1、一元二次方程培優專題復習考點一、概念 定義：|只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是 2,這樣的整式方程就是一元二次方程。 * * (2) 一般表達式：ax2 bx c 0(a 0)難點：|如何理解“未知數的最高次數是 2” ：該項系數不為“ 0”；未知數指數為“ 2”；若存在某項指數為待定系數，或系數也有待定，則需建立方程或不等式加以討論典型例題：例1、下列方程中是關于x的一元二次方程的是()21122_2.A、3x12 x 1 B> 2 0 C、ax bx c 0 D、x 2x x 1x x2_2 一變式：當k 時，關于x的方程kx 2x x 3是一元二次方程。例2、方程 m 2x

2、網 3mx 1 0是關于x的一元二次方程，則 m的值為針對練習: 1、方程8x2 7的一次項系數是 ,常數項是 一、一一 m 1 一、一 2、若方程 m 2x 0是關于x的一元一次方程，求m的值： ；寫出關于 x的一元一次方程： 。 3、若方程 m 1 x2 Jm?x 1是關于x的一元二次方程，則 m的取值范圍是 。 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點二、方程的IT概念：I使方程兩邊相等的未知數的值,就是方程的解。應用：利用根的概念求代數式的值；典型例題：例1、已知2y2 y 3的值為2,則

3、4y2 2y 1的值為。例2、關于x的一元二次方程 a 2x2 x a2 4 0的一個根為0 ,則a的值為。2例3、已知關于 x的一兀二次方程 ax bx c 0a 0的系數滿足 a c b,則此方程必有一根為。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的兩個根，b,c是方程y2 8y 5m 0的兩個根，則 m的值為針對練習: 1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2,則k為,另一根是 。X 1方程的2、已知關于x的方程x2 kx 2 0的一個解與方程 3的解相同。求 k的值;x 1另一個解。223、已知m是萬程x x 1 0的一個根，則代數式 m m 。224、已知a是x 3x 1 0的根，

4、則2a 6a 。25、方程abx bcxca 0的一個根為()A 1B 1C b cD a6、若 2x 5y 3 0,則 4x?32y。考點三、解法方法：|直接開方法;因式分解法；配方法；公式法關鍵點：|降次類型一、直接開方法：| x2 m m 0 , x 布222對于x a m, ax m bx n等形式均適用直接開萬法典型例題：222例 1、解萬程：1 2x2 8 0；2 25 16x2=0;3 1 x 9 0;2_例2、解關于x的萬程：ax b 0.2_2一例3、若9x 116 x 2 ，則x的值為。針對練習：|下列方程無解的是()2222A. x 3 2x 1 B. x 20 C. 2

5、x 3 1 x D. x 9 0類型二、因式分解法 ：x Xi x x20 x Xi,或x x2報程特點：口邊可以分解為兩個一次因式的積,右邊為“0”，、/ 4?工口 、 工12,22 .2 一行程形式：如 ax m bx n , x a x b x a x c , x 2ax a 0典型例題：13例1、2x x 35x3的根為（Cx1一, x232例2、若4x y2 3 4x0 ,則 4x+y的值為變式1 :b2 2b26 0,則a2b2變式2 :0,則x+y的值為變式3 :xyy 14xy28,則x+y的值為例3、方程0的解為A. x13,X2B. xi3,X2C.x13, X23 D.

6、x12, X2例4、解方程:2 .32.3 40得xi,x22例5、已知2x3xy 2y2x0,則一 xy的值為 y變式：已知2x223xy 2y0,且x0,y 0,則的值為x y針對練習:卜列說法中:方程x2px q20 的二根為 x1，x2,貝U x px q(x x1)(xx2)x2 6x(x 2)( x4).a2 5ab 6b2 (a2)(a 3)22/x y (xy)(Jx Jy)(Ux 6) 方程(3x1)2(3x17)(3x 1J7） 0正確的有（）A.1B.2C.3D.4個2、以1百與1<7為根的二次方程是oA. x22_2x 6 0 B. x 2x 6 0 C.2y 6

7、2y3、寫出一個次方程，要求二次項系數不為寫出一個二次方程，要求二次項系數不為1 ,且兩根互為倒數: 且兩根互為相反數：4、若實數x、y滿足x y 3 x y0 ,則x+y的值為（A、-1 或-25、方程： x2 - xB、-1 或 22的解是C、1或-2D、1 或 22x 6y0 ,求 l ¥的值。、3x y6、已知 76x2 xy J6y2 0,且 x 0, y類型三、配方法2ax bx c 0 a 02. 2b b 4ac2a4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數式的值或極值之類的問題。典型例題：例、已知x、y為實數，求代數式x22_.y 2x 4y 7的最小

8、值。針對練習:-211 ,八一 11、已知 x *一4 0,則*一 . xxx2、若 t 2 3 3x2 12x 9,則t的最大值為 ,最小值為 類型四、公式法條件：I a 0,且b2 4ac 0公式：xb b2 4ac,a2a0,且 b24ac 0典型例題：例、選擇適當方法解下列方程:2_(1)31 x 6. x 3 x 68.2. 一 x 4x 1 0一 2(4) 3x 4x 10 3 x 1 3x 1x 1 2x 5類型五、“降次思想”的應用求代數式的值；解二元二次方程組。 9x 1 3 x21典型例題：例1、已知x2 3x 2 0 ,求代數式-1x一1的值。x 1例2、如果x2 x 1

9、 0,那么代數式x3 2x2 7的值。2例3、已知a是一兀二次萬程 x 3x 1 0的一根,2a2 5aa2 1的值。考點四、根的判別式b2 4ac應用于其它根的判別式的作用： 定根的個數；求待定系數的值;典型例題：例1、若關于x的方程X2 2樂x 12例2、關于x的方程m 1 x 2mxA. m 0且m 1 B. m 0例3、已知關于x的方程x2 k 2 x0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是m 0有實數根，則 m的取值范圍是（）C. m 1 D. m 12k 0（1）求證：無論k取何值時，方程總有實數根；（2）若等腰 ABC的一邊長為1 ,另兩邊長恰好是方程的兩 個根，求 ABC的周長

10、。例4、已知二次三項式9x2 （m 6）x m 2是一個完全平方式，試求 m的值.例5、m為何值時，方程組2 一 2x 2y 6, mx y 3.有兩個不同的實數解？有兩個相同的實數解?針對練習:2一1、當k 時，關于x的二次二項式x kx 9是完全平方式。2、當k取何值時，多項式23x 4x 2k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么?23、已知萬程 mx mx 2 0有兩個不相等的實數根，則 m的值是:y kx 2,4、k為何值時，方程組 2（1）有兩組相等的實數解，并求此解；（2）有兩組不相y2 4x 2y 1 0.等的實數解；（3）沒有實數解.2 一一 25、當k取何值時，萬程 x 4

11、mx 4x 3m 2m 4k 0的根與m均為有理數？2（2012山東德州中考，15,4,）若關于x的方程ax 2（a 2）x a 0有實數解，那么實數 a的取值范圍是（2012湖北襄陽，12, 3分）如果關于x的一元二次方程kx2 22k 1 x+ 1 = 0有兩個不相等的實數根, 那么k的取值范圍是A kv 工 B kv 且 kw 0 C, kv d 工 w kv 且 kw 02 ,22222考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：2例1、關于x的方程 m 1 x 2mx 3 0有兩個實數根，則 m為，只有一個根，則 m為。例2、不解方程，判斷關于 x的方程x2 2x k k23根的情況

12、。例3、如果關于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有實數根，問這兩方程是否有相同的 根？若有，請求出這相同的根及 k的值；若沒有，請說明理由。考點六、應用解答題“碰面”問題；“復利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯 990次，問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人？3、北京申奧成功，促進了一批產業的迅速發展，某通訊公司開發了一種新型通訊產品投放市場，根據計 會 一、一 一、1% 1劃，第一年投入資金 600萬元，第二年比第一年減少 -，第三年比

13、第二年減少一，該產品第一年收入資321 一-、一、一 金名400萬兀，公司計劃三年內不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利-，要實現這一目標，該產3品收入的年平均增長率約為多少？（結果精確到0.1 , <13 3.61）4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克，銷售單價每漲 1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：（1）當銷售價定為每千克 55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過 10000元的情況下，使得月銷售利潤達到 8000元，銷售單價應定 為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以

14、每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）要使這兩個正方形的面積之和等于 17cm 2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm 2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度； 若不能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為36千米.甲從A地，乙從B地同時出發相向而行，兩人相遇后，甲再走 2小時 30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點七、根與系數的關系前提：|對于ax2 bx c 0而言，當滿足a 0、0時，才能用韋達定理。一、 、 一, - b c2）王要內谷： x2b,x1x2 常用變形：IIa a22(x1

15、 x2)(x1 x2)4x1x2 ,22211x1 x2x1x2(x1 x2) 2x1x2 一 一 ,x x2x x2|Kx2| &xx2)24x1x2,xx22x；x2x1x2(x1x2),222,x2 x1x1x2(x1 x2)4x1x2xx2>2XiX2應用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2 8x 7 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是() A. J3B.3C.6 D. v'6例2、解方程組:22 Xy J X J J。'例3、已知關于x的方程k2 *x22k 1 x 1 0有兩個不相等的實數根 x1，x2, （1）求k的取值范圍;（2）是否存在實數k,使方程的兩實數根互為相反數？若存在，求出例4、小明和小紅一起做作業，在解一道二次方程（二次項系數為k的值；若不存在，請說明理由。1）時，小明因看錯常數項，而得到解為8和2,小紅因看錯了一次項系數，而得到解為 應該是多少？-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解例5、已知a2a 1,b2 2b變式:2ab22b1 0,則b一的值為a已知是方程0的兩個根,那么針對練習已知a27ab2 7b4 (a的值。2、已知x1,x2是方程 b2x x 9 0的兩實數根，求3 x127 x23x2 66 的值。225ab b 3a 14