1、全等三角形的提高拓展訓練知識點睛 全等三角形的性質：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角(3)有公共邊的，公共邊常是對應邊(4)有公共角的，公共角常是對應角(5)有對頂角的，對頂角常是對應角(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應邊(或對應角)，一對最短邊(或最小角)是對應邊(或對應角)要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵全等三角形的判定方法

2、：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對應相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小關系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基

3、礎例題精講板塊一、截長補短【例1】 (年北京中考題)已知中，、分別平分和，、交于點，試判斷、的數量關系，并加以證明 【例2】 如圖，點為正三角形的邊所在直線上的任意一點(點除外)，作，射線與外角的平分線交于點，與有怎樣的數量關系?【變式拓展訓練】如圖，點為正方形的邊上任意一點，且與外角的平分線交于點，與有怎樣的數量關系？ 【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，連結、相交于點求證：平分 【例5】 (北京市、天津市數學競賽試題)如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求

4、的周長 【例6】 五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°， 求證：AD平分CDE板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數. 【例8】在等腰中，頂角，在邊上取點，使， 求. 【例9】(“勤奮杯”數學邀請賽試題) 如圖所示，在中，又在上，在上，且滿足，求. 【例10】 在四邊形中，已知，求的度數.【例11】 (日本算術奧林匹克試題) 如圖所示，在四邊形中，求的度數. 【例12】 (河南省數學競賽試題) 在正內取一點，使， 在外取一點，使，且，求. 【例13】 (北京市數學競賽試題) 如圖所示，在中，為內一點，使得，求的度數.全等三

5、角形證明經典20題（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數，求ADADBC延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整數,則AD=5 BACDF21E2. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC證明：過E點，作EG/AC，交AD延長線于G則DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEF/ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC3. 已知：

6、AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CACDB證明：在AC上截取AE=AB，連接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CECE=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C4. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：AE=AD+BE證明： 在AE上取F，使EFEB，連接CF 因為CEAB 所以CEBCEF90° 因為EBEF，CECE， 所以CEBCEF 所以BCFE 因為BD180°，CFECFA180° 所以DCFA 因為AC平分

7、BAD 所以DACFAC 又因為ACAC 所以ADCAFC（SAS） 所以ADAF 所以AEAFFEADBE 5. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF.ABE=FBE,BE=BE,則ABEFBE(SAS),EFB=A;AB平行于CD,則:A+D=180°又EFB+EFC=180°,則EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.6.已知，E是AB中點，AF=BD，BD=5，AC=7，求FAEDC

8、BDC作AGBD交DE延長線于GAGE全等BDE AG=BD=5AGFCDF AF=AG=5所以DC=CF=27（5分）如圖，在ABC中，BD=DC，1=2，求證：ADBC延長AD至H交BC于H;BD=DC;所以:DBC=角DCB;1=2;DBC+1=角DCB+2;ABC=ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;BAD=CAD;AD是等腰三角形的頂角平分線所以:AD垂直BC8（5分）如圖，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B為垂足，AB交OM于點N求證：OAB=OBA因為AOM與MOB都為直角三角形、共用OM，且MOA=MOB所以MA=MB所以MAB=MBA因為OAM=

9、OBM=90度所以OAB=90-MAB OBA=90-MBA所以OAB=OBA9（5分）如圖，已知ADBC，PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D求證：AD+BC=AB證明：做BE的延長線，與AP相交于F點，PA/BCPAB+CBA=180°，又，AE，BE均為PAB和CBA的角平分線EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB為直角三角形在三角形ABF中，AEBF，且AE為FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB，三角形DEF與三角形BEC為

10、全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC10（6分）如圖，ABC中，AD是CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：C=2B證明：在AB上找點E，使AE=ACAE=AC，EAD=CAD，AD=ADADEADC。DE=CD，AED=CAB=AC+CD，DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEB=EDBC=B+EDB=2B11（7分）如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE證明：延長BA、CE，兩線相交于點F BECE BEF=BEC=90° 在BEF和BEC中 FB

11、E=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+ADB=90°,ACF+CDE=90° 又ADB=CDE ABD=ACF 在ABD和ACF中 ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90° ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE12、（10分）如圖：AE、BC交于點M，F點在AM上，BECF，BE=CF。求證：AM是ABC的中線。證明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中線. 13、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延長線上的一點。求證：

12、BF=CF證明：在ABD與ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDACDADB=ADCBDF=FDC在BDF與FDC中BD=DCBDF=FDCDF=DFFBDFCDBF=FC14、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。因為AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因為 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DEDBCcAFE15.已知：如圖所示，ABAD，BCDC，E、F分別是DC、BC的中點，求證： AEAF。 連結BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰兩底角相

13、等得：角ABC=角ADC 在結合已知條件證得：ADEABF得AE=AF16如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，1=2，3=4，求證: 5=6 因為角1=角23=4所以角ADC=角ABC.又因為AC是公共邊，所以AAS=>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以5=6ACBDEF17已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CD證明：因為 AB=AC， 所以 EBC=DCB 因為 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共邊) 則有 三角形EB

14、C全等于三角形DCB 所以 BECD18.如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F。AEBDCF求證：DE=DFAAS證ADF19在ABC中，直線經過點，且于，于.(1)當直線繞點旋轉到圖1的位置時，求證： ；(2)當直線繞點旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1） 證明：ACB=90°，ACD+BCE=90°，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD=CBE在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，證明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90°ACD=CBE AC=CB