1、所以“是方程（專）22Xo= 4(_ 2 yoy 8xo _ y。2=0的兩個根，所以=y0， 故PM垂1.1.【20182018 浙江 2121】如圖，已知點 P P 是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點 代B滿足PA,PB的中點均在C上（1） 設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；2（2） 若P是半橢圓x2 11（x：0）上的動點，求：PAB面積的取值范圍41212解析：（1）設P（Xo，yo）,A（4y1，y1），B（4y2，y2）AP中點滿足：2x2+I1_(J1)2=4(24)2 22BP中點滿足：BP:（0生）2=4（）222(2(2)由(1 1)可知y

2、iy2=2yo,y也=8x-y-y所以I PM |=82從4yj一3x0, ,1yi- y十2,2(y。j)13/2因此，SpAJpM|yi_y2|=茴一4xJ2因為X。2也=1(X0: 0)，所以y。2-4X0 -4x2-4X04 4,54因此，PAB面積的取值范圍是, 2, 41.距離型問題2 2x y2.2.【20182018 全國 3 3 理 2020】已知斜率為k的直線I與橢圓C：1交于代B兩點,43線段AB的中點為M (1,m)(m0)(1(1)證明：k k ： - -1 1；2(2 2 )設F為C的右焦點，P為C上一點且FP FA，FB=0，證明：FP, FA,FB為等差數列，并

3、求出該數列的公差。線段AB的中點為M (1,m)(m0)b232，解得k =a4m31又因為點M在橢圓內故，故-(2)由題意知FA F2FM,FP因為點P在橢圓上，代入可得m=3,k=1，即|FP|4?11根據第二定義可知，| FA|=2- 為,| FB |=2 -一X222|FA| |FBi2(Xix2)2 243二7x214x1二Q= x1x2二2, %x2：7428y _ _x _I411 |FBZQX1XA3設其公差為d，因為代B的位置不確定，則有2d h |FA|-|FB F：丄|人-x2戶：122代入得2d日d日14282 2x y3.3.【20182018 全國 3 3 文 20

4、20】已知斜率為k的直線I與橢圓C :1交于A,B兩點,43解析：(1 1)由中點弦公式k koM聯立故滿足2|FP|=|FA|FB|，所以T T TFP, FA, FB為等差數列x-ix2)2_ 4x1x2T T T 扌(2)設F為C的右焦點，P為C上一點且FP FA FB =0，證明T t T2| FP |=| FA | FB |。2 2 2 2解析：（1）設AO驗山，則冷牛巧牛1，因為一興兩式相減可得：也$ y k = o43又因為兇 仝=1,也 迪=m即xix 2, yi2m代入上式得2 2331k，又因為點M在橢圓內，故0：m，故k :-4m22(2)F(1,0)，設P(x3, ya

5、)，FP FA FB =0二(X3-1,y3)(為-1,yJ化-仆)=0X3=3-(x1 X2) =1,y3- -(y1 y2)- -2m因為點P在橢圓上，代入得m，所以P(1,-?),| FP戶3422故|FA| |FB|=4-1(X1 X2)= 32注意：文理科題目相同，但是給出的解題思路是不同的因為| FA|Y；(X1-1)2 yj =2同理得|FB |=2 -所以2 | FP |=| FA | | FB|(得到一個等量關系，然后用k分別表示出力，y2)點A的坐標為(b,0)，且| FB | |AB F6、,2(1)求橢圓的方程;(2)設直線I : y二kx(k - 0)與橢圓在第一象限

6、的交點為P，且I與直線AB交于點Q，若LAH-5 2sin. AOQ(O為原點)，求k的值。|PQ| 44.4.【20182018 天津理 1919】設橢圓a2b=1的左焦點2 2 . 22c a -b e2 2a a-，解得2a = 3b，又因為| FB |= a,| AB |= 2b9由| FB|ABF6-.2知ab=6，解得a=3,b = 22 2故橢圓方程為194(2)設，則|pQFsn，|AQF2y2闔二亍Sin AOQ=花子時9y23解析：(1 1)由題意知:111解得k或k =2285.5.【20182018 江蘇 1818】如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓C過點(、3)，焦

7、點2冃(-.3,0), F2(、3,0)，圓O的直徑為F1F2o(1)(1) 求橢圓C及圓O的方程；(2)(2) 設直線I與圓O相切于第一象限內的點 P P(i)(i) 設直線I與橢圓C有且只有一個公共點，求點 P P 的坐標；(ii)(ii)直線1與橢圓C交于A,B兩點. .若SB的面積為罕求直線1的方程。聯立y =kxy = -x 22ky = kx2 2 _.xy-1.94分別代入上式得4 9k230k_ 18k一廠9k21 k解析:(1(1)設橢圓方程為2 22篤=1,其中C = . 3，又因為點a bC 3,-)在橢圓上，故231-2扁=1la4 a24b2=2a2-b2=3b2所以

8、橢圓C的方程為y2(得到一個等量關系，然后用k分別表示出力，y2)又因為圓O的直徑為F1F2，故圓的方程為x2y3(2(2)(i i)本題有兩種解法:法一：橢圓和圓有公切線時求點P的坐標，可先設公切線方程為y二kx * b然后根據直線分別與圓和橢圓相切求出k,b的值，再求出點P的坐標,這個方法很容易想到，但是需要兩次計算相切時的條件。法二：題目中讓求點P的坐標，不如一開始就設出點P的坐標，利用點P的 坐標表示出切線方程，然后直線與橢圓聯立，: : =0=0 即可求出點P的坐標。這里我們選用第二種方法：設直線與圓的切點P(x0,y0)，貝【J滿足xo2yo3，故直線I的方程為:因為直線I與橢圓有

9、且只有一個交點，故厶=0，即=(-24x)2-4(4x2y2)(36 _4y2) = 48y02(x2- 2) = 0因為點P位于第一象限，即x0,y0 0,故x0所以點P的坐標為C-2,1)(iiii)分析：第二問由于OAB的高即為圓的半徑，故由面積可以得出弦長AB的值，根據弦長再求出直線方程，最容易想到的就是設出直線方程y二kx b，根據直線與圓相切可得b2=3k23，然后直線與橢圓聯立，根據 韋達定理寫出弦長公式，將k或b轉化成一個，求出即可，但是計算過程很麻 煩，下面給出同一個方法的兩種不同解法：聯立(x -x0)即y = _ yox03xyyy。y。2 2 2 2(4x0y0)x -

10、 24x0 x 36 -4y0= 0(1)(1)注意此處，根據韋達定理得出的兩根和與積的形式本來很復雜，如果利用上式還需要進行平方，再將b轉化為k的形式計算起來相當復雜，因此我們要想辦 法避開平方，因此不如直接根據直線與橢圓聯立的方程解出兩根，再利用弦長 公式，就可以避開平方的出現，解法也會簡單一些。222-8kb(4k2十1-b2(1+4k )x +8kbx+4b 4 = 0n x12=-2-2(1+4k2)44k2+1 _b24jk2_2| 為 -x2|224k214k21224 ,k2-24、2 22解析：設直線方程為y二kx b,A(Xi, yj B(X2,祠，根據直線與圓相切得b2=

11、3k2+3八kx bx227y2 2 2=(14k )xxix28kb4b2-42, xix2 21 4k21 4k2| AB |二.1 k (x1k2廠8巾一)2比口6 _ 4_214k2)一1 4k2一將b3k23代入得64k2(3k23)16(3k23) -16,(1 4k2)21 + 4k27|AB|=1 k|為七2|八1 k2解得k2=5,b2=184k2+17所以k - - .5,b，直線方程為y -5x * 3-.25 5定值問題26.6.【20182018 全國 1 1 理】設橢圓C: y2= = 1 1 的右焦點為F,過F的直線I與C交于2代B兩點，點M的坐標為(2,0)(1

12、)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設O為坐標原點，證明：OMA=/OMB當直線I斜率不存在此時直線AM , BM的傾斜角互補，則當直線I斜率存在時, 設I : y =k(x-1), A(xi, yd B(X2, y2)2區+y2=1聯立2=2 2 2 2(2k1)x -4k x 2k -2 = 02k2- 2X1X2二 ，洽2二2122k212k21y1. y2= k(X1-1)k(X2 T) _k2x1X23(X1X2)4為-2X2_2 X1_2X2_2(X1- 2)( X2- 2)分析：第二問兩角度相等如何證明？解析幾何中常出現的量無非是距離長度，斜率， 面積，周長，如果你想到了

13、證明兩個角余弦值相等，那么恭喜你，你想到了長 度，但是長度不容易求得，本題目M點在x軸上且角度均從0點出發，A, B兩點一個在x軸上方一個在下方，因此可以考慮兩條直線關于x軸對稱，而 對稱又反應了斜率互為相反數 的關系，因此本題目雖是證明題的形式出現，但本質 上是求定值問題，即k1k2=0解析：(1 1 )由題意知F(1,0)，當I與x軸垂直時，l:x = 1，此時A(1, -j)，所以直線AM的方程為y二一乎儀一2)2(2)設直線AM ,BM的斜率分別為ki, k2(注意，此處為什么不需要整理分母部分，因為證明分式為零，只需要證明分 子為零即可)2 22(2k2)_所以k!k22k0(X12

14、)(x22)所以直線AM , BM的傾斜角互補，則 OMA=/OMB7.7. 【20182018 全國 1 1 文 2020】設拋物線C: y2=2x，點A(2,0), B(-2,0)，過點A的直線I與C交于M , N兩點(1 1 )當I與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2 2)證明：ABM =/ABN解析：(1 1 )當I與x軸垂直時，I :x=2，此時B(2,-2)，直線BM的方程為1y (x 2)2(2 2)具體過程可以參考 3232 題，在上題中是分情況討論直線斜率不存在與存在的情況，其實無需討論斜率是否存在，可以直接將直線方程設為x=my * 2設I : my 2，直線BM , BN

15、的斜率分別為 燈k?X = my + 22聯立2二y _2my_4 = 0二+ y?= 2m, y$2= _4ly2=2x所以&k2=y=2他3論+2 x2+2(m% +4)(my2+4)所以直線AM , BM的傾斜角互補，則 OMA=/OMB8.8. 【20182018 全國 3 3 理 1616】已知點M (-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與拋物線交于 代B兩點，若 藝ABM =90:則k=_ . .解析：用到結論：在拋物線中以焦點弦為直徑的圓與準線相切所以yN= yM=1，設N(X0,I)，根據焦點弦斜率公式可得9.9.【20182018 北京 理 1

16、919】已知拋物線C:y2=2px經過點P(1,2)，過點Q(0,1)的直線I與拋物線C有兩個不同的交點A,B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N. .(1)求直線 I I 的斜率的取值范圍；IT IT1 1(2)設0為原點，QM = QO,QN=Q0，求證：為定值 解析：(1 1 )因為拋物線經過P(1,2)，則p =2，拋物線方程為y2=4x由題意可知直線I的斜率存在且不為 0 0，設直線l的方程為y =kx * 1(k = 0)衛=kABX0XoXokON：=(2k4)24 k210解得k : 0或0：k：1又PA, PB與y軸相交，故直線l不過點(1廠2)，故k八3【最容易遺漏的

17、地方】所以直線I斜率的取值范圍是(-=-3) - (-3,0) - (0,1)y2=4x y= kx 1二k2x2(2k -4)x 1 = 0, y2=4x 22設A(xi,yj, B(X2,y2)，由:kx (2k-4)x 1 = 0=kx+14 2k1V r V - V V - -x1x2. 2，x1x2 . 2kk直線PA的方程為y -2二里22-，令x = 0得點M的縱坐標為X 1-y亠2_kx亠1yM1212，同理得N點的縱坐標為X 1X 1yN二 収212，由QM = QO, QN =JQO得1-1 - yM, = 1 - yNX2 T2丄2k-42x1X2-(xX2)1k2k2=

18、2k-1丄k21 11所以1 1-1_yMX1- 1_X2- 1(k -1)x1(k-1)x21k -1NX22Xy2x/610.10. 20182018 北京文 2020】已知橢圓M2=1(a b . 0)的離心率為，焦距為ab32 2，斜率為k的直線I與橢圓M有兩個不同的交點 代B(1 1)求橢圓M的方程；(2 2 )若k=1，求| AB|的最大值；3m3m2-3X1X2, X1X2 :242 2 2令.;.=(6m) -4 4 (3m -3)0，則m：4聯立x22=4x26mx 3m2-3 = 0(3 3)設P(-2,0)，直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一故當m

19、= 0時，| AB |最大（3）題目給出共線，則用向量共線即可，但是需要知道C, D兩點的坐標，因 此大膽設出PA,PB的方程，求出C,D的坐標（坐標與 代B坐標產生關聯之 后即可）設A(Xi,yJ,B(X2,y2),C(X3, y3),D(X4,y4)，又P(-2,0)，所以可設ki二kpA = ，直線PA的方程為：y二ki(x 2) XH2y二ki(x 2)2 2 2 2X22= (1 3k1)X12k1X12k1-3 = 0八1貝V X1X312k12即X312k12- X-!1 3k11 3k1【注意此處也可以不轉化，直接將X3轉化為X1, y1的形式，但是不如一開始就 轉化簡單】71

20、 -=區，y3),QD447171因為Q,C,D三點共線，所以（x37）（y4-丄）-（x4上）（y3-丄）=04444將C, D坐標代入化簡可得M壯=1,即k=1捲_x2X2y211.11. 20182018 天津文 1919】橢圓二2-1（a b 0）的右頂點為A，上頂點為B。已知a b橢圓的離心率為3（1 1 ）求橢圓的方程；（2 2）設直線丨：y二kx（k - 0）與橢圓交于P,Q兩點，I與直線AB交于點M，且點P,M均在第四象限，若BPM的面積是BPQ面積的 2 2 倍，求k的值。又*，代入得X3-7x12一4x17C(-7捲-124x17晟），同理可得。（鋁2,寺）故QC71=(X

21、44y43)(2)設P(Xi,yi),M (x2,y2)SBPM=2SBPQ= |PM | = 2|PQ= |PM |=4|0Q= x5【需要的等量關系】，接下來用k表示出X, x2即可所以代壯:匕，解得k_9或k28i當k時，x-i0, x2: 0不符合題意，當k時，x10,x20符合題921意，所以k =-一22.2.極坐標與參數方程問題12.12. 20182018 全國 1 1 選做 2222】在直角坐標系xoy中，曲線G的方程為C1: k | x | 2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的極坐標方程為留2 cosr -3=0(1(1 )求 C C2的直角坐標方程

22、;=kxX2一3k 2y = kx2 2n9461=1、9k24解析：(1 1)J*J*(2 2 )若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程。2 2解析：(1 1)x2y22x -0(2)y二k|x2恒過(0,2 )點，當k_0時不符合題意當k0時，仁刈=? +2公菱0廠kx+2,xv0當x 0時，y=-kx，2與C2恒有兩個交點，所以只需當x_0時，y=kx，2與C2只有一個交點即可，聯立y =kx 222x2y22x-（1 k）x（4k 2）x04所以Ci的方程為y=4|x|，2313.13. 20182018 全國 2 2 選修 2222】在直角坐標系xoy中，曲線C的參數方程為x

23、=2cosH(g為參數)，直線1的參數方程為xi + tcosa (t為參數)y =4siny = 2tsin：(1)求C和I的直角坐標方程;(2 2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率2 2解析：(1 1)曲線C的直角坐標方程為-1416當cos=兀0時，I的直角坐標方程為y二tan 2 - tan：-當cos-0時，I的直角坐標方程為x=1(2 2 )考察中點弦問題，因此可以利用中點弦求斜率公式，設中點坐標為2aM (1,2)，則k koM2 =2k = -4 k = -2b常規做法如下: 將I的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1 3cos2二)t

24、24(2cos工 sin =)t -8 = 0因為曲線C截直線I所得線段的中點(1,2)在C內，故上式有兩個解，設為t1,t2,則2 =04（2cos：sin：）,.小又因為t1-122，故2cos=sin=01 +3cos a所以直線I的斜率k二tan二-2【此處用到了直線的參數方程的兩個用法之一】14.14. 20182018 全國 3 3 選做 2222】在平面直角坐標系xoy中，L O的參數方程為x二COSTi（日為參數），過點（0, J2）且傾斜角為a的直線I與LO交于代B兩點y =si n（1 1）求的取值范圍；（2 2）求AB中點P的軌跡的參數方程。解析：（1 1 ）當斜率不存在時，此時符合要求2當斜率存在時，若要滿足直線與圓相切只需要保證圓心到直線的距離小于半徑 即可。設直線l:y=kx2，所以d二2：1二k（二，一1）_.（1：）二 二 二3二根據正切函數圖像可知一（才孑-忑盲） 綜上可知：（一，3）44（2 2）可以用直線的普通方程來做，但是如果那樣題目就失去意義了。既然是中點，就應該想到直線的參數方程應用中關于中點的用法。、|xP= J2si