1、級數(shù)求和的常用方法 摘 要級數(shù)理論及應(yīng)用無論對數(shù)學(xué)學(xué)科本身還是在其他科學(xué)技術(shù)及理論的發(fā)展中都有極為重要的影響和作用，而級數(shù)求和是級數(shù)理論及應(yīng)用的主要內(nèi)容之一.由于級數(shù)求和的方法比較多，技巧性很強，一般很難掌握其規(guī)律，是學(xué)習(xí)的一個難點，因此掌握一些常用的級數(shù)求和方法就顯得尤為重要.通過例題，分別針對常用的數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)求和進行分析和討論，試圖通過對例題的分析和解決，展示級數(shù)求和的常用方法和思想，進而探索級數(shù)求和的規(guī)律，理解級數(shù)理論即合理應(yīng)用，打下良好的基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)者起到拋磚引玉的方法. 關(guān)鍵詞：數(shù)項級數(shù)；函數(shù)項級數(shù)；求和；常用方法Summation of series method in

2、common useAbstractProgression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method o

3、f summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss

4、that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , unders

5、tand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions.Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use目 錄引

6、言1第一章 級數(shù)簡介21.1 級數(shù)理論前史21.2 級數(shù)的定義3第二章 數(shù)項級數(shù)的求和方法42.1 根據(jù)定義求級數(shù)的和42.2 利用已知級數(shù)直接求和法52.3 連鎖消去法62.4 方程式法72.5 利用子序列法82.6 根據(jù)冪級數(shù)理論求級數(shù)的和(利用Abel第二定理)92.7 利用Fourier級數(shù)理論求級數(shù)的和112.8 利用復(fù)數(shù)的Euler公式和De Moiver公式.122.9 利用Euler常數(shù)法13第三章 函數(shù)項級數(shù)求和143.1 微積分法143.1.1 逐項微分，求和后再積分143.1.2 逐項積分，求和后再微分153.2 微分方程式法163.3 復(fù)數(shù)項冪級數(shù)求和法（主要計算三角函

7、數(shù)項級數(shù)的和）18結(jié)論20參考文獻21謝 辭22第一章 級數(shù)簡介1.1 級數(shù)發(fā)展簡介數(shù)學(xué)史上級數(shù)出現(xiàn)的很早，在兩千多年前人們就有了粗糙的級數(shù)思想.古希臘時期，亞里士多德(Aristotle，公元前384一公元前322)就知道公比小于l(大于零)的幾何級數(shù)可以求出和數(shù).芝諾(Zeno，公元前490一約公元前425)的二分法涉及到把1分解成無窮級數(shù).阿基米德(Archimedes，公元前287一公元前212)在拋物線圖形求積法一書中，使用幾何級數(shù)去求拋物線弓形面積，并且得出了級數(shù)的和.中國古代莊子·天下中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”含有極限的思想，用數(shù)學(xué)形式表達出來也是無窮級數(shù).到

8、了中世紀(jì)，由于數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對一些涉及到無窮思想的悖論展開了激烈的爭論，使得關(guān)于無窮級數(shù)的研究開展起來.最具代表的是法國數(shù)學(xué)家奧雷姆(Nicolas Orense，1323一1352)用最初等的方法證明了調(diào)和級數(shù)的和為無窮，用現(xiàn)在的形式可表示為中世紀(jì)的級數(shù)理論，從本質(zhì)上看沒有突破性進展，它的主要貢獻并不在于所得到的具體結(jié)果，而是在于促使人們接受一種新的觀點，即在數(shù)學(xué)中可以自由的承認(rèn)無限過程.這對后來理解無窮過程做了鋪墊，為形式化處理級數(shù)奠定了思想基礎(chǔ).早期數(shù)學(xué)家僅憑直覺就認(rèn)為級數(shù)是可以收斂的，并將級數(shù)從有限項自然的拓展為無限項使用，這導(dǎo)致了有限法則無限拓展的產(chǎn)生.17世紀(jì)，伴隨著微積分的產(chǎn)生，

9、許多數(shù)學(xué)家通過微積分的基本運算與級數(shù)運算的形式化結(jié)合，得到了一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，并且級數(shù)在解析運算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具，這就使得無窮級數(shù)成為微積分不可缺少的部分.1669年，牛頓 (Isaac Newton，1643一1727)在他的(用無限多項方程的分析學(xué)中，用級數(shù)反演法給出了，的冪級數(shù)，和的級數(shù)展開.格雷戈里 (James Gregory， 1638一 1675)得到了，等函數(shù)的級數(shù)，萊布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz，1646一 1716)也在1673年獨立地得到了，和等函數(shù)的無窮級數(shù)展開式，以及圓面積和雙曲線面積的具體展開式.在

10、微積分的早期研究中，有些函數(shù)如指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的處理相當(dāng)困難，然而人們發(fā)現(xiàn)，若用它們的級數(shù)來處理，則非常有成效.因此，無窮級數(shù)從一開始就是萊布尼茨、牛頓等人微積分工作的一個重要部分.有時使用無窮級數(shù)是為了計算一些特殊的量，如二和.以及求隱函數(shù)的顯式解.17世紀(jì)后期和18世紀(jì)，為了適應(yīng)航海、天文學(xué)和地理學(xué)的發(fā)展，擺在數(shù)學(xué)家們面前的問題之一是函數(shù)表的插值.由于對函數(shù)表的精確度要求較高，數(shù)學(xué)家們開始尋求較好的插值方法，牛頓和格雷戈里給出了著名的內(nèi)插公式.1715年泰勒 (Brook Taylor，1685一1731)發(fā)表了增量方法及其逆(Methods Increment rum Direct e

11、t Inverse)，奠定了有限差分法的基礎(chǔ).17世紀(jì)，牛頓、萊布尼茨等人曾研究過有限差分問題，泰勒的工作則使有限差分法從局限的方法(如二項式定理、有理函數(shù)的長除法、待定系數(shù)法等等)過渡到了一般的方法.這本書中他給出了單變量冪級數(shù)展開的著名公式，即泰勒級數(shù)泰勒是第一個發(fā)表此級數(shù)的人，但他不是第一個發(fā)現(xiàn)此級數(shù)的數(shù)學(xué)家.在他之前格雷戈里、牛頓、萊布尼茨、約翰·伯努利 (John Bernoulli，1667一 1748)和棣莫弗(Abrahamde Moivre，1667.1754)等數(shù)學(xué)家都研究過此級數(shù). 1717年泰勒運用這個級數(shù)求解方程，取得了很好的結(jié)果，但是他的證明是不嚴(yán)格的而且

12、沒有考慮收斂問題，在當(dāng)時影響并不太大.直到1755年，歐拉在微分學(xué)中將泰勒級數(shù)推廣應(yīng)用到多元函數(shù)，增大了泰勒級數(shù)的影響力，隨后拉格朗日用帶余項的泰勒級數(shù)作為函數(shù)論的基礎(chǔ)，才正式確立了泰勒級數(shù)的重要性.后來麥克勞林(Maclanrin colin， 1698一1746)重新得到泰勒公式在時的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”.詹姆斯·伯努利 (James Bernoulli，1654一1705)與約翰·伯努利在級數(shù)方面做了大量的工作.詹姆斯·伯努利在1689一 1704年間撰寫了5篇關(guān)于無窮級數(shù)的論文，成為當(dāng)時這一領(lǐng)域的權(quán)威，

13、這些論文的主題是關(guān)于函數(shù)的級數(shù)表示及其求函數(shù)的微分與積分，求曲線下面積和曲線長等方面的應(yīng)用，所有這些級數(shù)的應(yīng)用是對微積分的重大貢獻.1.2 級數(shù)的概念定義 給定一個數(shù)列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式 （1）稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（也常簡稱級數(shù)），其中稱為數(shù)項級數(shù)的通項.數(shù)項級數(shù)（1）也常寫作或簡單寫作.定義 設(shè)是定義在數(shù)集上的一個函數(shù)列，表達式稱為定義在上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為或.第二章 數(shù)項級數(shù)的求和方法級數(shù)求和的問題，一般來說，是一個困難問題，沒有一勞永逸的方法.因為部分和隨增大時，數(shù)項越來越多，除非能化為已知級數(shù)，人們只能設(shè)法把寫成緊縮式，才便于求極限.級數(shù)求和的常用方法一般直

14、接用定義法、拆項法、公式及四則運算法、利用冪級數(shù)法、傅里葉級數(shù)理論和阿貝爾求和法等方法.下面對級數(shù)求和的方法舉例進行說明.2.1 根據(jù)定義求級數(shù)的和利用定義求級數(shù)的和就是求級數(shù)部分和數(shù)列的極限.由于當(dāng)時，部分和的項數(shù)無限增多，因此為了求的極限，必須設(shè)法把加以簡化直至解出極限.但是如何加以簡化并沒有一般的方法，下面我們通過例題加以介紹.例 設(shè)，求級數(shù)的和.分析 要尋求之和，只要將其部分和用已知級數(shù)部分和與已知數(shù)列表示出來.解 因，則，于是.例2.1.2 計算.解 記 .兩邊同時乘以，得 ，即，借此方程便得 (當(dāng)時).2.2 利用公式的四則運算求級數(shù)的和利用一些常見數(shù)列的求和公式，如等差數(shù)列、等比

15、數(shù)列等求和公式，結(jié)合其四則運算性質(zhì)求出級數(shù)的和.例 計算.解 由于 （1）而 （2）式得故原級數(shù)的和 .例 求的和.解：首先注意，因為，所以 ，同理可得.又，于是，根據(jù)收斂級數(shù)可以逐項加減等性質(zhì)，可知 所以 2.3 拆項消去法連鎖消去法在級數(shù)求和法中是一種很重要的方法，它的關(guān)鍵使將級數(shù)的一般項分解成部分分式的形式.例 計算.解 由于而所以 故原級數(shù)的和 .說明 還可以多項相消，求形如之類的級數(shù)之和.例 求級數(shù)之和.提示 利用公式解因此 .2.4 利用子序列法我們知道，若與有相同極限，則.因此對于級數(shù)，若通項 (當(dāng)時)，則部分和的子序列收斂于，意味著也收斂于，從而.我們把與稱為互補子序列.這個原

16、理可推廣到一般：若的通項(當(dāng)時)，的子序列 （是某個正整數(shù)），則.我們把這種方法稱為子序列法.例2.4.1 計算解 此級數(shù)的通項趨近于零，所以只求的極限即可而例2.4.2 計算.解 此級數(shù)的通項趨近于零，所以只求的極限，注意公式，其中為Euler常數(shù)，（當(dāng)時）.因此，對原級數(shù)， 故原級數(shù)和 .2.5 利用冪級數(shù)理論求級數(shù)的和若收斂，則有=，將轉(zhuǎn)化成，對求有兩種常用方法：方法1：利用逐項微分法求和 ，方法的效果取決于是否容易求和，是否為的簡化，若，為n的多項式并且含有因子n是、時效果更好.方法2：利用逐項積分法求和，當(dāng)為多項式時，應(yīng)分解為等式子的組合.由Abel第二定理：若冪級數(shù)的收斂半徑，則冪

17、級數(shù)在任意閉區(qū)間上都一致收斂.計算收斂的數(shù)項級數(shù)的和，只需求在內(nèi)的和函數(shù)，令，取極限，則.例2.5.1 求數(shù)項級數(shù)的和.解 構(gòu)造冪級數(shù)，求得收斂半徑.收斂區(qū)間是.設(shè)它的和函數(shù)是，即.由冪級數(shù)可逐項可導(dǎo)，有.，有.因為，所以.即.令，有例2.5.2 計算解 由于而的收斂半徑為1，且在收斂，令，在等式兩端取極限，有 即.2.6 利用Fourier級數(shù)理論求級數(shù)的和先求出函數(shù)的傅里葉展開式，在確定其在收斂于內(nèi)某個特殊點的值，這是用傅里葉級數(shù)求常數(shù)項級數(shù)的基本思想.傅里葉展開的基本方法：1）按系數(shù)公式計算系數(shù)其中.2）將算出的系數(shù)代入級數(shù).3）根據(jù)收斂定理，判定可改為等號的范圍.若上分段光滑，則級數(shù)的

18、和函數(shù)例2.6.1 設(shè)函數(shù)，.試求的值.解 將函數(shù)在上展開成Fourier級數(shù)，于是，因為在內(nèi)連續(xù)，所以由Parseval等式有 所以說明 求形如，之類的數(shù)值級數(shù)，可將某些特殊函數(shù)在一定區(qū)域上展成Fourier級數(shù)，然后取適當(dāng)?shù)牡闹祷蛑痦椃e分.例 設(shè)，其中.試求的值.解 將函數(shù)進行奇式周期延拓，則，所以，其中，因為在上連續(xù).所以.取，則.所以.即.2.7 利用復(fù)數(shù)的Euler公式和De Moiver公式.說明 用于三角級數(shù)求和問題設(shè)為復(fù)數(shù)，令，是實數(shù)有 例2.7 計算解 因為復(fù)述級數(shù)，令，有 而 于是2.8 利用Euler常數(shù)法極限的值為所謂的歐拉常數(shù)，設(shè)為，則有，其中，利用上式，可以求出某些

19、數(shù)值級數(shù)的和.例2.8 求解 即 第三章 函數(shù)項級數(shù)求和3.1 微積分法 逐項微分，求和后再積分先求的緊縮式，然后再利用積分公式：例.1 計算解 不難計算其收斂半徑為1，設(shè)它的和函數(shù)，即，有逐項微分，有，對上式從到積分，得 例.2 設(shè)，試求如下級數(shù)之和.解 若，顯然級數(shù)和為0.現(xiàn)設(shè).記，則 于是 .利用Riemann引理，時上式第一項趨向零.所以級數(shù)和 逐項積分，求和后再微分例.1 計算解 不難計算其收斂半徑為1，設(shè)它的和函數(shù)，即，有，對上式從到逐項積分，有 對兩邊求導(dǎo)數(shù)，有即.3.2 微分方程式法基本思想是為了求出冪級數(shù)或函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，有時找出和函數(shù)所滿足的微分方程及定解條件，解此微分

20、方程的定解問題得到級數(shù)的和函數(shù)；主要還是設(shè)法證明級數(shù)的和滿足某個方程式然后求次方程的解.例 計算.提示 收斂半徑為，逐項微分可知 .解 設(shè)逐項微分所以，并且有.解此微分方程的初值問題得 . 例 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，令，則在上一致收斂于.證 1.（先證明該級數(shù)一致收斂）因在上連續(xù)，所以有界.即，使于上，由此知，由數(shù)學(xué)歸納法易證 .但在全數(shù)軸上成立，上一致收斂.所以在上絕對一致收斂.2.（證明和滿足微分方程）記原級數(shù)之和為. (1)次式兩端同時加以，再同時在上取積分得 . (2)由此求得 . (3)從(2)式可以看出 （4） 在條件（4）下求解微分方程（3）可得 .未學(xué)過微分方程的讀者可以這樣來求解;設(shè)，則代入（3）式得，所以 . （5）根據(jù)（4）式應(yīng)有故知代入（5）從而 .因此 .3.3 復(fù)數(shù)項冪級數(shù)求和法此方法主要計算三角函數(shù)項級數(shù)的和，為計