1、第3章 n維向量和線性方程組向量是線性代數的重點內容之一，也是難點，對邏輯推理有較高的要求。本章從研究向量的線性關系（線性組合、線性相關與線性無關）出發，然后討論向量組含最多的線性無關向量的個數，即引出向量組的秩和最大無關組，最后，應用向量空間的理論研究線性方程組的解的結構。無論是證明、判斷、還是計算，關鍵在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互關系，并會靈活應用。31 n維向量及其運算定義（n維向量）由數域F中的n個數組成的有序數組（）或稱為數域F上的一個n維向量，前者稱為行向量，后者稱為列向量，其中稱為向量的分量（或坐標）。分量是實（復）數的向量稱為實（復）向量。如果沒有特殊的聲明，以下所

2、討論指數域F上的向量。行向量可以看成行矩陣，列向量看成列矩陣，向量的運算規定按矩陣的運算法則進行。以下討論的向量，再沒有指明是行向量還是列向量時，都當作列向量。設有向量 （），則向量相等的定義為=（i=1,2,n）向量的加法定義為=數乘向量的定義為（）向量的加法以及數乘運算統稱為向量的線性運算，它滿足下列8條運算規律（其中為n維向量，k,l為常數）：（1）+=+；（2）（+）+=+（+）；（3）存在零向量0=（），使得+0=；（4）存在的負向量=(),使得+（）=0；（5）1=；（6）k(l)=(kl) ；（7）k(+)=k+k；（8）（k+l）=k+l;如果記矩陣的第j列向量為：，（j=1,

3、2,n）則由向量的線性運算，可將方程組Ax=b寫成下列形式：而齊次線性方程組Ax=0則可寫成向量形式：32 向量組的線性相關性定義（線性組合）設一組n 維向量， 是 一組常數，則稱向量為向量的一個線性組合，并稱為該線性組合的系數。定義（線性表示）對于n維向量，如果存在一組常數。使得=或Ax=有解，其中矩陣A=。則稱向量可由向量組線性表示。定理 向量可由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣A=的秩等于矩陣=，的秩。由于非齊次線性方程組解的情況只有3 種：無解，有唯一解，有無窮解。所以，線性表示問題對應的只有3 種情況：不能表示，唯一表示，無窮多種表示法。例如，對于向量組則不能由，線性表示。又如，對

4、于向量組，則可由，唯一的線性表示為：=+。再如，對于向量組，則有=（1+c）+（1-c）+c （c為任意常數）可見，可由，線性表示，但表示法是無窮的。定義（線性相關與線性無關）設一組n維向量，如果存在一組不全為零的常數，使得=0則稱向量組線性相關。否則，稱向量組線性無關。也就是說，僅在時才成立，則稱線性無關。由定義知，向量組線性相關，也就是齊次線性方程組或Ax=0有非零解，其中矩陣A=。定理 向量組線性相關的充分必要條件是矩陣A=的秩小于m；線性無關的充分必要條件是矩陣A=的秩等于m.以下是有關向量組線性相關、線性無關的其他一些常用性質及判別法。定理 向量組（m>1）線性相關的充分必要條

5、件是該組中至少有一個向量可由其他m-1個向量線性表出。換言之，向量組線性無關的充分必要條件是該組中任何一向量都不能由其他m-1個，向量線性表示。定理 設向量組線性無關，而向量組線性相關，則可由線性表出，且表示法唯一。定理 如果向量組U的一個部分組線性相關，則向量組U線性相關（特別的，含有零向量的向量組線性無關）。換言之，線性無關組的任何一個部分組必線性無關。定理 設有r維向量組，給分別添加一個分量，得r+1維向量組，如果線性無關，則任意添加分量后所得的向量組也線性無關，換言之，若向量組線性相關，則也線性相關。定義（等價向量租）設有向量組（I）和（II），如果（I）中每一個向量都可由（II）線性

6、表示，則稱（I）可由（II）線性表示；如果（I）和（II）可以互相線性表示，則稱（I）和（II）等價。總上，有下表：線性相關線性無關存在不全為零，使得=0僅當時才有=0向量組的部分向量組線性相關，則整個向量組也線性相關線性無關向量組的一部分向量組也線性無關m=1時，=0m=1時，m=2時， 與對應分量成比例m=2時， 與對應分量不成比例R(A)<m當m=n，|A|=0R(A)=m當m=n，|A| 0m>n時，必線性相關線性相關向量組減少對應位置的分量得到的向量組仍線性相關線性無關向量組在對應位置上增加分量得到的向量組仍線性無關定理 設向量組（I）：可由向量組（II）：線性表示，（1

7、） 若r>s,則（I）線性相關。（2） 若（I）線性無關，則rs.推論1 等價的線性無關向量組所含有的向量的個數相同。推論2 若m>n，則個維向量必線性無關。特別的，個n維向量線性相關。33 向量組的極大無關組與向量組的秩定義（向量組的極大無關組與向量組的秩）設向量組U中的向量滿足：（1）線性無關（2）對于U中的任意向量可由線性表示。則稱為向量組U的一個極大無關組（或最大無關組）；極大無關組所含向量的個數r成為向量組的秩。只含零向量的向量組沒有極大無關組，規定它的秩為零。向量組的秩記作r（）。定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。定理 設向量組（I）可由向量組

8、（II）線性表示，則（I）的秩不大于（II）的秩。推論1等價的向量組的秩相等。推論2 設，即：乘積矩陣的秩不大于每個因子矩陣的秩。關于滿秩方陣的等價條件的小結 ：設A為n 階方陣，則下列條件相互等價：（1） |A| 0；（2） A可逆；（3） r(A)=n;（4） 齊次線性方程組Ax=0只有零解；（5） 對任何n維列向量b ，線性方程組Ax=b有唯一解（6） A的行（列）等價于同階單位矩陣E.（7） A可以寫成若干個初等矩陣的乘積；（8） A的行（列）向量組線性無關。由以上條件中的（1）與（8）等價，提供了判定n 個n 維向量線性相關的常用方法：以這n 個n維向量組成的n 階方陣A（A的行（或

9、列）向量組為給定向量組）若|A| =0，則該向量組線性相關；若|A| 0，則該向量組線性無關。求向量組的秩一般方法是：一給定的向量組組成的矩陣A（A的列（行）向量組為給定的向量組），用初等變換將A 化成階梯形矩陣B，則B中非零行的個數就是給定的向量組的秩。求向量組的極大無關組的一般方法是：以為列向量組構成的矩陣A,即令A=（如果均為行向量，則令A=），并用初等變換將A 化成階梯形矩陣，設階梯形矩陣的首非零元所在列的序號為，則為向量組的一個極大無關組 。34 線性方程組解的結構齊次線性方程組解的性質：性質1 若是方程組Ax=0的解，則也是方程組Ax=0的解。性質2 若為方程組Ax=0的解，k 為

10、常數，則也是方程組的解。由齊次線性方程組的解的性質知道，Ax=0的解集合S對向量的線性運算封閉，因此S構成線性空間，稱S為方程組Ax=0的解空間。定理 n 元齊次線性方程組Ax=0的全體解向量所構成的集合S是一個向量空間，當系數矩陣的秩r(A)=r時，解空間S的維數為n-r.方程組Ax=0的解空間的基又稱為Ax=0的基礎解系。由上述定理知，當r(A)=r<n時，n元齊次線性方程組Ax=0存在基礎解系，且基礎解系所含有向量的個數為n-r。設向量組為方程組Ax=0的基礎解系，則Ax=0的通解（或一般解）為：x=（為任意常數，i=1,2,n-r）亦稱上式為方程組Ax=0的結構式通解。求解齊次方

11、程組的基礎解系的一般步驟如下：第1步：用初等變換將A化成階梯形矩陣，并求出r(A).若r(A)=n，則Ax=0沒有基礎解系；若r（A）=r<n，則繼續進行下面的步驟；第2步：將A用行變換化為規范的階梯形矩陣B.第3步：以B為系數陣的同解方程組Bx=0并移項添項得到通解及基礎解系。非齊次線性方程組的性質如下：性質1 設都是非齊次方程組Ax=b的解，則為對應的齊次方程組Ax=0的解。性質2 設是Ax=b的解，為方程組Ax=0的解，則是Ax=b的解。定理（非齊次線性方程組的解的結構定理）設為非齊次方程組Ax=b的一個特解，則Ax=b的任意解可以表示為：其中為方程組Ax=0的解。由上述定理可知道

12、，如果為方程組Ax=0的基礎解系，為為非齊次方程組Ax=b的一個特解，則方程組Ax=b的通解為：x=（為任意常數，i=1,2,n-r）求解n 元齊次方程組Ax=b的一般步驟如下：第1步：用初等變換將增廣矩陣階梯形矩陣，并求出r(A)及r().若r(A)<r()，則無解；若r(A)=r()=n,則有唯一解，這時可從階梯形方程組的最后一個方程開始由上往下回代求出這個解，也可通過將增廣矩陣進行一步化成最簡形矩陣而求出這個解，若r(A)=r()=r<n，則方程組有無窮多個解，繼續進行下面的步驟；第2步：求出導出組Ax=0的基礎解系；第3 步：求出Ax=b的一個特解；第4步：寫出通解：。35

13、 重點與難點本章的重點是向量組的線性相關性、線性方程組的解的理論與求解方法，難點是向量組的線性相關性。1 向量組的線性相關性向量組的線性相關與線性無關是兩個基本概念，有一定的抽象性，理論多，方法多，定義多，因而他們既是本章的重點，也是難點，讀者需注意以下幾點:（1） 徹底弄清楚向量線性相關和無關的定義向量組線性相關，是指存在存在一組不全為零的常數，使得=0這里“不全為零”不同于“全不為零”。向量組（m>1）線性相關該組中至少有一個向量可由其他m-1個向量線性表出。注意：“存在一個”不同于“其中每一個”。向量組線性無關，是指若有一組常數，使得=0，則有。換句話說，所謂向量組線性無關，是指對

14、于任意一組不全為零的常數，都有。向量組（m>1）線性無關該組中任意一個向量都不能由其余m-1個向量線性表示，注意這里的“任意一個”不同于“存在一個”。（2） 正確理解有關線性相關、線性無關的性質，正確區分充分條件、必要條件及充要條件。命題“部分組線性相關，則整體組線性相關”與命題“整體線性無關，則任何部分無關”二者是等價的。命題“給線性無關向量組中每個向量在相同位置上任意添加分量，則所得向量仍線性無關”與命題“給線性相關向量組中每個向量去掉相同位置上的分量去掉相同位置上的分量，則所得的向量組仍線性相關”互為逆命題，二者是等價的。（3） 弄清向量組的線性相關性與齊次線性方程組及矩陣的秩的關

15、系。 向量組線性相關齊次線性方程組有非零解矩陣A=的秩小于m.向量組線性無關齊次線性方程組只有零解矩陣A=的秩等于m.。（4） 掌握判別向量組的線性相關性的常用方法如果向量的分量都已經給出，一般可由矩陣A=的秩來判別向量組的線性相關性。特別的，對于m個m維向量，則可由矩陣A=的行列式是否為零，來判別的線性相關性，即當|A|=0時，線性相關；而當|A|0時，線性無關。如果向量的分量沒有具體給出，則常用以下方法判別其線性相關性：（1） 利用定義。即從=0出發，根據已知條件或化為齊次線性方程組，或通過對該式作變換等方法，要么推出存在不全為零的使得該式子成立。此時向量組線性相關；要么推出此式僅在時才成

16、立，此時向量組線性無關。（2） 利用有關結論。例如：單個向量線性相關，就是=0，一個向量線性無關，就是0；兩個向量與線性相（無）關，當且近當與的對應分量成正比（不成比例）。多于n個的n維向量必線性相關。部分組線性相關，則整體組線性相關；整體無關，部分無關。可由線性表示，且r>s，則線性相關。（3） 利用向量組的秩。即當r（）<m時，向量組線性相關；當r（）=m時，向量組線性無關。（4） 利用矩陣的秩。例如，若向量組線性無關，且有矩陣A，使得=A則向量組線性無關矩陣A的秩等于s.2 線性方程組的解的理論與求解方法線性代數主要研究對象是有限維線性問題，而線性方程組是最簡單的線性問題，所

17、以，研究線性方程組的解的理論即求解方法是線性代數的基本任務之一，應給與足夠的重視。3 齊次線性方程組設A為矩陣，n 元齊次線性方程組Ax=0的解的情況只有以下兩種：A的列向量組線性相關r(A)<n有非零解Ax=0A的列向量組線性無關r(A)=n只有零解當r（A）<n時，Ax=0有非零解，由齊次線性方程組的解的性質（解的線性組合仍是解），知此時Ax=0有無窮多組解。而方程組Ax=0的基礎解系可用來表示這無窮多組解。關于基礎解系，必須注意以下幾點：（1） 何謂方程組的基礎解系？（2） 何時存在基礎解系？（當r(A)<n時）（3） 存在基礎解系時，基礎解系含有多少個解向量？（n-r

18、(A)個）（4） 基礎解系有什么性質？（基礎解系不是唯一的，但所含向量的個數是維一的；方程組Ax=0的任何n-r(A)個線性無關得解向量的組成的相量組都是Ax=0的）基礎解系；與Ax=0的基礎解系等價的線性無關向量組也是該方程組的基礎解系）（5） 如何求基礎解系及方程組的結構式通解？4 非齊次線性方程組設A為矩陣，b為m 維非零列向量，n元非齊次線性方程組Ax=b的解的情況只有以下3種（其中為Ax=b的增廣矩陣）：無解b不能由A的列向量組線性表出r(A)<r()有唯一解Ax=0b由A的列向量組唯一線性表出r(A)=r()=nb由A的列向量組線性表出，不唯一r(A)=r()<n有無窮多解當r(A)=