南昌大學第七屆高等數學競賽(數學專業類)試題答案_第1頁
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1、精選優質文檔-傾情為你奉上南昌大學第七屆高等數學競賽（07、08級數學專業類）試卷答案 序號： 姓名： _ 學院: 專業： 學號： 考試日期： 2010年10月題號一二三四五六七八九總分累分人 簽名題分30999999 8 8 100得分考生注意事項：1、本試卷共 5 頁，請查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報告以便更換。 2、考試結束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場。一、 填空題(每空 3 分，共 30分) 1、=0；2、函數不可導點的個數是1；3、=；4、的收斂區域為， ）；5、設，則；6、函數在處的泰勒級數為；7、設，則= ；8、若 （） ，則= ； 9、交換二次積分的次

2、序為； 10、存在的充要條件是，,當，時，有。二、證明：函數在上不一致連續.證明：對， ，但是有 所以，函數在上不一致連續.三、設函數在上有定義且在每一點處函數的極限存在，求證：在上有界.證明：，設在處的極限為，則，有，從而。由為的開覆蓋及有限覆蓋定理得，存在有限個小開區間也是的開覆蓋。記M為，中的最大數，則有，有，使得，于是四、設在上可導，且，試證：存在(0, ),使得. 令 所以在(0, )達到最大值，故存在(0, ),使得即五、已知曲線積分，其中是常數，有連續一階導數，是繞(0，0)點一周的任一分段光滑簡單閉曲線.試求及. 如圖所示，設C是不包含原點在內的任一分段光滑的簡單閉曲線，在C上任意取定兩點A，B,作圍繞原點的閉曲線AKBNA,同時得到另一繞原點的閉曲線AKBMA，由題設條件知即 從而有 ， 則 ,由知，為了計算,取為單位圓周，則六、設在上可微，且，M是的上界，則M.由拉格朗日定理及，知存在c=于是，M七、設在上有連續偏導數，且 （1）若 求（2）若 求. （1）兩端關于求導，得 當時，=，又在上有連續偏導數，所以= （2）由，知 又由，得 所以八、設，絕對收斂，則應用積分中值公式，有 = 由在處連續可知，任意，存在,使得 （

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