1、(二) 線面積分的計算方法1曲線積分的計算 基本方法：曲線積分定積分第一類線積分：設(shè)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為，,（要解決1、積分限，2、被積函數(shù)，3、弧微分）其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則【例1】 求，其中L是由所表示的曲線上相應(yīng)于的一段弧.解 （法一）,故 原式=. （法二）容易看出積分弧段關(guān)于軸對稱，而被積函數(shù)是關(guān)于變量的奇函數(shù)，故OAB【例2】 求，其中L是以為頂點的三角形(圖10.1)邊界.解 【例3】求,式中L為圓周解 L的極坐標(biāo)方程為 則【例4】求，其中L是曲線解 ，于是第二類線積分：設(shè)在有向曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為，當(dāng)單調(diào)地時，（要解決1、積分限，

2、2、被積函數(shù)，3、弧微分）點從L的起點沿運動到終點，在以及為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則【例1】 求，其中是曲線上從點到點的一段弧.解 由得，故原式=B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy【例2】求，其中如圖10.2所示圖10.2解（法一）原式=解（法二） 因為 ,又 ,故 原式=【例3】 求，其中C為曲線，解 當(dāng)時，則；當(dāng)時，則； 基本技巧 利用對稱性簡化計算；【例1】 求，其中為圓周.解 由對稱性得，故【例2】求,其中解 利用對稱性 利用格林公式(注意：添加輔助線的技巧)；【定理10.1】 格林（Green）公式 設(shè)函數(shù)和在分段光滑的閉曲線所圍成的閉區(qū)域上具有一階

3、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 其中是的正向邊界.【例1】計算,其中是,順時針方向l 計算對于坐標(biāo)的曲線積分第二種解法: 利用格林公式求解，計算前必須使用代入技巧,消去分母,否則工作量太大.因為是反向的,所以使用格林公式是需要補加一個負號.解 將代入被積分式中，=根據(jù)格林公式，原式。【例2】計算,其中是的上半圓周,順時針方向.l 不易直接計算,應(yīng)該檢驗.補充由2至0, 原式=.然后利用格林公式.解 設(shè) .補:由2至0,與所圍成的區(qū)域記為.原式= 利用積分與路徑無關(guān)的等價條件【定理10.3】（積分與路徑無關(guān)的條件）設(shè)函數(shù)和在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列四個條件相互等價，即互為充要條件：(1)在內(nèi)與路

4、徑無關(guān)；(2)在內(nèi)存在一個函數(shù)，使 ,其中 為內(nèi)任一取定的點.（3），其中L為內(nèi)任一分段光滑的閉曲線（4）在內(nèi)等式恒成立【例1】求,其中L為從點到點的一段弧解 ,故積分與路徑無關(guān),選取折線路徑 原式=【例2】適當(dāng)選取,使是某個函數(shù)的全微分,并求出解 因為令 ,比較系數(shù)得 【例3】試確定可導(dǎo)函數(shù),使積分與路徑無關(guān),且求為時的積分值.此處解 令 ,則有 ,解一階線性非齊次微分方程得,代入 得,即 .當(dāng)為時,積分為 【例4】 計算，其中為任意一條不通過原點的簡單光滑正向的封閉曲線.解 設(shè)則，除去原點以外一切點上式都成立.當(dāng)曲線的內(nèi)部不含原點時.當(dāng)曲線的內(nèi)部含原點時,可在的內(nèi)部做一個充分小的橢圓，從到

5、.利用復(fù)連通域上的格林公式，有 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式【定理10.2】（兩類曲線積分之間的關(guān)系） 其中，和表示曲線的切向量的方向角.2.曲面積分的計算 基本方法：曲面積分二重積分第一類面積分：當(dāng)曲面由方程給出，(為在面上的投影區(qū)域)要解決1、曲面方程如及投影區(qū)域，2、被積函數(shù)，3、面積微分）注：如果積分曲面由方程或給出，也可類似地把對面積的曲面積分化為相應(yīng)的二重積分.【例1】 求，其中為錐面介于及之間的部分.解 曲面在坐標(biāo)平面上的投影為.,，故【例2】求，為曲面被平面割下的部分解 設(shè)表示在第一卦限內(nèi)部分，則第二類面積分：，(其中由方程給出前側(cè)取正，后側(cè)取負), (其中由方程給出右側(cè)取正，左

6、側(cè)取負)，(其中由方程給出上側(cè)取正，下側(cè)取負)【例1】求，為錐面及平面和所圍成的立體表面的外側(cè)解 設(shè) ，其中 ，在面上的投影分別為【例2】設(shè)是橢球面的外側(cè),求. 解 設(shè)是的上半橢球面的上側(cè)和下半橢球面的下側(cè)，在面的投影為，則同理得，所以 基本技巧 利用對稱性及重心公式簡化計算；【例1】求,為球面的外側(cè).解 記 ，利用Gauss公式，有原式=，由重心坐標(biāo)得原式= 利用高斯公式(注意公式使用條件，添加輔助面的技巧)；【定理105】高斯(Gauss)公式 設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有或這里是的整個邊界曲面的外側(cè)，是在點處的法向量的方向余弦【例1】 求，其中是球面內(nèi)側(cè).解 【例2】 求，其中是球面外側(cè).解 由已知得 ，則由Gauss公式得原式=【例3】 求，其中是曲面的下側(cè).解 補充 ，取上側(cè) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化.【定理104】兩類