1、高三暑期復習練習三一、溫故知新1. 已知函數f(x)x3ax23x9在R上存在極值，則實數a的取值范圍是_(，3)(3，)2.函數f(x)x315x233x6的單調減區間為_ (1,11)3.直線yxb是曲線ylnx(x>0)的一條切線，則實數b_. ln214.若曲線f(x)ax2lnx存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是_. a|a0解析：由題意知該函數的定義域為(0，)，由f(x)2ax.因為存在垂直于y軸的切線，故此時斜率為0，問題轉化為在x0范圍內，導函數f(x)2ax存在零點等價于方程2ax0在(0，)內有解，顯然可得a(，0)二、規范典例【例1】 已知曲線f(x)x3

2、3x.(1) 求曲線在點P(1，2)處的切線方程；(2) 求過點Q(2，6)的曲線yf(x)的切線方程解：(1) 設切線的斜率為k，因為f(x)3x23，點P(1，2)在曲線上， k330，所以所求的切線的方程為y2.(2) f(x)3x23，設切點Q(x0，y0)，則：3x3，即：3x3，解得x00或3，由kf(x0)得k3或24，得y3x或y24x54.變式已知函數f(x)x32x23x(xR)的圖象為曲線C.(1) 求過曲線C上任意一點的切線斜率的取值范圍；(2) 若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍解： (1) f(x)x24x3，則f(x

3、)(x2)211，即過曲線C上任意一點的切線斜率的取值范圍是1，)(2) 由(1)可知解得1k0或k1，由1x24x30或x24x31，得：x(，2(1,3)2，)，即所求取值范圍【例2】已知函數f(x)(xk)ex.(1) 求f(x)的單調區間；(2) 求f(x)在區間0,1上的最小值解：(1)f(x)(xk1)ex，令f(x)0xk1；所以f(x)在(，k1)上遞減，在(k1，)上遞增(2) 當k10，即k1時，函數f(x)在區間0,1上遞增，所以f(x)minf(0)k；當0k1<1即1k<2時，由(1)知，函數f(x)在區間0，k1上遞減，(k1,1上遞增，所以f(x)mi

4、nf(k1)ek1；當k11，即k2時，函數f(x)在區間0,1上遞減，所以f(x)minf(1)(1k)e.變式已知函數f(x)x3x23xa.(1) 求f(x)的單調減區間；(2) 若f(x)在區間3,4上的最小值為，求實數a的值解：(1) f(x)x22x3，令f(x)0，則x22x30.解得x1或x3. 函數f(x)的單調減區間為(，1)(3，)(2) 列表如下：x3(3，1)1(1,3)3(3,4)4f(x)00f(x) f(x)在(3，1)和(3,4)上是減函數，在(1,3)上是增函數又 f(1)a，f(4)a， f(1)f(4) f(1)是f(x)在3,4上的最小值 a，解得a4

5、.【例3】已知函數f(x)x3x2ax(aR)(1) 當a0時，求與直線xy100平行，且與曲線yf(x)相切的直線方程；(2) 求函數g(x)alnx(x>1)的單調遞增區間；(3) 如果存在a3,9，使函數h(x)f(x)f(x)(x3，b)在x3處取得最大值，試求b的最大值解：(1) 設切點為T(x0，x03x02)，由f(x)3x22x及題意得3x022x01(2分)解得x01或x0，所以T(1,0)或T，所以切線方程為xy10或27x27y50，(4分)(2) 因為g(x)x2xaalnx(x>1)，所以由g(x)2x1>0得2x2xa>0(6分)令(x)2x

6、2xa(x>1)，因為(x)在(1，)遞增，所以(x)>(1)3a.當3a0，即a3時，g(x)的增區間為(1，)；(8分)當3a<0即a>3時，因為(1)3a<0，所以(x)的一個零點小于1，另一個零點大于1，由(x)0得x1<1，x2>1，從而(x)>0(x>1)的解集為即g(x)的增區間為.(10分)(3) h(x)x34x2(2a)xa，h(x)3x28x(2a)因為存在a(3,9，令h(x)0，得x1，x2，所以要使h(x)(x3，b)在x3處取得最大值，必有解得a5，即a5,9(13分)所以存在a5,9使h(x)(x3，b)在x

7、3處取得最大值的充要條件為h(3)h(b)即存在a5,9使(b3)a(b34b22b3)0成立因為b3>0所以9(b3)(b34b22b3)0，即(b3)(b2b10)0，解得b，所以b的最大值為(16分)【例4】(2011·蘇北四市三模)已知函數f(x)ax2lnx，f1(x)x2xlnx，f2(x)x22ax，aR.(1) 求證：函數f(x)在點(e，f(e)處的切線恒過定點，并求出定點坐標；(2) 若f(x)f2(x)在區間(1，)上恒成立，求a的取值范圍；(1) 證明：因為f(x)2ax，所以f(x)在點(e，f(e)處的切線的斜率為k2ae，所以f(x)在點(e，f(

8、e)處的切線方程為y(xe)ae21，整理得y，所以切線恒過定點.(2) 解：令p(x)f(x)f2(x)x22axlnx<0，對x(1，)恒成立，因為p(x)(2a1)x2a(*)，令p(x)0，得極值點x11，x2. 當a1時，有x2x11，即a1時，在(x2，)上有p(x)0，此時p(x)在區間(x2，)上是增函數，并且在該區間上有p(x)(p(x2)，)，不合題意； 當a1時，有x2x11，同理可知，p(x)在區間(1，)上，有p(x)(p(1)，)，也不合題意； 當a時，有2a10，此時在區間(1，)上恒有p(x)0，從而p(x)在區間(1，)上是減函數；要使p(x)0在此區間

9、上恒成立，只須滿足p(1)a0a，所以a.綜上可知a的范圍是.三、反饋提升1. (2011·湖南)曲線y在點M處的切線的斜率為_2.(2009·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：yx310x3上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為_. 3.(2010·遼寧)已知點P在曲線y上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_4.(2011·福建)若a0，b0，且函數f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于_5.(2011·江西)設f(x)x3x22ax.(1) 若f(x)在上存在單

10、調遞增區間，求實數a的取值范圍；(2) 當0<a<2時，f(x)在1,4上的最小值為，求f(x)在該區間上的最大值6.(2010·遼寧)已知函數f(x)(a1)lnxax21.討論函數f(x)的單調性；7. 已知函數f(x)ax3bx2x3，其中a，bR，a0.(1) 當a，b滿足什么條件時，f(x)取得極值？(2) 已知a0，且f(x)在區間(0,1上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍1. 解析：y的導函數為y，x，y.2. (2,15)解析：由C：yx310x3得，y3x2102，x24，切點在第二象限，x2，y15.3. 解析：y， ex2， 1y0，即1tan0，

11、 .4. 9解析：f(x)12x22ax2b，f(1)0，ab6，a0，b0,6ab2，ab9，當且僅當ab時取等號5. 解：(1) f(x)在上存在單調遞增區間，即存在某個子區間(m，n)使得f(x)0.由f(x)x2x2a(x)22a，f(x)在區間上單調遞減，則只需f0即可由f2a0解得a，所以當a時，f(x)在上存在單調遞增區間(2) 令f(x)0，得兩根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上單調遞減，在(x1，x2)上單調遞增當0a2時，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值為

12、f(4)8a，得a1，x22，從而f(x)在1,4上的最大值為f(2).6. 解：(1) f(x)的定義域為(0，)f(x)2ax.當a0時，f(x)0，故f(x)在(0，)上單調增加；當a1時，f(x)0，故f(x)在(0，)上單調減少；當1a0時，令f(x)0，解得x.則當x時，f(x)0；x時，f(x)0.故f(x)在單調增，在單調減7.解： (1)由已知得f(x)ax22bx1，令f(x)0，得ax22bx10，f(x)要取得極值，方程ax22bx10必須有兩個不同解，所以4b24a0，即b2a, 此時方程ax22bx10的根為x1，x2，所以f(x)a(xx1)(xx2)當a0時，x

13、(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在x1，x2處分別取得極大值和極小值當a0時，x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f (x)極小值極大值所以f(x)在x1，x2處分別取得極大值和極小值綜上，當a，b滿足b2a時，f(x)取得極值(2) 要使f(x)在區間(0,1上單調遞增，需使f(x)ax22bx10在(0,1上恒成立即b，x(0,1恒成立， 所以bmax.設g(x)，g(x)，令g(x)0得x或x(舍去)，當a1時，01，當x時，g(x)0，g(x)單調增函數；當x時，g(x)0，g(x)單調遞減，所以當x時，g(x)取得極大值，極大值為