1、第一章 熱力學的基本規(guī)律11 試求理想氣體的體脹系數(shù)a，壓強系數(shù)b和等溫壓縮系數(shù)kT。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為由此得到 體脹系數(shù)，壓強系數(shù)等溫壓縮系數(shù)1.2試證明任何一種具有兩個獨立參量的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實驗測得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得： 如果，試求物態(tài)方程。解 以為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為其全微分為 (1)全式除以，有根據(jù)體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)的定義，可將上式改寫為 (2)有 (3)若，式(3)可表示為 (4)積分 (5)1.3測得一塊銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為和，和可近似看作常量，今使銅塊加熱至。問（1壓強要增加多少才能使銅塊體積不變？（2若壓強增加，銅塊

2、的體積改多少解：（1）有知，當時，有故 即 分別設(shè)為，由定義得： 所以，1.4 理想氣體，在的恒溫下發(fā)生膨脹，其壓強由準靜態(tài)地降到，求氣體所做的功和所吸取的熱量。解 將氣體的膨脹過程近似看作準靜態(tài)過程。根據(jù)式()，在準靜態(tài)等溫過程中氣體體積由膨脹到，外界對氣體所做的功為氣體所做的功是上式的負值，將題給數(shù)據(jù)代入，得在等溫過程中理想氣體的內(nèi)能不變，即根據(jù)熱力學第一定律(式()，氣體在過程中吸收的熱量為1.5在下，壓強在0至之間，測得水的體積為如果保持溫度不變，將的水從加壓至，求外界所做的功。 解 將題中給出的體積與壓強關(guān)系記為 (1)由此易得 (2)保持溫度不變，將的水由加壓至，外界所做的功為 在

3、上述計算中我們已將過程近似看作準靜態(tài)過程。1.6在和下，空氣的密度為。空氣的定壓比熱容，。今有的空氣，試計算：(a)若維持體積不變，將空氣由加熱至所需的熱量。 (b)若維持壓強不變，將空氣由加熱至所需的熱量。 (c)若容器有裂縫，外界壓強為，使空氣由緩慢地加熱至所需的熱量。 解 (a)由題給空氣密度可以算得空氣的質(zhì)量為定容比熱容可由所給定壓比熱容算出 維持體積不變，將空氣由加熱至所需熱量為(b)維持壓強不變，將空氣由加熱至所需熱量為 (c)若容器有裂縫，在加熱過程中氣體將從裂縫漏出，使容器內(nèi)空氣質(zhì)量發(fā)生變化根據(jù)理想氣體的物態(tài)方程為空氣的平均摩爾質(zhì)量，在壓強和體積不變的情形下，容器內(nèi)氣體的質(zhì)量與

4、溫度成反比。以、表示氣體在初態(tài)的質(zhì)量和溫度，表示溫度為時氣體的質(zhì)量，有所以在過程(c)中所需的熱量為將所給數(shù)據(jù)代入，得1.7抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入。當壓強達到外界壓強時將活門關(guān)上。試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能與原來在大氣中的內(nèi)能之差為，其中是它原來在大氣中的體積。若氣體是理想氣體，求它的溫度和體積。解 將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能與其原來在大氣中的內(nèi)能由式() (1)確定。由于過程進行得很迅速，過程中系統(tǒng)與外界沒有熱量交換，。過程中外界對系統(tǒng)所做的功可以分為和兩部分來考慮。一方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由變?yōu)榱恪Ｓ?/p>

5、于小匣很小，在將氣體壓入小匣的過程中大氣壓強可以認為沒有變化，即過程是等壓的(但不是準靜態(tài)的)。過程中大氣對系統(tǒng)所做的功為 另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過程中不受外界阻力，與外界也就沒有功變換，則因此式(1)可表為 (2)如果氣體是理想氣體，根據(jù)式()和(1.7.10)，有 (3) ， (4)式中是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式(2)即有 (5)活門是在系統(tǒng)的壓強達到時關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強也可看作，其物態(tài)方程為 (6)與式(3)比較，知 (7)1.8滿足PVn=C的過程稱為多方過程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證明，理想氣體在多方過程中的熱容量為解法一： 理想氣體多方過程 P

6、V = RT P V n = C 有 所以 另一方面，理想氣體 所以得 ， 證畢解法二：根據(jù)熱力學第一定律，有利用理想氣體的物態(tài)方程，可將可化為 (1)將上式微分，得 (2)將(2)代入(1)式，得，由于，即得1.10 假設(shè)理想氣體的Cp和CV之比是溫度的函數(shù)，試求在準靜態(tài)絕熱過程中T和V的關(guān)系。該關(guān)系試中要用到一個函數(shù)F(T)，其表達式為：解：準靜態(tài)絕熱過程中： （1）對于理想氣體，由焦耳定律知內(nèi)能的全微分為 (2)物態(tài)方程 （3）（2），（3）代入（1）得： （其中） 關(guān)系式為T的函數(shù) 為T的函數(shù)。 1.11利用上題的結(jié)果證明，當是溫度的函數(shù)時，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為。解 在是溫度的函

7、數(shù)的情形下，§1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式(1.6.18)仍然成立，即仍有 (1)， (2) (3)對于狀態(tài)1、4和2、3有下面的關(guān)系： (4) (5) 從這兩個方程消去和，得 (6)故 (7)所以在是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為 (8)1.13熱機在循環(huán)中與多個熱源交換熱量，在熱機從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為。試根據(jù)克勞修斯不等式證明，熱機的效率不超過。解 根據(jù)克勞修斯不等式(1.9.4)，有 (1) 式中是熱機從溫度為的熱源吸取的熱量(吸熱為正，放熱為負)。將熱量重新定義，可以將式(1)改寫為 (2)

8、式中是熱機從熱源吸取的熱量，是熱機在熱源放出的熱量，恒正。將式(2)改寫為 (3)假設(shè)熱機從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，必有 故由式(3)得 (4)定義為熱機在過程中吸取的總熱量，為熱機放出的總熱量，則式(4)可表為 (5)或 (6)根據(jù)熱力學第一定律，熱機在循環(huán)過程中所做的功為熱機的效率為 (7)1.14 理想氣體分別經(jīng)過等壓過程和等容過程，溫度由升至。假設(shè)是常數(shù)，試證明前者的熵增加值為后者的倍。 解 根據(jù)式()，理想氣體的熵函數(shù)可表達為 (1)在等壓過程中溫度由，升到時，熵增加值為 (2)根據(jù)式()，理想氣體的熵函數(shù)也可表達為 (3

9、)在等容過程中溫度由，升到時，熵增加值為 (4)所以 (5)1.15溫度為的水與溫度為的恒溫熱源接觸后，水溫達到。試分別求水和熱源的熵變以及整個系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過程的整個系統(tǒng)的熵保持不變，應如何使水溫從升至?已知水的比熱容為。解 的水與溫度為的恒溫熱源接觸后水溫升為，這一過程是不可逆過程。為求水、熱源和整個系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)想一個可逆過程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來不可逆過程中的同樣變化，通過設(shè)想的可逆過程來求不可逆過程前后的熵變。為求水的熵變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源，其溫度分布在與之間。令水依次從這些熱源吸熱，使水溫由升至。在這可逆過程中，水的熵變?yōu)?(1)水從升溫至所吸收的

10、總熱量為 為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為的另一熱源放出熱量。在這可逆過程中，熱源的熵變?yōu)?(2)由于熱源的變化相同，式(2)給出的熵變也就是原來的不可逆過程中熱源的熵變。則整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)?(3) 為使水溫從升至而參與過程的整個系統(tǒng)的熵保持不變，應令水與溫度分布在與之間的一系列熱源吸熱。水的熵變?nèi)杂墒?2)給出。這一系列熱源的熵變之和為 (4)參與過程的整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)?(5)1.16的電流通過一個的電阻器，歷時。 (a)若電阻器保持為室溫，試求電阻器的熵增加值。 (b)若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為，電阻器的質(zhì)量為，比熱容為，問電阻器的熵增加值為多少? 解 (a)以，為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想過程是在大氣壓下進行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。 (b)如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的焦耳熱將全部被電阻器吸收而使其溫度由升為，所以有，故1.17均勻桿的溫度一端為，另一端為。試計算達到均勻溫度后的熵增加值。解 以表示桿的長度。桿的初始狀態(tài)是端