1、第7章 差分方程模型7.1 市場經濟中的蛛網模型7.3 差分形式的阻滯增長模型7.4 按年齡分組的種群增長§7.1 市場經濟中的蛛網模型例1 蛛網模型問題問題的提出 蛛網模型現象 供大于求 -> 價格下降 -> 減少產量 數量與價格在振蕩 增加產量 <- 價格上漲 <- 供不應求 提出的問題 1.描述商品數量與價格的變化規律 2.商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定 3.當不穩定時政府能采 取什么干預手段使之穩定模型分析與假設蛛網模型設第k時段商品數量；第k時段商品價格消費者的需求關系 需求函數 減函數fxy0生產者的供應關系 供應函數 增函數gx0y0

2、P0f與g的交點P0(x0,y0) 平衡點一旦xk=x0，則yk=y0xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 方程模型在P0點附近用直線近似曲線 P0穩定 P0不穩定 方程模型與蛛網模型的一致 模型的求解考察 , 的含義xk第k時段商品數量；yk第k時段商品價格a 商品數量減少1單位, 價格上漲幅度b 價格上漲1單位, (下時段)供應的增量a 消費者對需求的敏感程度 a小, 有利于經濟穩定b 生產者對價格的敏感程度 小, 有利于經濟穩定 經濟穩定經濟不穩定時政府的干預辦法1. 使盡量小，如=0 需求曲線變為水平 以行政手段控制價格不變2. 使盡量小，如 =0 供應曲線變為豎

3、直 靠經濟實力控制數量不變 xy0x0gfxy0y0gf模型的推廣 生產者管理水平提高 生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。 設供應函數為 需求函數不變 二階線性常系數差分方程若x0為平衡點 研究平衡點穩定，即¥, xkx0的條件方程通解 (c1, c2由初始條件確定)l特征根，即方程 2*+ =0的根 平衡點穩定，即, xkx0的條件: 平衡點穩定條件比原來的條件放寬了7.3 差分形式的阻滯增長模型連續形式的阻滯增長模型 (Logistic模型)x(t) 某種群 t 時刻的數量(人口) , xN, x=N是穩定平衡點(與r大小無關)離散形式 yk 某種群第k代的數

4、量(人口)若yk=N, 則yk+1,yk+2,=Ny*=N 是平衡點討論平衡點的穩定性，即®¥, yk®N ？離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩定性 變量代換 一階(非線性)差分方程 (1) 的平衡點y*=N <-> (2)的平衡點 討論 x* 的穩定性一階非線性差分方程的平衡點及穩定性(1) 的平衡點 x*代數方程 x=f(x)的根(1) 的近似線性方程 穩定性判斷 x*也是(2)的平衡點 x*是(2)和(1)的穩定平衡點 x*是(2)和(1)的不穩定平衡點的平衡點及其穩定性 平衡點 另一平衡點為 x=0穩定性 <-> <->

5、 x* 穩定 不穩定 <-> x* 不穩定 的平衡點及其穩定性 Kb=1.7b=2.6b=3.3b=3.45b=3.5500.20000.20000.20000.20000.200010.27200.41600.52800.55200.568020.33660.63170.8224 0.85320.871130.37960.60490.48200.43220.3987930.41180.61540.4794 0.44740.5405940.41180.61540.82360.85300.8817950.4118 0.61540.47940.43270.3703960.41180.6

6、1540.82360.84690.8278970.41180.61540.47940.44740.5060980.41180.61540.82360.85300.8874990.41180.61540.47940.43270.35481000.41180.61540.82360.84690.8127數值計算結果 初值 x0=0.2 b <3, xb=3.3, x兩個極限點b=3.45, x4個極限點b=3.55, x8個極限點倍周期收斂x*不穩定情況的進一步討論 單周期不收斂 2倍周期收斂 (*)的平衡點 x*不穩定，研究x1*, x2*的穩定性倍周期收斂 的穩定性 x1*x2*x*b=

7、3.4y=f(2)(x)y=xx0 倍周期收斂的進一步討論 x1*, x2* (及x*)不穩定出現4個收斂子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3平衡點及其穩定性需研究 時有4個穩定平衡點 4倍周期收斂2n倍周期收斂, n=1,2, bn 2n倍周期收斂的上界b0=3, b1=3.449, b2=3.544, ¥, bn3.57b>3.57, 不存在任何收斂子序列 混沌現象的收斂、分岔及混沌現象b7.4 按年齡分組的種群增長不同年齡組的繁殖率和死亡率不同以雌性個體數量為對象建立差分方程模型，討論穩定狀況下種群的增長規律假設與建模種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2, , n時間離散為時段，長度與年齡組區間相等，記k=1,2,第i 年齡組1雌性個體在1時段內的繁殖率為bi第i 年齡組在1時段內的死亡率為di, 存活率為si=1- dixi(k)時段k第i 年齡組的種群數量(設至少1個bi>0)Leslie矩陣(L矩陣)按年齡組的分布向量 預測任意時段種群按年齡組的分布數學知識的分析L矩陣存在正單特征根l1，特征向量 若L矩陣存在bi, bi+1>0, 則 且, c是由bi, si, x(0)決定的常數解釋 L對角化 P的第1列是x* 模型的求解穩態分析k充分大種群按年齡組的分布 種群按年齡