1、2020屆二輪（理科數學）最值、范圍、證明專題 專題卷（全國通用）2 2x y1.橢圓a+ g= 1(ab0)的左右焦點分別為F* 1,重合的直線I交橢圓于A、B兩點.= |BFJ ,|AF| =|BF|，即F1F2為邊AB上的中線，二FF丄AB在 RtAF1F2若厶ABF為正三角形, 求橢圓的離心率;若橢圓的離心率滿足0vev乓21，O為坐標原點,求證：|OA2+|OB2V|AB|.解:由橢圓的定義知|AF| + |AFF= |B冋+ |BF,中，cos 304a則沁，橢圓的離心率為罟3證明:、-1設A(x1,y1) ,B(x2,y2)，: 0vev，c= 1,二a 1 + 方.當直線444

2、1y2bT Tba+ 3a 1AB與x軸垂直時，2+2= 1,y=2,0A-0E3= X1X2+ yy = 1-a ba232a-22a* 54, a23+2f5, OA-OB 0，/AOB亙為鈍角，.lOA2+|OB2V|AB2 2當直線AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+ 1）,代入?+寺=1,整理_oak得，(b2+a2k2)x2+ 2k2a2x+a2k2-a2b2=0, x1+X2=bTk2 2邁2,XlX2=2. 22. 2a ka bT T22牙,0A-0E=X1X2b+a k2+y12=X1X2+k(X1+ 1)(X2+ 1)2 2 2=X1X2(1 +k) +k

3、(X1+X2)+k=(a2k2-a2b2)( 1 +k2)- 2a2k4+k2(b2+a2k2).2 , 2. 2b+a k.2/2.22.2、2.2/4只2八2. 2k(a+b-a b)-a b k(-a+ 3a- 1)-a b令m(a) =-a4+ 3a2- 1,由可知m(a)v0,二/AOB恒為鈍角，恒有 |OA?+1OEB2b0）的離心率，Fi,F2分別為左、右焦點，過Fi的直線交橢圓C于P, Q兩點，且PQF的周長為 6.0）、F2（1 ,|AFd2020屆二輪（理科數學）最值、范圍、證明專題 專題卷（全求橢圓C的方程；設過點M3 , 0)的直線交橢圓C于不同兩點 A,B,N為橢圓上

4、一點，且滿足OAF0B-tOO為坐標原點)，當|AB3時，求實數t的取值范圍.2 2 . 22c ab322解析：(1 廠飛2=十=3,.a2= 4b2.a a422X2又T4a= 8，a= 2,.b= 1，橢圓C的方程是+y= 1.(2)設A(xi,yi),0X2,y2),N(x,y),AB的方程為y=k(x 3),y=k(x 3)由x22，整理得(1 + 4k2)x2 24k2x+ 36k2 4 = 0.4+y=1,2 42221由厶=24k 16(9k 1)(1 + 4k) 0，得kv.52 24k36k 4X1+X2= 2,X1X2=1 + 4k 1 + 4k 6AFOB=(X1+X2

5、,1+y2)=t(x,y),124k211 6k則x=t(x1+X2)=t(+4k2),y=f(y1+y2) =fk(x1+ %) 6k =t(1+4k2)又由 |AB= , 1 +k2|X1X2|v3，即(1 +k2)(X1+X2)2 4x1X2v3 ,22221121化簡，得(8k 1)(16k+ 13) 0,則 8k 1 0 ,k，:vkv. 8 8 5t2由，得k=2,聯立，解得 3v12v2.36 4t2vtv3 或.3vtv2,即t(2, 3)U(3,2).2 2y x223.設橢圓M j+ f= 1(ab0)的離心率與雙曲線xy= 1 的離心率互為倒數，且內2 2切于圓x+y=

6、2.(1) 求橢圓M的方程；(2) 若直線y= .2x+m交橢圓于 A,B兩點，且P(1 ,2)為橢圓上一點，求厶PAB的面積的最大值.由點N在橢圓上，得“ 2、2 . 2(24k)144k+ 2=4,化簡得36k2=t2(1 + 4k2).2將X1+X2,X1X2代入得(1 +k)24224k4 (36k 4)(1 + 4k2)21 + 4k2v3解：(1)由雙曲線的離心率為、2，得橢圓的離心率e=a22 2易知圓x+y= 4 的直徑為 4,所以 2a= 2.2a=4,由a=M得.2 2 2b=acy=. 2X+m由X2y2得4X2+2mx+ m-4= 0.2+4 =1，由A= (2 乖m2

7、- 16(m-4) 0,得一 2 羽v me2 乖.2Am- 4X1X2=:, |AB= 1 + 2 |X1-X2| = 3 (X1+X2)24X1X2又點P到直線AB的距離d=im-,則SPAB=2|ABd=1x3x4-mJ：=2 22；= 2,m= 2 ( 2 2, 2 2)時取等號.故PAB的面積的最大值為，2.24.已知圓 G:X2+y2-2X-2y=0 經過橢圓字+卷=1(ab 0)的右焦點F及上頂點B.5 n.過橢圓外一點Mm0)(ma)作傾斜角的直線l交橢圓于C, D兩點.6(1) 求橢圓的方程；(2) 若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的內部，求m的取值范圍.解：(1)T圓G X2+y2-2xJ2y= 0 經過點F,B,F(2 , 0) ,B(0,2) ,c= 2 ,b= 2 ,2 2222Xya=b+c= 6，橢圓的方程為 += 1.a= 2,c=2,b=2,故橢圓M的方程為2 2yX+ -= 1.42設A(xi,yi),RX2,y2).當且僅當-Xi+X2=2mi4m- 2=2 / 2m( 8-m) 0，解得一2 3 6,.6n 2 3.設C(xi,yi),D(X2,y2)，貝Uxi+X2=mXiX2=,/yiy2=(xim-3(X2m2imm=XiX2 3(Xi+X2)+ -.TFC=(xi2,yi),FD=(X22,y2),T T4FC-