 1=1, =- 1, .?=- 1,則 h 丄 l2 丄12(2)當直線 li, I2中

19、有一條斜率不存在時，不妨設直線 li斜率不存在, 貝Uli: x= 二，當 li： x=二時，li與準圓交于點(匚，1) (T，- 1), 此時 l2為 y=1 (或 y=- 1)，顯然直線 l1，l2垂直； 同理可證當h：x=二時，直線 h，12垂直.當 l1, l2斜率存在時，設點 P (xo, y),其中 x2+yo2=4.設經過點 P (xo, yo)與橢圓相切的直線為 y=t (x- xo) +yo,ry=t(x-x0)+y0(1+3t2) x2+6t (yo- txo) x+3 (yo- txo)2- 3=0.由厶=O 化簡整理得(3 x。2) t2+2xyot+1 - y2=O,

20、Txo2+yo2=4.,二有(3 - xo2) t2+2xoyot+ (xo2-3) =o.設 l1, l2的斜率分別為 t1, t2,“，l2與橢圓相切，二 t1, t2滿足上述方程(3- X。2) t2+2xoyot + (xo2- 3) =o,二 t1?t2=- 1 ,即 l1, l2垂直.綜合知： l1, l2經過點 P (xo, yo),又分別交其準圓于點M, N,且 l1, l2垂直.線段 MN 為準圓 x2+y2=4 的直徑，| MN| =4,線段 MN 的長為定值.21.(12 分)已知函數 f (x) = (t - 1)xex, g(x) =tx+1 - ex.(1)當 t豐

21、 1時，討論 f(x)的單調性；(n)f (x) 1,則 xv-1 時，f (x)v0, f (x)遞減，x- 1 時，f (x) 0, f (x) 遞增，若 tv1,貝Uxv- 1 時，f (x) 0, f (x)遞增，x- 1 時，f (x)v0, f (x) 遞減，故 t1 時，f(x)在(-x,-1)遞減，在(-1,+x)遞增，tv1 時，f(乂)在(-x,-1)遞增，在(-1,+X)遞減；(2)f (x) g (x)在0, +x)上恒成立，即(t - 1) xeT- tx - 1+ex0, h (x)在0, +x)遞增， h (x) h (0) =0,故 h (x)在0, +x)遞增，故 h (x) h (0) =0,顯然不成立， t 工 1,則 h (x) =ex(x+) (t- 1),t-1令 h (x) =0,則 x=-：,1當-：W0 即 t v -或 t 1 時，t-12若 t-,則 h (x)在0, +x)為負，h (x)遞減，故有 h (x) h (0) =0, h (x)在0, +x)遞減， h (x) 1,則 h (x)在0, +x)上為正，h (x)遞增，故有 h (x) h (0) =0,故 h (x)在0, +x)遞增，故 h (x) h (0) =0,不成立，2- 0 即