1、 向量的物理背景與概念及向量的幾何表示一、教學目標：1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；2.掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；3.會區分平行向量、相等向量和共線向量.二、教學重難點：1.理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.2.平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.三、教學過程： 新課學習： （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。（二）提問：1、數量與向量有何區別？（數量沒有方向而向量有方向）2、如何表示向量？ 3、有向線段和線段有何區別和聯系？分別可以表示向量的什么？4、長度為零的向

2、量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關系？7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系？ （三）探究學習A(起點) B（終點）a1、數量與向量的區別：數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. 2.向量的表示方法：用有向線段表示； 用字母、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母：；向量的大小長度稱為向量的模，記作|. 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，

3、三個要素：起點、方向、長度.向量與有向線段的區別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區別.長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量、平行，記作.（四）判斷（1）平行向量是否

4、一定方向相同？（不一定）（2）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量） 相等向量與共線向量一、教學目標：1.掌握相等向量、共線向量等概念；并會區分平行向量、相等向量和共線向量.2.通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別.二、教學重難點：理解并掌握相等向量、共線向量的概念；平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.三、教學過程：一、新課學習 1、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線

5、段表示，并且與有向線段的起點無關.2、共線向量與平行向量關系：平行向量就是共線向量，因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；（2）共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系.二、例題講解例1如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、相等的向量.變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個）變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？（）例2判斷：（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（2）與零向量相等的向量必定是什么向量？

6、（零向量）（3）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同）（4）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）例3下列命題正確的是（ ）A.與共線，與共線，則與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆

7、否命題來入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應選C.三、隨堂練習：1判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當 一個向量方向不確定當且僅當模為0；共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零

8、向量與零向量是相等的. 、正確.不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.2書本77頁練習4題 向量的加法運算及其幾何意義一、教學目標：1、 掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義； 2、 會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養數形結合解決問題的能力； 3、 通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法。二、教學重難點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量；理解向量加法的定義。三、教學過程：一、復習：向量的定義以及有關概念強調：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、

9、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置。二、新課學習：、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）ABCa+ba+baabbaa如圖，已知向量a、.在平面內任取一點，作a，則向量叫做a與的和，記作a，即 a， 規定： a + 0-= 0 +aa a探究：（1）兩向量的和與兩個數的和有什么關系？ 兩向量的和仍是一個向量；（2）當向量與不共線時， |+|<|+|；什么時候|+|=|+|，什么時候|+|=|，當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<|+|；當與

10、同向時，則+、同向，且|+|=|+|，當與反向時，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加OABaaabbb例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內取一點，作 ，則.加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中+的結果與+是否相同？ 驗證結果相同從而得到：）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應） ）向量加法的交換律：+=+你能證明：向量加法的結合律：(+) +=+ (+) 嗎？6由以上證明你能得到什么結論？ 多個向量的加法運算

11、可以按照任意的次序、任意的組合來進行.三、應用舉例：例二（P8384）略變式1、一艘船從A點出發以的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行速度的大小為，求水流的速度.變式2、一艘船從A點出發以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，船的實際航行的速度的大小為，方向與水流間的夾角是，求和. 向量的減法運算及其幾何意義一、教學目標：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；二、教學重難點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.減法運算時方向的確定.三、教學過程：一、 復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則，向量加法的運算定律：例：在四邊形中

12、， . 解：二、 新課學習：向量的減法1 用“相反向量”定義向量的減法（1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a（2） 規定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2 用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算： 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a -

13、 bOabBaba-b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內取一點O， 作= a， = b 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.OABaBb-bbBa+ (-b)ab 注意：1°表示a - b. 強調：差向量“箭頭”指向被減數 2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)4 探究：） 如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是b - a.）若ab， 如何作出a - b？a-bAABBBOa-baa

14、bbOAOBa-ba-bBAO-b三、 例題講解：例1、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 解：在平面上取一點O，作= a， = b， = c， = d， ABCDObadc 作， ， 則= a-b， = c-dA B D C例2、平行四邊形中，a，b， 用a、b表示向量、.解：由平行四邊形法則得： = a + b， = = a-b變式一：當a， b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？（|a| = |b|）變式二：當a， b滿足什么條件時，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直）變式三：a+b與a-b可能是相等向量嗎？（不可能， 對角線方向不同） 練習： 在ABC中， =a， =b，則等于( B )A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 向量的數乘運算及幾何意義（1） 一、教學目標：1掌握實數與向量的積的定義；2掌握實數與向量的積的運算律，并進行有關的計算；二、教學重難點：1實數與向量的積的定義及其運算律。三、教學過程：（一）復習： 已知非零向量，求作和如圖：，（二）新課講解：1實數與向量的積的定義：一般地，實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度與