1、資源信息表標(biāo)題：11.2直線的傾斜角和斜率關(guān)鍵詞：直線、傾斜角、斜率描述：教學(xué)目標(biāo)理解傾斜角與斜率的概念；建立傾斜角、斜 率與直線方向向量、法向量的關(guān)系；認(rèn)識(shí)事物問(wèn) 聯(lián)系的本質(zhì)，體會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)直線的傾斜角、斜率的概念；已知傾斜角、斜率、方向向量中的一個(gè)，求 其它兩個(gè).學(xué)科：高二年級(jí) 數(shù)學(xué)第二冊(cè) 11.2語(yǔ)種：漢語(yǔ)媒體格式：教學(xué)設(shè)計(jì).doc學(xué)習(xí)者：學(xué)生資源類型：文本類素材教育類型：高中教育 高中二 年級(jí)作者：?jiǎn)挝唬旱刂罚篍mail:11.2 直線的傾斜角和斜率1、 教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)的重點(diǎn)是直線傾斜角和斜率的概念. 引入斜率和傾斜角是為了刻畫(huà)直線和X軸間的相對(duì)位置關(guān)系，是由

2、于進(jìn)一步研究直線方程的需要. 在直線傾斜角和斜率學(xué)習(xí)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生理解傾斜角與斜率的相互聯(lián)系，以及它們與三角函數(shù)知識(shí)的聯(lián)系 .本節(jié)的難點(diǎn)是當(dāng)斜率為負(fù)值或斜率不存在時(shí)，求直線的斜率；弄清傾斜角、斜率與直線方向向量、法向量的聯(lián)系，已知其中一個(gè)，會(huì)求其它三個(gè).2、 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)理解傾斜角與斜率的概念; 建立傾斜角、斜率與直線方向向量、法向量的關(guān)系；認(rèn)識(shí)事物間聯(lián)系的本質(zhì)，體會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)直線的傾斜角、斜率的概念以及它們之間的關(guān)系；已知傾斜角、斜率、方向向量中的一個(gè)，求其它兩個(gè)四、教學(xué)用具準(zhǔn)備投影儀，ppt演示 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、復(fù)習(xí)引入第一節(jié)中，我們學(xué)習(xí)

3、了一次方程 ax +by+ c = 0（a,b不全為0）是 直線的方程，即可以用方程這個(gè)代數(shù)形式描述直線這個(gè)幾何曲 線.任意兩條直線都可以構(gòu)成角，為了把它代數(shù)化，我們用第三 條直線去交這兩條直線，如果知道它們各自與第三條直線所交 成的角，那么它們構(gòu)成的角就可以算出.我們?nèi)軸作為第三條直線，考慮任意直線與x軸構(gòu)成的角.二、講授新課1、概念引入什么是傾斜角？給出一些與x軸相交的直線(如y =x-1,y = -x-1,x=1),學(xué) 生對(duì)照?qǐng)D形，給出傾斜角的定義，教師幫助規(guī)范語(yǔ)言，完善概 念.若直線l與x軸相交于點(diǎn)M ,將x軸繞點(diǎn)M逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 至與直線l重合時(shí)所成的最小正角0t叫做直線l的傾斜角

4、.那么y =3的傾斜角怎么規(guī)定呢？當(dāng)直線 l與x軸平行或重合(即l與y軸垂直)時(shí)，規(guī)定其傾斜角口 =0 .根據(jù)定義，直線的傾斜角口的取值范圍是0M).特別地，l與x軸垂直時(shí)，口什么是斜率當(dāng)口 #工時(shí)，記0f的正切值為k ,把k =tana叫做直線l的斜 212 / 11率；當(dāng)時(shí)，直線l的斜率k不存在.2、概念深化隨著傾斜角a在0,叼內(nèi)的取值逐漸增大，斜率的值如何變化呢?當(dāng)口 ¥ "時(shí) 斜率k =tanot存在，作出y =tanot在0, " ）U （工，江） 222的圖像，正切函數(shù)y=tana在區(qū)間0,2）為單調(diào)增，在區(qū)間（Ln）22內(nèi)也是單調(diào)增，但在0,3U（L

5、n）內(nèi)，卻不具有單調(diào)性. 22得到以下結(jié)論：（1） 0 _ :：二一2隨著傾斜角u的不斷增大，直線斜率不斷增大，k w 0,收）.（2） 一 ：二：二2隨著傾斜角口的不斷增大，直線的斜率不斷增大，k （-二，0.）反之，k 0時(shí),二（0,一）； k =0時(shí)，二=0； k ：二0時(shí)，;（一，二）. 22直線l的傾斜角久、斜率k、方向向量d之間有什么關(guān)系？已知其中一個(gè)可以求其它兩個(gè)嗎？（1）已知傾斜角久當(dāng)c（#二時(shí) k=tana；當(dāng)口=，時(shí)，斜率k不存在. 22方向向量I =（r cos%r sin"）, r =0.特別地，當(dāng)土?xí)r，顯然 2rcosa#0,則（8",而）=（1卜

6、）也是直線的一個(gè)方向向量. r cos 二 r cos ;（2）已知斜率k （"#；）當(dāng)k之0時(shí)，由口三0,：）,故傾斜角a = arctan k ；當(dāng)k < 0時(shí)， 由 uw （一,冗），故 a =冗+arctan k .由于，直線的一個(gè)方向向量d = (1,k).2(3)已知一個(gè)方向向量d = (u,v)當(dāng)u = 0時(shí) 直線垂直x軸，k不存在 a =;當(dāng)u/0時(shí)2d=(1,v)也是一個(gè)方向向量，而k存在，再由上面的分析知(1,k)也 u是方向向量，故k=v (這個(gè)結(jié)論也可以從幾何角度研究得到)； u傾斜角的研究要根據(jù)k=v的符號(hào)討論(請(qǐng)學(xué)生課后自行完成). u思考：法向量，

7、傾斜角，斜率又有何關(guān)系？(請(qǐng)學(xué)生課后自行完成)3、例題解析例1 .已知直線l上兩點(diǎn)A,B ,求直線l的傾斜角a和斜率k .(1) A(1,3), B(5,-1)； A(1,2), B(1,-1);(3) A(0,5), B(1,5).說(shuō)明本題考察學(xué)生對(duì)傾斜角、斜率定義和關(guān)系的掌握.一i般，當(dāng)X1 # X2日寸，過(guò)兩點(diǎn)A(x1, y1), B(x2,y2)的直線的斜率 k = y2 -y1 ；當(dāng)k=X2時(shí)，直線斜率不存在.X2 -XI I解： 直線的一個(gè)方向向量為d=7B = (4, Y),故k = -4 = 143a =冗 +arctan(-1)=n；4一 ,.,，、,人、，一、.1 一一，1

8、(2)直線的一個(gè)萬(wàn)向向量為d=AB=(0,-3)，故k不存在，口 = 1兀；2(3)直線的一個(gè)方向向量為d=/=(1,0),故k=0,3=0； -i思考：已知直線l過(guò)兩點(diǎn)A(a,0), B(0,b),直線l的傾斜角u和斜率k是什么？例2. (1)已知直線斜率k=-2,求傾斜角a及一個(gè)方向向量； (2)已知直線l的一個(gè)方向向量為4=(后-3),求直線l的傾斜角和斜率.說(shuō)明本題考察直線傾斜角、斜率、方向向量之間的關(guān)系.解：(1) k = 一2 <0,故a 為專屯角，a = n +arctan(-2) =n -arctan 2 ;直線的一個(gè)方向向量d =(1,k) =(1,-2)；/ c 一一

9、3一 一-2(2) k=7 = V3<0, 3 = n+arctank =冗 +arctan(->/3)=、冗.注意：通過(guò)k求a時(shí)，要先判斷k的符號(hào)，若k A0,支=arctank為銳角；若k <0, 口 =兀+ arctan k為鈍角；若 k =0, 口 =0 .例3.已知M(2m+3,m), N(m-2,1),當(dāng)m取何值時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角、直角、鈍角？說(shuō)明本題主要涉及傾斜角和斜率的關(guān)系.解：若直線MN 的傾斜角為銳角，則k = y1 - y2 =m211= m11 >0, 故 m<-5 或 m>1; 若直線Xi -x2(2m 3) -(m -2)

10、 m 5MN的傾斜角為直角，則k = m-1不存在，故m = -5;若直線MN m 5的傾斜角為鈍角，則k=3<0,故_5<m"m 5思考：m=1時(shí)，直線MN的傾斜角為何值？例4.求直線y =sina|Jx十1的傾斜角的范圍說(shuō)明本題主要涉及傾斜角和斜率關(guān)系的應(yīng)用.解：設(shè)傾斜角為 M由題意知斜率k=sinae_1,1；1當(dāng) kw1,0)時(shí)，P 為鈍角，P=n+arctank,由翻k= 0-jt,43得 B = n + arctan k 匚一 n ,n);4當(dāng) kw(0,1時(shí)，B 為銳角，得 P=arctankw(0，；4當(dāng) k=0 時(shí)，P=0;綜上所述，傾斜角的取值范圍是0

11、U3二,二). 44說(shuō)明上題的a不是傾斜角.解題時(shí)需注意當(dāng)k的符號(hào)不同時(shí)須分開(kāi)討論，因?yàn)閗>0,傾斜角為銳角；k<0,傾斜角為鈍角.思考：若已知傾斜角«-,2,斜率k的取值范圍是什么？4 3例5.已知M(-1,-5), N(3,-2),若直線l的傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，求直線l的斜率.說(shuō)明本題主要涉及傾斜角、斜率定義及其應(yīng)用.解：設(shè)直線l的傾斜角為a ,則MN的傾斜角為2c(.由2口 w 0, n )得K0；).由已知 tan2a=kMN=仝*=3，二2"二 ,即23 -(-1) 4 1 - tan a 42 13 t a n + 8at -a n=.解

12、彳枳tan= -成一，由 c( w 0, )但 tana > 0 ,32故tana = 1直線l的斜率為-. 33說(shuō)明傾斜角的范圍2uw0,n)是一個(gè)隱含的條件，由它得到的 咱0,2)是一個(gè)舍解的條件.例6.已知P(3,-1),M(5,1),N(2,73-1),直線l過(guò)P點(diǎn)且與線段MN相交，求：(1)直線l的斜率k的取值范圍；(2)直線l的傾斜角a的范圍.說(shuō)明本題主要涉及傾斜角和斜率定義和關(guān)系的靈活應(yīng)用.解：(1) kpM JE =1, kpN ;二73,故kw (口,_73U1,f)； 5-32-3(2)當(dāng)YD時(shí)，傾斜角a嗚|叼;當(dāng)YL)時(shí), 二 二一二 r “人 y ，- r: 2a

13、W一,)；又a =也付合題息，綜上，aW一,一叼.4 224 3說(shuō)明先畫(huà)出圖形，在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)要多注意數(shù)形結(jié)合.三、鞏固練習(xí)1 .已知直線的傾斜角為 。，且cosx=3 ,則直線的斜率為5.2 .經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0), B (5, 3兩點(diǎn)的直線的斜率是 ，傾斜角是.3 .下列命題中正確的是(1)若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等；(2)若兩直線的斜率相等，則它們的傾斜角也一定相等；(3)若兩直線的傾斜角不相等，則它們中傾斜角大的，斜率也 大；(4)若兩直線的斜率不相等，則它們中斜率大的，傾斜角也大.4 .過(guò)A(1a,1+a), B(3,2a)的直線的傾斜角為專屯角，貝U實(shí)數(shù) a的取 值范圍是.5 .直線x yc o - s- -8 一 小 0 ( R的傾斜角的取值范圍是6 .過(guò)P(-1,-封的直線l與y軸的正半軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求直線l的 傾斜角的范圍.7 .直線l x-2y+2=0的傾斜角大小為a , l與y軸交于點(diǎn)P,將l 繞P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得直線求l，的方程.說(shuō)明相關(guān)的例題和練習(xí)請(qǐng)教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際選用.四、課堂小結(jié)1 .傾斜角與斜率的概念；2 .斜率和傾斜角的相互聯(lián)系，傾斜角、 斜率與直線方向向量、法向量的相互聯(lián)系五、課后作業(yè) 書(shū)面作業(yè)：習(xí)題11 .2A組1-10, B組1-3七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1 .分類討論的思想在這節(jié)里，斜率k和傾