1、畢業(yè)設(shè)計(論文)任務(wù)書課題名稱質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析學(xué) 院 專業(yè)班級姓 名學(xué) 號畢業(yè)設(shè)計(論文)的主要內(nèi)容及要求：1. 通過大量閱讀文件，對質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，T-S模糊系統(tǒng)及魯棒控制穩(wěn)定性等有總體認識。2. 在已有的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)模型和T-S模糊控制等理論基礎(chǔ)上，采用模糊化技術(shù)將質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為T-S模糊系統(tǒng)進行研究。3. 在已有的T-S模糊系統(tǒng)基礎(chǔ)上，考慮參數(shù)變化時的情況，設(shè)計帶有參數(shù)不確定的連續(xù)時間T-S模糊系統(tǒng)來建立質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性系統(tǒng)的模型。4. 采用模糊化原理，并行分布補償機制，Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性原理及其線性矩陣不等式（LMI）方法針

2、對上述模型設(shè)計一個模糊狀態(tài)反饋控制器，使得所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的。5. 將課題中研究得到的算法和得到的結(jié)果，采用Matlab中的LMI工具箱進行編程仿真, 以說明所得結(jié)果的有效性，從而驗證質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。6. 翻譯一篇與本課題有關(guān)的英文資料。指導(dǎo)教師簽字：填寫說明："任務(wù)書"封面請用鼠標(biāo)點中各欄目橫線后將信息填入，字體設(shè)定為楷體GB2312、四號字；在填寫畢業(yè)設(shè)計（論文）內(nèi)容時字體設(shè)定為楷體GB2312、小四號字。質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析摘要本文針對一個簡單的質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性系統(tǒng)進行了魯棒穩(wěn)定性分析。為了便于分析，我們通過一些

3、模糊化的技術(shù)將其轉(zhuǎn)化為一個T-S模糊系統(tǒng)，在考慮到大多數(shù)實際情況下，系統(tǒng)參數(shù)因在系統(tǒng)運行過程中存在參數(shù)的變化。進而用帶有參數(shù)不確定的連續(xù)時間T-S模糊系統(tǒng)來建立質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性系統(tǒng)的模型。針對這一模型利用針對T-S模糊模型方法，Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性原理及其線性矩陣不等式（LMI）方法設(shè)計一個模糊狀態(tài)反饋控制器，使得所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的。最后，將課題中研究得到的算法和得到的結(jié)果，采用Matlab中的LMI工具箱進行編程仿真, 以說明所得結(jié)果的有效性，從而驗證質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。關(guān)鍵詞：質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性系統(tǒng)；T-S模糊系統(tǒng)；Lya

4、punov-Krasovskii穩(wěn)定性原理；線性矩陣不等式（LMI）Robust stability analysis for a class Mass-Spring-Damper SystemsAbstractThis paper considers the problem of robust stability analysis for a class of simple mass-spring-damper nonlinear systems. In order to facilitate analysis, a mass-spring-damper nonlinear system i

5、s described by the T-S fuzzy system.Due to the fact that the uncertainty of systems parameters is a ubiquitous phenomena appearing in many practical systems, the considered mass-spring-damper nonlinear system can be more accurately modeled by the continuous-time T-S fuzzy systems with parameter unce

6、rtainties. Based on T-S fuzzy model approach， Lyapunov-Krasovskii stability theory and linear matrix inequality (LMI) method，a fuzzy state feedback controller is designed such that the closed-loop system is asymptotically stable. Finally, by using the LMI toolbox in Matlab, an example show that resu

7、lts and algorithm given in this paper are effective,and thus the problem of robust stability analysis for a class of simple mass-spring-damper nonlinear systems is solved.Keywords:Mass-spring-damper nonlinear systems;T-S fuzzy systems;Lyapunov -Krasovskii stability theory; Linear matrix inequality (

8、LMI)目 錄1.緒 論111課題背景112自動控制理論發(fā)展簡史1121經(jīng)典控制理論1122現(xiàn)代控制理論與先進控制策略2123智能控制理論313模糊控制理論3131模糊控制理論發(fā)展簡史及研究意義4132模糊控制理論研究方向及進展4133模糊控制理論的發(fā)展前景及所遇到的問題6 134 T-S模糊控制的研究現(xiàn)狀714模糊理論研究的新方向72.問題描述1021系統(tǒng)模型10211一類質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)10212模糊化11213不確定性1522本章小結(jié)173.狀態(tài)反饋控制魯棒穩(wěn)定分析1831模糊狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計1832穩(wěn)定性分析19321 定理3.119322 定理3.1證明2033 LMI形式的

9、控制器設(shè)計21331 定理3.221332 定理3.2證明2234本章小結(jié)234.仿真驗證2441緊湊型T-S模糊系統(tǒng)2442程序內(nèi)容2443程序運行結(jié)果2944仿真曲線圖3045 本章小結(jié)33結(jié)論34致謝35參考文獻361 緒論1.1課題背景傳統(tǒng)控制器都是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立的，因此，控制系統(tǒng)的性能好壞很大程度上取決于模型的精確性，這正是傳統(tǒng)控制的本質(zhì)。現(xiàn)代控制理論可以解決多輸入、多輸出（MIMO）控制系統(tǒng)地分析和控制設(shè)計問題，但其分析與綜合方法也都是在取得控制對象數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上進行的，而數(shù)學(xué)模型的精確程度對控制系統(tǒng)性能的影響很大，往往由于某種原因，對象參數(shù)發(fā)生變化使數(shù)學(xué)模型不能準(zhǔn)確地反映

10、對象特性，從而無法達到期望的控制指標(biāo)，為解決這個問題，控制系統(tǒng)的魯棒性研究成為現(xiàn)代控制理論研究中一個非常活躍的領(lǐng)域。簡單地說，魯棒控制就是對于給定的存在不確定性的系統(tǒng)，分析和設(shè)計能保持系統(tǒng)正常工作的控制器。魯棒振定是保證不確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而魯棒性能設(shè)計是進一步確定保有某種指標(biāo)下的一定的性能。隨著科學(xué)技術(shù)的進步，現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)過程日趨復(fù)雜，很多控制系統(tǒng)具有多輸入一多輸出的強耦合性、參數(shù)與結(jié)構(gòu)的時變、大時滯和嚴(yán)重的非線性特性1，使得控制對象的精確數(shù)學(xué)模型難以建立，這時若采用傳統(tǒng)的精確控制就不可能獲得好的效果。因此，在工程實踐中，不僅基于精確數(shù)學(xué)模型地現(xiàn)代控制理論方法所設(shè)計地控制系統(tǒng)往往難以具有所

11、期望地性能，甚至連系統(tǒng)地穩(wěn)定性都難以得到保證23。而魯棒控制理論的提出，正好解決了這一難題。目前，利用模糊TS模型對不確定非線性時滯系統(tǒng)進行建模和控制，已經(jīng)成為模糊控制領(lǐng)域的一個熱點。本課題的主要研究內(nèi)容就是通過TS模糊控制對質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)進行魯棒穩(wěn)定性分析。1.2自動控制理論發(fā)展簡史19世紀(jì)中葉，麥克斯韋就“蒸汽機飛輪調(diào)速器的離心調(diào)節(jié)問題”發(fā)表了“關(guān)于調(diào)節(jié)器”的論文，直到20世紀(jì)40年代，自動控制理論逐漸發(fā)展為一門新學(xué)科并受到眾多學(xué)者關(guān)注，并于1948年由維納創(chuàng)立了控制論，至今已有100多年的發(fā)展史了。隨著工業(yè)生產(chǎn)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，各個領(lǐng)域中對自動控制系統(tǒng)的控制精度、響應(yīng)速度、

12、系統(tǒng)穩(wěn)定性與適應(yīng)能力的要求越來越高，應(yīng)用的范圍也越來越廣。自動控制理論的發(fā)展充分展示了一條源于生產(chǎn)科技實踐又回歸于生產(chǎn)科技實踐的歷史真跡。特別是20世紀(jì)80年代以來，由于電子計算機的快速更新?lián)Q代和計算機技術(shù)的高速進展，推動了對控制理論的深入研究，并開始了智能控制和生物進化優(yōu)化計算的研究新階段。縱觀自動控制理論發(fā)展簡史，通常可以分為三個時期。經(jīng)典控制理論人們從20世紀(jì)50年代后開始對“經(jīng)典控制理論”的研究，是自動控制理論發(fā)展中的第一個歷史時期。該時期以單輸入單輸出(SISO)的線性定常系統(tǒng)為主要研究對象，并且完全依賴于系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型。經(jīng)典控制理論是以傳遞函數(shù)、頻率特性、特征根分布等位理論基礎(chǔ)

13、，主要采用的是波特( H.W.Bode )圖法和依凡思(W.R.Evans)的根軌跡法，包括勞斯赫爾維茨(E.J.Routh-A.Hurwitz)代數(shù)判據(jù)、奈奎斯特(H.Nyquist)穩(wěn)定性判據(jù)與基于期望對數(shù)頻率特性的分析與設(shè)計方法等。其主導(dǎo)思想是構(gòu)成加有反饋通道的閉環(huán)控制系統(tǒng)。所研究的的目標(biāo)裝置是能夠使該閉環(huán)控制系統(tǒng)達到預(yù)期動態(tài)、靜態(tài)性能要求的自動調(diào)節(jié)器。因此該時期的自動控制理論也被稱為“自動調(diào)節(jié)原理”。在經(jīng)典控制理論中對于一般非線性系統(tǒng)，除了采用線性化方法來研究以外，通常還采用描述函數(shù)分析和不超過兩個變量的龐加萊(Puincare)相平面分析法。在經(jīng)典控制理論研究基礎(chǔ)上，該時期后半段發(fā)展

14、起來的PID調(diào)節(jié)原理和PID調(diào)節(jié)器設(shè)計方法，以及后來出現(xiàn)的串級、前饋補償?shù)认到y(tǒng)一直是頗受關(guān)注的工程實用方法。現(xiàn)代控制理論與先進控制策略該時期始于20世紀(jì)60年代末，由于航天飛行器等空間技術(shù)開發(fā)的需求而發(fā)展起來的現(xiàn)代控制理論，主要研究的是多輸入多輸出的受控對象，系統(tǒng)可以使線性的或是、非線性的，定常的或是時變的，可以是集中參數(shù)或分布參數(shù)的，也可以是連續(xù)或離散的。現(xiàn)代控制理論依然要依賴于系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，但是它把原來直接根據(jù)受控系統(tǒng)機理特性的建模方法，向基于參數(shù)估計和系統(tǒng)辨識理論的建模方向拓展了。現(xiàn)代控制理論用一組一階微分方程(亦稱為狀態(tài)微分方程)代替經(jīng)典控制理論中的一個高階微分方程式來描述系統(tǒng)，

15、并且把系統(tǒng)中各個變量均取為時間t的函數(shù)，因而屬于時域分析方法，它有別于經(jīng)典控制理論中的頻域分析法，這樣更有利于用計算機進行運算；此外，狀態(tài)變量的選取可以不一定是系統(tǒng)中可觀測的物理量，因而具有很大的自由度，這些都是狀態(tài)空間表示法的優(yōu)點所在。現(xiàn)代控制理論所研究的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，已從單閉環(huán)系統(tǒng)擴展到雙閉環(huán)、多環(huán)以及含有適應(yīng)壞、學(xué)習(xí)壞等多種結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)；在綜合和分析系統(tǒng)時，已經(jīng)從受控系統(tǒng)的外部特征描述，深入到揭示系統(tǒng)內(nèi)部的規(guī)律性；從局部控制進入到一定意義上的全局優(yōu)化。現(xiàn)代控制理論研究的范圍很廣，主要包括：1) 系統(tǒng)運動狀態(tài)的描述和能控性、能觀性2) 系統(tǒng)極大值原理3) 系統(tǒng)識別與濾波理論4) 穩(wěn)定性理論5)

16、自適應(yīng)原理近半個多世紀(jì)以來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與被控對象的復(fù)雜化，對于現(xiàn)有的大范圍內(nèi)多參數(shù)時變、大時滯以及具有嚴(yán)重非線性和強耦合的多輸入多輸出系統(tǒng)，要建立精確的數(shù)學(xué)模型是非常困難的。為此，在現(xiàn)代控制理論研究成果基礎(chǔ)上，近十幾年來提出了多種先進控制策略，并對其相關(guān)理論和應(yīng)用技術(shù)進行了研究。常見的先進控制策略如下：1) 最優(yōu)控制(Optimal Control, Optimum Control)2) 自適應(yīng)控制( Adaptive Control)3) 變結(jié)構(gòu)控制(VSC-Variable Structure Control)4) 模型預(yù)測控制(MPC-Model Predictive Contr

17、ol)5) 解耦控制(Decoupling Control)6) 魯棒控制 (Robust Control)智能控制理論20世紀(jì)70年代后期，自動控制受控對象擴展到大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)，要建立這類系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是相當(dāng)困難的，有時幾乎不可能，即使能獲得他們的近似模型，也難以求解或者不能適應(yīng)實時控制的需求。基于這種情況，自動控制理論研究形成為大系統(tǒng)遞階控制和智能控制兩個分支，標(biāo)志著自動控制理論研究開始進入到第三個發(fā)展時期。1965年，傅京孫(K.S.Fu)教授首先提出將人工智能的啟發(fā)式規(guī)則應(yīng)用于學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)；1966年，門代爾(J.M.Mendel)首次將人工智能用于飛船控制系統(tǒng)的設(shè)計；1967年，里昂

18、茲(Leondes)等人首次應(yīng)用“智能控制”這一名詞。智能控制主要是指一類無需人為干預(yù)，基于知識規(guī)則和學(xué)習(xí)推理、能獨立驅(qū)動智能機器實現(xiàn)其目標(biāo)的自動控制技術(shù)，智能控制的主要特點是：1) 智能控制是一門多學(xué)科交叉、綜合性很強的邊緣學(xué)科，并需要這些相關(guān)學(xué)科間的配合與支撐，它的理論研究與技術(shù)進展將會取決于這些學(xué)科的發(fā)展，并滲透到各個新興領(lǐng)域。2) 智能控制主要針對那些具有復(fù)雜性(多輸入多輸出、強耦合、嚴(yán)重非線性、大時滯)、非完全性、模糊性或不確定性的受控對象，由數(shù)學(xué)模型和知識表示的非數(shù)學(xué)廣義模型相結(jié)合，通過知識推理、學(xué)習(xí)、啟發(fā)引導(dǎo)，進行問題求解，來實現(xiàn)擬人智能的控制方式。3) 智能控制可以具有高層組織

19、級控制，該層的主要任務(wù)是對現(xiàn)實環(huán)境、過程或?qū)ο筮M行規(guī)劃、決策和綜合優(yōu)化，實現(xiàn)廣義問題求解，且具有擬人的思維特征。智能控制目前主要包括模糊控制、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)、專家控制系統(tǒng)、學(xué)習(xí)控制、人工生物進化(包括遺傳、免疫和種群尋優(yōu))算法等。1.3模糊控制理論模糊集合和模糊算法的概念最早于20世紀(jì)60年代由美國加利福尼亞大學(xué)著名教授查德(L.A.Zadeh)在他的Fuzzy Sets和Fuzzy Algorithm等著名論著中首先提出的。由于構(gòu)成客觀世界的萬物是千變?nèi)f化、錯綜復(fù)雜的，在事物屬性、萬物間的聯(lián)系和施加于事物上的各種“作用因素”等方面具有模糊性，加上人類對萬物的觀察與思維都是極其粗略的，語言表達是曖

20、昧的，邏輯推理是定性的，毫不在乎地容納著許多矛盾，因此“模糊概念”更適合于人們的觀察、思維、理解與決策，這也更適合于客觀現(xiàn)象和事物的模糊性(Fuzziness)。因此，在智能控制中，如果把“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”看作是“思維型”優(yōu)化控制的話，那么“模糊控制”的特點就可以形象的比喻為一種“語言型”的決策控制。模糊控制理論的發(fā)展簡史及研究意義1965年，加州大學(xué)伯克利分校的計算機專家Lofty Zadeh提出“模糊邏輯”的概念，其根本在于區(qū)分布爾邏輯或清晰邏輯，用來定義那些含混不清，無法量化或精確化的問題。模糊控制是基于模糊邏輯描述的一個過程的控制算法。對于參數(shù)精確已知的數(shù)學(xué)模型，我們可以用Berd圖或者Ny

21、quist圖來分析家其過程以獲得精確的設(shè)計參數(shù)。而對一些復(fù)雜系統(tǒng)，如粒子反應(yīng)，氣象預(yù)報等設(shè)備，建立一個合理而精確的數(shù)學(xué)模型是非常困難的，對于電力傳動中的變速矢量控制問題，盡管可以通過測量得知其模型，但對于多變量的且非線性變化，起精確控制也是非常困難的。而模糊控制技術(shù)僅依據(jù)與操作者的實踐經(jīng)驗和直觀推斷，也依靠設(shè)計人員和研發(fā)人員的經(jīng)驗和知識積累，它不需要建立設(shè)備模型，因此基本上是自適應(yīng)的，具有很強的魯棒性。歷經(jīng)多年發(fā)展，已有許多成功應(yīng)用模糊控制理論的案例，如Rutherford，Carter 和Ostergaard分別應(yīng)用與冶金爐和熱交換器的控制裝置。模糊控制理論研究中模糊模型的辨識研究具有非常重

22、要的意義，所謂模糊模型就是指描述受控系統(tǒng)性能的一組模糊規(guī)則，盡管它可以有多種表示形式，但都屬于非線性模型，宜于用來表達非線性時變系統(tǒng)4。模糊模型的辨識在控制，規(guī)劃，決策，統(tǒng)計和分析等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。模糊模型辨識方法有：Hirota和Pedrycz提出的采用參考模糊集的概念進行模糊辨識。Pedrycz提出用概率統(tǒng)計方法來確定模糊系統(tǒng)關(guān)系矩陣的模糊辨識，有日本學(xué)者Takagi和Sugeno提出一種動態(tài)系統(tǒng)的模糊模型辨識方法，被稱為T-S模型。該模型基于系統(tǒng)局域線性化，再模糊規(guī)則結(jié)論部分用線性多項式表示，用來擬合受控對象的非線性特性，具有逼近能力強和結(jié)構(gòu)簡單等特點，目前在模糊辨識中被廣泛采用，稱

23、為復(fù)雜受控系統(tǒng)建模的有效方法。目前，利用模糊TS模型對不確定非線性系統(tǒng)進行建模和控制，已經(jīng)成為模糊控制領(lǐng)域的一個熱點。模糊控制理論研究方向及進展20世紀(jì)70年代初，Zadeh在模糊映射、模糊推理和和模糊控制原理等方面進行了一些列的研究工作，特別是模糊知識表示、語義變量、模糊規(guī)則(if-then)和模糊圖等概念的提出和完善，開創(chuàng)了模糊控制新歷程，也為模糊建模和模糊控制的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。模糊控制理論研究大致分為以下幾個方面：(一)自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)模糊控制理論研究模糊控制的實質(zhì)是將相關(guān)領(lǐng)域的專家知識和熟練操作人員的經(jīng)驗，轉(zhuǎn)換成模糊化后的語言規(guī)則，通過模糊推理與模糊決策，實現(xiàn)對復(fù)雜系統(tǒng)的控制。然而，

24、一個復(fù)雜受控系統(tǒng)往往具有非線性、大時滯、不確定性和時變性，單純依靠基于人為信息的有限多條模糊規(guī)則，很難完善地描述和適應(yīng)復(fù)雜受控對象的多變性。如何在受控系統(tǒng)中自動地修改、調(diào)整和完善模糊控制規(guī)則，來提高模糊系統(tǒng)的控制性能，逐步達到良好的控制效果，成為自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)模糊控制理論研究的主要內(nèi)容。(二)模糊推理策略研究模糊推理策略對模糊控制器設(shè)計和模糊控制系統(tǒng)的性能影響起著重要作用。目前所采用的模糊推理策略可以有四種：有相應(yīng)作者命名的Mamdani推理、Tsukamoto推理、Larsen推理、Takagi推理方法。這些推理策略的共同點：其模糊性都取決于模糊規(guī)則的前提條件和結(jié)論部分的語言描述；不同點：模

25、糊模型與(或)推理合成算子的選擇。此外，Sky提出了每條模糊規(guī)則的置信度存在模糊性時的模糊推理方法。(三)模糊模型的辨識研究模糊控制理論研究中模糊模型的辨識研究具有非常重要的意義。所謂模糊模型就是指描述受控系統(tǒng)性能的一組模糊規(guī)則，盡管它可以有多種表示形式，但都屬于非線性模型，宜于用來表達非線性時變系統(tǒng)。模糊模型的辨識在控制、規(guī)劃、決策、統(tǒng)計和分析等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。模糊模型辨識法有：Hirota和Pedrycz提出的采用參考模糊集的概念進行模糊辨識；日本學(xué)者Takagi和Sugeno提出的一種動態(tài)系統(tǒng)的模糊模型辨識方法，被稱為T-S模型。該模型基于系統(tǒng)局域線性化，在模糊規(guī)則結(jié)論部分用線性多項

26、式表示，用來擬合受控對象的非線性特性，具有逼近能力強和結(jié)構(gòu)簡單等特點，目前在模糊辨識中被廣為采用，成為復(fù)雜受控系統(tǒng)建模的有效方法。(四)模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性研究穩(wěn)定性分析對于任何一類控制系統(tǒng)都是十分重要的性能指標(biāo)和研究課題，模糊控制系統(tǒng)也不例外。由于模糊控制器是一種基于規(guī)則的“語言型”控制器，難以用數(shù)學(xué)式子來描述，因此對它的各種性能分析也相當(dāng)困難。早期對模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論研究，主要都是針對開環(huán)模糊控制系統(tǒng)模型進行穩(wěn)定性分析的。此后有Tong何Tanaka,Sugeno以及我國學(xué)者陳建勤等人，針對單變量閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)模型分析了其穩(wěn)定性，并給出了系統(tǒng)穩(wěn)定條件。有趙明潔等人針對一類常見的非線性系統(tǒng)

27、，基于Popov超穩(wěn)定性理論，提出一種模糊自適應(yīng)控制器設(shè)計方案。該方案在模型匹配條件下能保證閉環(huán)系統(tǒng)的(漸進)穩(wěn)定性；當(dāng)模型匹配條件不滿足時，通過引入一個輔助控制量使系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。總之，盡管對于模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究已經(jīng)取得了不少成果，但至今還沒有一種統(tǒng)一和完善的模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。(五)模糊控制器的硬件實現(xiàn)常規(guī)的模糊控制器由計算機軟件編程實現(xiàn)，這樣要提高其實時性勢必是有困難的。因此，一些學(xué)者在模糊控制芯片和模糊計算機硬件實現(xiàn)方面進行了不少探索，并取得了一定的成果。如Togai等人在VLSI上實現(xiàn)了用于實時模糊控制推理的芯片，該模糊芯片可并行處理16條規(guī)則。它由規(guī)則庫存儲單元、推理芯

28、片、控制單元和輸入輸出接口四個部分組成，仿真研究表明該推理機每秒能處理25萬條模糊邏輯推理，比常規(guī)的軟件實現(xiàn)要快1萬倍，因而為模糊控制實時應(yīng)用提供了強有力的硬件支持。模糊控制理論的發(fā)展前景及所遇到的主要問題模糊控制從它的誕生至今，已從單純的理論到成功地應(yīng)用于工業(yè)控制5，成為人工智能的重要組成部分。目前，模糊控制技術(shù)變得幾乎無所不能，已成為自動控制技術(shù)領(lǐng)域中非常有前途的一個分支，應(yīng)用到國防、工業(yè)等眾領(lǐng)域，產(chǎn)生了巨大的社會效益和經(jīng)濟效益。模糊控制的發(fā)展大致有以下幾個方向：1) 符合模糊控制器。繼續(xù)研究模糊控制和PID控制器、變結(jié)構(gòu)控制器、模糊H控制器等的組合研究，設(shè)計出滿足各種不同指標(biāo)要求的控制器

29、。2) 和各種智能優(yōu)化算法相結(jié)合的模糊控制。各種智能優(yōu)化算法(如遺傳算法、模擬退火算法、粒子群優(yōu)化算法等)能夠?qū)δ：刂埔?guī)則進行動態(tài)尋優(yōu)，故能在線修改模糊控制規(guī)則，改善系統(tǒng)的控制品質(zhì)。3) 專家模糊控制。專家模糊是將專家系統(tǒng)技術(shù)與模糊控制相結(jié)合的產(chǎn)物。引入專家系統(tǒng)，可進一步提高模糊控制的智能水平，專家模糊控制保持了基于規(guī)則的方法和模糊集處理帶來的靈活性，同時又把專家系統(tǒng)技術(shù)的知識表達方法結(jié)合起來，能處理更廣泛的控制問題。4) 多變量模糊控制。研究多變量模糊控制中存在著的多變量耦合和“維數(shù)災(zāi)”等問題。5) 很多公開發(fā)表的文獻對所設(shè)計模糊控制器的穩(wěn)定性及魯棒性分析采用仿真實驗的方法，而采用理論分析

30、的較少。對混合模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性及魯棒性分析一般有2種方法：第1種方法利用模糊系統(tǒng)辨識的方法將控制對象變換為模糊模型表示，使整個系統(tǒng)變?yōu)榧兇獾哪：Ｐ停瑥亩刹捎媚：P(guān)系法及模糊相平面分析法等來檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性；第2種方法將控制器的模糊模型變?yōu)榇_定性的模型，從而混合模糊系統(tǒng)變?yōu)槌Ｒ?guī)的控制系統(tǒng)，進而可采用常規(guī)的方法來對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。例如描述函數(shù)法、圓判據(jù)法、一般相平面法及線性近似法等。而究竟采用模糊模型還是確定性模型則需要根據(jù)所設(shè)計系統(tǒng)的具體情況進行分析，因此選擇合適的理論方法對所設(shè)計和模糊控制器進行穩(wěn)定性及魯棒性分析也是模糊控制理論發(fā)展的方向之一。雖然模糊控制已經(jīng)獲得了很多成功的應(yīng)用，但是

31、仍有很多問題等待解決6：1) 建立一套系統(tǒng)的模糊控制理論，以解決模糊控制的機理、穩(wěn)定定分析、系統(tǒng)化設(shè)計方法、專家模糊控制系統(tǒng)、神經(jīng)模糊控制系統(tǒng)和多變量模糊控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計等一系列問題。2) 模糊控制在非線性復(fù)雜系統(tǒng)應(yīng)用中的模糊建模、模糊規(guī)則的建立和推理算法的深入研究。3) 模糊集成控制系統(tǒng)的設(shè)計方法研究。4) 自學(xué)習(xí)模糊控制策略的實現(xiàn)。5) 模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。模糊控制近年來已被證明是解決許多實際復(fù)雜建模和控制問題的一種有效方法。但模糊控制畢竟不如人對客觀對象的觀察和認識來得全面、深刻，因而若要達到真正的仿人智能的效果，仍然需要在工業(yè)生產(chǎn)過程應(yīng)用中使模糊控制不斷朝著自適應(yīng)、自組織、自

32、學(xué)習(xí)的方向發(fā)展。 T-S模糊控制的研究現(xiàn)狀T-S模糊控制系統(tǒng)是目前模糊控制領(lǐng)域最活躍的一個分支。該模型是Takagi和Sugeno在1985年提出的7，近年來許多學(xué)者對T-S模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計方法級穩(wěn)定性分析進行了研究。基于Lyapunov直接方法，Tanaka等人研究了T-S模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，最后的穩(wěn)定性判據(jù)歸結(jié)為在所有的局部子系統(tǒng)中尋找一個公共的正定矩陣P。然而，在工程應(yīng)用中對于實際控制對象，規(guī)則數(shù)一般較大，要尋找一個適合所有規(guī)則的公共正定矩陣P是非常困難的。其后Cao8，Johansson9，Zhang10等人作了進一步的研究。他們的研究結(jié)果在一定程度上放寬了Tanaka等人的穩(wěn)

33、定性判定條件，但也各自存在一些不足之處。文獻9研究了參數(shù)不確定的T-S模糊系統(tǒng)魯棒L2-L控制問題，對所有容許的不確定參數(shù)，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，得到了使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并滿足一定L2-L性能指標(biāo)的充分條件。Cao等人將T-S模糊系統(tǒng)視為一種線性不確定系統(tǒng)，沒有充分利用模糊規(guī)則前件輸入變量隸屬度的結(jié)構(gòu)信息，局部子系統(tǒng)的不確定上界較難確定。Johansson等人雖然李永樂輸入變量隸屬度的結(jié)構(gòu)信息，但局限于所尋找的分段Lyapunov函數(shù)的連續(xù)性，需在數(shù)量遠大于模糊規(guī)則數(shù)的局部區(qū)域內(nèi)分別尋找局部公共正定矩陣，穩(wěn)定性的判定較困難。Zhang等人采用的最大隸屬度去模糊法與常用的重心法相比，沒有充分利用激

34、活度較小的規(guī)則信息，應(yīng)用范圍有限。綜上所述，由于T-S模糊控制系統(tǒng)本質(zhì)上的非線性和復(fù)雜性，其穩(wěn)定性分析及系統(tǒng)化設(shè)計尚未得到完善的解決。1.4模糊理論研究的新方向“人類友好系統(tǒng)”今后控制理論面臨的突出問題是既要繼續(xù)發(fā)展自身理論，又要在應(yīng)用方面留下實實在在的成果。就此，模糊控制將有得天獨厚的優(yōu)勢。并且模糊控制模糊專家系統(tǒng)模糊控制工程將是構(gòu)成未來系統(tǒng)“人類友好系統(tǒng)”(Human-Friendly-System)的重要途徑。通常使用的機電設(shè)備性能越提高、越完善，對用戶知識和熟練技術(shù)的要求也越高，要百分百地發(fā)揮機器(系統(tǒng))性能就越難，特別在與計算機想關(guān)聯(lián)的技術(shù)中，有這種感受的傾向更為明顯。因此，從機器(

35、系統(tǒng))方面來說，應(yīng)該具有應(yīng)和使用者的能力，這就要求構(gòu)成一種“人類友好系統(tǒng)”。要求這種系統(tǒng)一方面對于人具有高度的“友好性”；另一方面要求對“誰”都是易于使用的。更進一步要求這種系統(tǒng)具有啟發(fā)使用者的能力，給予人類一種滿足感。人們對于一個高性能系統(tǒng)感到困難的往往是：1) 操作困難或易于誤操作2) 不知道操作方法或迷惑不解前者是硬件(界面-Interface)問題，后者是軟件(指令-Instruction或咨詢-Consultation)問題。構(gòu)成人類友好系統(tǒng)，首先要保存現(xiàn)有系統(tǒng)的各種長處。如果把目前專家系統(tǒng)中那種初步的或者是極其狹窄的，完全由邏輯體系構(gòu)成的知識稱為“微知識”，而那些“微知識”不能解決

36、的問題，需要由綜合的“宏知識”來解決的話，那么在微問題方面專家系統(tǒng)應(yīng)該比人們解決的更好；而宏問題方面在某種程度上，必須采用“模糊專家系統(tǒng)”。在人類友好系統(tǒng)中，重要的是要有直感、聯(lián)想、想象和意識等各種功能，來做綜合性問題的處理和創(chuàng)造性問題的求解。真正作為人類友好系統(tǒng)，必須像人們彼此間相互討論、相互交流的那樣具有理解自然語言的能力。通過對話，覺察問題內(nèi)在智慧，這就要求系統(tǒng)必須要有非常高度的智能。人類彼此之間之所以能進行對話，是因為有共同的語言、知識和思維方法，且具有模糊性，容易推敲對方意圖與問題關(guān)鍵；而人與計算機的知識、結(jié)構(gòu)、思維方法互不相同，各有所長，即使彼此間努力去迫近，還不如構(gòu)成一個具有“口

37、譯”功能的第三子系統(tǒng)，在人(第一子系統(tǒng))和計算機(第二子系統(tǒng))之間周旋為好。這個第三子系統(tǒng)應(yīng)該是人和計算機雙方都能明白，具有共識，能夠擁有推理意圖的高度人工智能系統(tǒng)。那么這種理想系統(tǒng)能否實現(xiàn)呢？好多學(xué)者認為關(guān)鍵是“模糊控制工程”，也就是未來“人類友好系統(tǒng)”的成功關(guān)鍵。因為，模糊理論是目前能用來表示現(xiàn)代水平自然語言的模糊意識的唯一理論，可以用它來構(gòu)造定性的邏輯思維模式，而且在某種程度上，有可能表示被稱為常識的“宏知識”。因此，模糊邏輯可以把人們的柔性思維模型化，通過嚴(yán)格的邏輯處理，就有可能構(gòu)成人與計算機之間的第三子系統(tǒng)。軟計算技術(shù)軟計算”(Soft Computing)概念是由模糊集理論的開創(chuàng)者

38、L.A.Zadeh教授在講授機器智能建模與計算方法時提出的。他把科學(xué)計算分為兩類，即硬計算與軟計算。硬計算以二元邏輯、鏈性系統(tǒng)和數(shù)值分析為基礎(chǔ)，以精確性和明確性為主要特征；軟計算則以模糊邏輯、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和概率推理為基礎(chǔ)，以近似性和不確定性為主要特征。由于軟件算的功能模型源自于人腦，它模仿人類的直覺并將其自動化，因此軟計算可以稱作為“自動化的智能估計”(Automated Intelligent Estimation)。在很多方面，軟計算反映了一種計算目的上的重要拓展，這種拓展表明了：人類大腦與當(dāng)今的計算機相比，突出之處是具有非凡的處理模糊的、不確定信息的能力。在軟計算中，允許近似性和不確定性是為

39、了獲得一種可以接受的求解途徑，對于一類多變量非線性復(fù)雜系統(tǒng)而言，此種求解途徑具有低成本、可行性和高智能等優(yōu)點。軟計算范疇主要包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論、模糊集理論、人工進化算法、粗糙集理論和一部分自學(xué)習(xí)算法。這些算法提供了開放性、魯棒性和智能性的基本特征，具有這種特征的信息處理系統(tǒng)被稱為“現(xiàn)實世界計算系統(tǒng)”(RWCS-Real World Computing System)。因此，軟計算是RWCS的關(guān)鍵組成部分，也是目前研究的前沿領(lǐng)域。2 問題描述2.1系統(tǒng)模型一類質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)圖2.1為一類質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖：圖2.1 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)本文中，我們將設(shè)計基于T-S模糊模型的方法

40、來設(shè)計模糊控制器使得如圖2.1所示的一個簡單的非線性機械系統(tǒng)保持穩(wěn)定。它假定了剛度系數(shù)的彈簧,阻尼器阻尼系數(shù)以及輸入非線性和不確定性，根據(jù)一個力學(xué)原理我們可以得到以下的動力學(xué)系統(tǒng)方程：（2.1）其中是質(zhì)量，是力。是對彈簧的非線性或不確定項,是對阻尼器的非線性或不確定項。是關(guān)于輸入條件非線性項。模糊化接下來我們用一種模糊化的方法，將系統(tǒng)（2.1）轉(zhuǎn)化為一個便于處理的T-S模糊系統(tǒng)11。為此，我們不失一般性，首先假設(shè)非線性項，和滿足如下的條件：,此外，假設(shè),。不難發(fā)現(xiàn)：（2.2）上述參數(shù)設(shè)置如下:然后,式（2.2）可以改寫如下:（2.3）非線性項和。非線性條件滿足下列條件和如圖2.2所示（2.4）

41、（2.5）圖2.2 非線性及其分區(qū)這一事實意味著,通過上界的非線性項可以由如下的表示：（2.6）由通過求解方程,得到了和如下:在。圖2.3顯示了模糊集。圖2.3 模糊集通過使用,非線性系統(tǒng)可以用下面的T S模糊模型if is and is ，then 。if isandis，thenifis andis，thenifisandis，then圖2.3顯示了模糊集在部分的前提。這個T S模糊模型可以通過引入矩陣表示如下:Plant Rule 1：IF isand is ，THEN。Plant Rule 2：IFisandis，THEN。Plant Rule 3：IFisandis，THEN。Pla

42、nt Rule 4：IFisandis，THEN。由此，我們根據(jù)式（2.2）可得如下的參數(shù)：這時，此T S模糊模型能準(zhǔn)確地代表了所對應(yīng)的質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性系統(tǒng)。需要注意的是我們假設(shè)這個模糊模型有著共同的B矩陣。不確定性在上述的過程中，我們根據(jù)一些模糊化的技術(shù)，將一個簡單的質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一個T S模糊系統(tǒng)，但這個結(jié)果是基于系統(tǒng)中的參數(shù)都是已知的，但在大多數(shù)實際情況下，系統(tǒng)參數(shù)因測量技術(shù)的原因或因在系統(tǒng)運行過程中存在參數(shù)的變化。針對這種情況，如果用以前的精確建模就會產(chǎn)生偏差，系統(tǒng)的魯棒性都得不到保證。接下來我們將上述的結(jié)果推廣到參數(shù)出現(xiàn)變化時的情況，為了說明問題的方便，我們假

43、設(shè)式（2.2）中的是未知的，并有未知參數(shù)使得。采用和上面一樣的策略，我們可以得到如下的T-S模糊系統(tǒng)：Plant Rule 1：IF isand is ，THEN。 （2.7）Plant Rule 2：IFisandis，THEN。 （2.8）Plant Rule 3：IFisandis，THEN。 （2.9）Plant Rule 4：IFisandis，THEN。 （2.10）由此，我們根據(jù)式（2.2）可得如下的參數(shù)：而。其中，是時變系統(tǒng)且滿足。本文的目的就是通過設(shè)計模糊控制器使得，系統(tǒng)(2.7)(2.10)可以是魯棒穩(wěn)定的。2.2本章小結(jié)本章中，我們首先引出一個簡單的質(zhì)量-彈簧-阻尼非線性

44、系統(tǒng)，同時根據(jù)一些模糊化的技術(shù)將其轉(zhuǎn)化成一個T-S模糊系統(tǒng)，但這個結(jié)果是基于系統(tǒng)中的參數(shù)都是已知的。考慮到實際情況中出現(xiàn)的各種變化因素會使精確建模出現(xiàn)偏差，我們采用同樣的方法，將上述結(jié)果推廣到參數(shù)出現(xiàn)變化時的情況，并得到一個T-S模糊系統(tǒng)。下一章將介紹狀態(tài)反饋控制的魯棒穩(wěn)定性分析。3 狀態(tài)反饋控制魯棒穩(wěn)定分析3.1模糊狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計針對第二章分析，不失一般性考慮如下的不確定T-S模糊系統(tǒng)，第個模糊規(guī)則如下：Plant Rule:IFisandandisThen（3.1）其中：是模糊集合；是IF_THEN模糊規(guī)則的數(shù)目；表示前件變量，并且全文我們假設(shè)前件變量是不依賴于輸入變量的；表示系統(tǒng)狀

45、態(tài)；為控制輸入；是已知的常數(shù)矩陣；是實值的未知矩陣代表時變的參數(shù)不確定性，并且具有如下形式：（3.2）其中是已知的常數(shù)矩陣，是未知的矩陣函數(shù)，滿足：（3.3）不確定矩陣被稱為是容許的如果條件（3.2）和（3.3）都滿足。采用單點模糊化，乘積推理，中心加權(quán)平均解模糊，動態(tài)模糊模型(3.1)可以表示為：（3.4）其中(3.5)（3.6）（3.7）表示模糊集在上的隸屬度函數(shù)。很容易看出（3.8）（3.9）及（3.10）（3.11）現(xiàn)在，利用并行分布補償機制，我們設(shè)計如下形式的模糊狀態(tài)反饋控制器：Control Rule:IFisandandisThen（3.12）由此，閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成如下形式（3.

46、13）接下來，我們將根據(jù)Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性原理，給出閉環(huán)系統(tǒng)（3.13）的魯棒穩(wěn)定性分析的結(jié)果。3.2 穩(wěn)定性分析3.2.1定理.1定理.1不確定T-S模糊系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的，如果存在矩陣使得下面的矩陣不等式成立：（3.14）其中（3.15）其中。3.2.2定理.1證明證明：為了證明這個定理，我們首先定義如下的候選的Lyapunov函數(shù)：沿系統(tǒng)（3.13）的軌線對時間求導(dǎo)，可得（3.16）由引理2.1，不難發(fā)現(xiàn)則由式（3.16）可得（3.17）令從式（3.17），容易得到對式（3.14）和式（3.15）分別用Schur補引理，我們可得（3.18）將式（3.18）代入式（

47、3.17），通過一些簡單的推理，可得對于任意此外，由于，始終可以找到兩個標(biāo)量滿足， （3.19）例如：令 因此，由式（3.19）和，根據(jù)Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性原理，可得不確定T-S模糊系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的。3.3 LMI形式的控制器設(shè)計3.3.1定理3.2在式（3.14）和式（3.15）中, 矩陣不等式中含有非線性項（如：），為了設(shè)計出便于Matlab 來計算，我們在下面給出線性矩陣不等式LMI結(jié)果12：定理3.2不確定T-S模糊系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的，如果存在矩陣,使得下面的線性矩陣不等式成立：（3.20）其中，（3.21）其中。在這種情況下，所設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器（3.12

48、）有如下的參數(shù)3.3.2定理3.2證明證明：由于，根據(jù)式（3.20）和式（3.21），我們可以得到即，有（3.22）令，對式（3.22），左邊的矩陣同時左乘和右乘, 則不難發(fā)現(xiàn)：基于定理3.1的證明，容易發(fā)現(xiàn)所考慮的系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的，則需證式可證。3.4本章小結(jié)本章中，我們主要分析了狀態(tài)反饋控制器的魯棒穩(wěn)定性。首先，我們在第二章的基礎(chǔ)上不失一般性的考慮了不確定T-S模糊系統(tǒng)的第i個模糊規(guī)則，并且利用并行分布補償機制設(shè)計了(3.13)形式的模糊狀態(tài)反饋控制器，同時根據(jù)Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性原理，通過定理3.1及其證明給出了閉環(huán)系統(tǒng)(3.13)魯棒穩(wěn)定性分析的結(jié)果。為了便于后

49、面的仿真實驗，我們通過定理3.2及其證明設(shè)計出了線性矩陣不等式LMI形式的控制器。下一章我們將進行仿真驗證。4 仿真驗證4.1緊湊型T-S模糊系統(tǒng)本章從一般的T-S模糊系統(tǒng)的角度考慮，得到了系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制下的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。現(xiàn)在我們將所得到的結(jié)果應(yīng)用到系統(tǒng)（2.7）（2.10），從而驗證質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)（2.2）的魯棒穩(wěn)定性。為了便于說明問題，我們再將系統(tǒng)（2.7）（2.10）寫成如下緊湊型T-S模糊系統(tǒng)：(i=1,2,3,4)Plant Rule i：IF is,and is ,，respectively, （4.1）THEN, i=1,2,3,4, respectively。 由此

50、，我們根據(jù)式（2.2）可得如下的參數(shù)：。接下來，我們用Matlab 里面的LMI工具箱來驗證結(jié)果：4.2程序內(nèi)容chenshuai.m%用LMI工具箱檢驗cleara1=0,-0.02;1,0a2=-0.1125,-0.02;1,0a3=0,-1.5275;1,0a4=-0.1125,-1.5275;1,0b1=1;0b2=1;0b3=1;0b4=1;0m1=-0.1125;0m2=m1m3=m1m4=m1n11=0n13=n11n12=1,0n14=n12n21=1n22=n21n23=n21n24=n21setlmis() x=lmivar(1,2 1) % define variable

51、 xy1=lmivar(2,1 2) % define variable y1y2=lmivar(2,1 2) % define variable y2 y3=lmivar(2,1 2) % define variable y3y4=lmivar(2,1 2) % define variable y4ep1=lmivar(2,1 1) % define variable ep1% 1st LMI ii=1lmiterm(1 1 1 x,a1,1,'s')lmiterm(1 1 1 y1,b1,1,'s')lmiterm(1 1 1 ep1,1,m1*m1'

52、;)lmiterm(1 2 1 x,n11,1)lmiterm(1 2 1 y1,n21,1)lmiterm(1 2 2 ep1,-1,1)% 1st LMI ii=2lmiterm(2 1 1 x,a2,1,'s')lmiterm(2 1 1 y2,b2,1,'s')lmiterm(2 1 1 ep1,1,m2*m2')lmiterm(2 2 1 x,n12,1)lmiterm(2 2 1 y2,n22,1)lmiterm(2 2 2 ep1,-1,1)% 1st LMI ii=3lmiterm(3 1 1 x,a3,1,'s')lmi

53、term(3 1 1 y3,b3,1,'s')lmiterm(3 1 1 ep1,1,m3*m3')lmiterm(3 2 1 x,n13,1)lmiterm(3 2 1 y3,n23,1)lmiterm(3 2 2 ep1,-1,1)% 1st LMI ii=4lmiterm(4 1 1 x,a4,1,'s')lmiterm(4 1 1 y4,b4,1,'s')lmiterm(4 1 1 ep1,1,m4*m4')lmiterm(4 2 1 x,n14,1)lmiterm(4 2 1 y4,n24,1)lmiterm(4 2 2

54、 ep1,-1,1)% 2nd LMI i=1,j=2lmiterm(5 1 1 x,a1,1,'s')lmiterm(5 1 1 y2,b1,1,'s')lmiterm(5 1 1 ep1,1,m1*m1')lmiterm(5 2 1 x,n11,1)lmiterm(5 2 1 y2,n21,1)lmiterm(5 2 2 ep1,-1,1)lmiterm(5 1 1 x,a2,1,'s')lmiterm(5 1 1 y1,b2,1,'s')lmiterm(5 1 1 ep1,1,m2*m2')lmiterm(5

55、 2 1 x,n12,1)lmiterm(5 2 1 y1,n22,1)lmiterm(5 2 2 ep1,-1,1)% 2nd LMI i=1,j=3lmiterm(6 1 1 x,a1,1,'s')lmiterm(6 1 1 y3,b1,1,'s')lmiterm(6 1 1 ep1,1,m1*m1')lmiterm(6 2 1 x,n11,1)lmiterm(6 2 1 y3,n21,1)lmiterm(6 2 2 ep1,-1,1)lmiterm(6 1 1 x,a3,1,'s')lmiterm(6 1 1 y1,b3,1,'s')lmiterm(6 1 1 ep1,1,m3*m3')lmiterm(6 2 1 x,n13,1)lmiterm(6 2 1 y1,n23,1)lmiterm(6 2 2 ep1,-