1、摘要看電影是眾多大學生所喜愛的業余享受，怎樣選擇一個好位子觀影也是大家所關心的一個問題。本文針對如何在敬文講堂選擇一個好位子看電影，建立模型進行分析。由于座位的滿意程度主要取決于視角和仰角，視角越大，仰角越小越合適.因此是一個多目標規劃問題。本文先建立了模型 1，采用主目標法找出了講堂最優的一個位子。而后就"怎樣選擇一個好位子"的問題，建立模型 2，分析了講堂中央部分座位的滿意程度，因為這個問題涉及的目標較多，即要考慮水平和垂直兩種情況，相對復雜。模型 2 作了巧妙的假設，提出了"基本視效"的概念將目標化為單一的一個，運用幾何的方法，給出了各個座位的基本

2、視效值，從而基本視效值大的座位滿意度高，反之，滿意度低。模型 2 的優點在于避免了其他方法，如權重法的主觀性。因此模型也更加可信。關鍵詞多 目 標 規 劃視 角仰 角幾 何基 本 視 效m a t l a b一、 問題的背景看電影一直是廣大學生所偏好的業余活動，將自己隱藏在一片漆黑之中，心隨畫面變換，感受視聽震撼，仿佛置身另一個世界，一時間忘卻所有煩惱。在師范大學，每到周末便可看到各個海報欄貼著電影放映的信息，其中每周敬文講堂放映的英文電影，因其免費放映、效果良好、寓教于樂，更是成為多年來的保留節目。每每放映之前，講堂門口都聚集著眾多同學，排著長隊，準備爭搶觀影好地形。- 1 -影院座位選擇數

3、學模型期末論文二、 問題的提出有效視角是指人的有效視覺范圍，一般，雙眼正常有效視角大約為水平90°，垂直 70°，考慮雙眼余光時的視角大約為水平 180°，垂直 90°。觀影時的視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角。經醫學實驗得知：10°以內是視力敏銳區，即中心視野，對圖像的顏色及細節部分的分辨能力最強。20°以內能正確識別圖形等信息，稱為有效視野。*0°30°，雖然視力及色辨別能力開始降低，但對活動信息比較敏感，30°之外視力就下降很低了。但是人們又發現，若觀看一幅寬大的畫面時，視角大到一定值后，觀

4、看者會感到和畫面同處一個空間，給人帶來一種身臨其境的藝術效果。即雖然圖像內容是二維平面的，但結合在一起后，平面的圖像能呈現出立體感，這種效果在觀察大畫面圖像時，會令人感覺出畫面有自然感和動人逼真的臨場感。也就是說觀影時，視角越大，越能達到一種身臨其境的滿足感。但是觀影時若只考慮視角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角。例如，坐在第一排看電影，雖然視角很大，但觀影者須在這個觀影過程中仰頭，整個過程也不一定享受，一般仰角越小，觀影過程越舒適。同樣，定義斜角為觀眾眼睛到屏幕左、右邊緣視線與水平線的夾角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位過偏時，也

5、會導致頸部向一側扭曲，甚是難受，無疑坐的越靠近影院中軸線，斜角越小，越舒適。由上面的分析，在敬文講堂看電影時，座位過偏、過前，整個過程要么扭頸斜視，要么"曲項向天"，著實難受，座位太后，又視覺不夠震撼，不夠享受。怎樣選擇一個好座位呢，下面我們就進行建模，找出其盡量的實際的答案?？紤]到講堂的 400 個座位分為左側、中央和右側三個部分，其中中央部分約2*0 個座位，兩側約各 200 個。由于敬文講堂，只有一個小的投影屏幕，寬度遠小于正規電影院的屏幕，兩側的座位的觀影效果在各個方面都比中央部分的座位差很多，又考慮到中央的近 200 個座位可以滿足占座位同學的需求，所以下面的討論

6、都只限于中央的座位。下圖為敬文講堂剖面簡圖，只畫出中央部分的座位，且臺階型座位只簡化為3 級。- 2 -數學模型期末論文屏幕座位三、 模型的建立模型 1：尋找最優位置顯然，最優的位置一定位于講堂最中央的一列座位，所以這個模型所選擇的范圍就縮小了，只用考慮一列 14 個座位。1) 模型的假設A. 假設敬文講堂的座位面為與水平面夾角為q 的傾斜面（如下圖所示）觀眾dh屏幕座位qB. 不考慮人們視力的影響，即坐在后排的人與坐在前排的人的觀影清晰度- 3 -數學模型期末論文相同。C. 不考慮中間座位與旁邊座位進出方便程度的影響。D. 只從中間部分的座位選擇。*. 忽略觀眾頭頂到眼睛的距離。F. 忽略觀

7、眾兩眼間的距離。*. 將每個座位所在區域視為一個矩形，觀眾的眼睛位于矩形的上面一條邊的垂直地面的中線上。下圖為敬文講堂側面簡圖屏幕l線aa*bLH1H-hqlds1D敬文講堂側視圖2) 參量變量H：屏幕上邊緣到地面的高度h：屏幕的高度H1:最后一排距地面的高度a：觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的有向夾角b：觀眾眼睛到屏幕下邊緣視線與水平線的有向夾角q：近似座位面與水平面所夾的二面角*：第一排座位與屏幕的水平距離D：最后一排座位與屏幕的水平距離*1：觀眾眼睛到屏幕的水平距離l：觀眾所處的座位面上的點到水平面的距離*：觀眾眼睛到水平面的距離a：觀眾平均坐高l線：觀眾眼睛所在位置構成的直線- 4

8、-數學模型期末論文經過實地測量，講堂中中央部分的座位有 14 排×13 列，座位與座位之間左右間隔 0.54 米，前后間隔 1 米。并測量、計算得到了下列參數的具體數值（長度單位均為米）：H4h*D18d4a1.1*13q12.1°*anq3/143) 模型的求解因為經過如上假設，最佳的位置一定位于講堂最中央的一列座位，所以問題便轉化成一個平面幾何問題。為達到"視角盡可能大，仰角盡可能小"的目的，就是在l線上選擇合適的點使得角（a + b ）盡量大，但角a 盡量小。由于a 和 b的變化范圍都在-90°-90°之間，所以可以用函數 ar

9、ctan 來衡量角的大小。如圖 所 示 ， tana=H-L, tanb =L-(H-h)L+h-HH-L=。 所 以 a = arc*an，s1s1*1s1b=arctanL+h-H（ 注 意 ， L+h>H 時 為 正 ）， 那 么 ， 問 題 進 一 步 轉 化 為s1H-LL+h-HH-Larc*a*+ arctan盡量大，而 ar*ta*盡量小。而后一目標可簡化為s1s1s*-Ls1盡量小，即盡量大。s1H-L用數學語言寫為：s1f1(s)=*-*H-LL+h-Hf2(s)=ar*tan+arctans*s1F（s）=*1(*1),f2(s1)T在解的可行域 R 內,求多目標的

10、極值問題可記為：m*x F(s1)s1ÎR這是一個典型的多目標優化問題，一般，在解決這類問題時，要用"化多為單"的方法。下面就用"主目標優化法"對模型進行求解。所謂"主目標法"就是分清目標的主要與次要，主要的目標必須達到，所以這種方法就是使主目標優化，而使其他的目標降為約束條件。進一步分析，人們在觀影時，視角大能達到更好的震撼效果，這也是人們進- 5 -數學模型期末論文電影院看電影的原因，而通過調整頸部的扭轉角度，只要角度不是很大，是不會給人的身體帶來太大的不適感的，特別是當電影內容比較精彩時，人們更會忽略頸部的不適感，而更

11、追求觀影的視覺效果。查資料知，當仰角不大于 20°時，短時間的觀影不會給人體帶來太大的不適感。也就是說，視角大給人們帶來的滿足感比仰角小給人們帶來的舒適感更重要。所以 f*(*1)為主要目標，f1(s*)降為約束條件 f2(s1)<tan(2*°)。那么問題轉化為一個非線性規劃：max*2(s1)d£ s*£ D*1(s1)<tan(*0°)在求 f2(s1)極值時，利用 f2'(s1)=0,即：H-LL+h-H(ar*ta*)'+ (arctan)' =0s1s1-H - L-* + * - *2s1+s1

12、2= 01+(* - L)21+(L + h - H)2s12s12* - HH - L - h+= 0s1 + (H - *)22s1 + (L + h - H)22將 L=（*1-d）*tanq +a=(s1-4)*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得3(s1- 4)- 2.93(s1- 4)+ 0.11*-14= 0s1 + (3(s1- *)3(s*- 4)2- 2.9)2s1 + (*+ *.1)21414用 *at*ab 解得 s1=1.6223<4*-L*+*-H畫出 f=(arcta*)'+ (arctan)' 的圖像（見下圖）s1s1H-LL+h

13、-*由圖像看出 f*(s)=arctan+a*ctan的導數值恒負s1s1- 6 -數學模型期末論文-0.*1-0.02-0.03-0.04-0.05-0.0*-0.07-*.08-0.09-0.1-0.114*810*21*16進一步，算出各排的視角值排數12*4567視角 35.81*31.*2*26.98823.7*1.03*8.84617.042排數891*11121314視角 15.53314.25713.16712.2*511.40510.68610.*5以及各排的仰角值排數*2*4*67仰角 *8.679*0.85*4.80520.07816.331*3.*1310.*42排數8

14、910111*1314仰角 8.78*7.*6145.58874.32043.21772.2*091.39*7視角是依排數遞減的，再由約束條件 *2(s1)<tan(20°)，所以應該坐在第 * 排中央的位子。這是一個有效解。即在所有可行解中找不到比它更好的解。- * -數學模型期末論文4) 模型的分析*-LL+h-*f=(arctan)'+ (*rctan)' 在求導時沒有在4，17的區間內出現理想s*1零值，主要跟敬文講堂的設置有關，它并不是專門的電影院，屏幕高度不夠，懸掛的很低，這就導致了仰角主要決定視角的大小，從第一排向后視角依次遞減。所以由敬文講堂的這

15、種設置，看電影時最好應該坐在第 5 排中央，這是一個有效解。下面關心此模型用在正規電影院的情形。廣州最豪華的飛揚影城設計采用國際標準，屏幕高 10 米，寬 14 米。而觀眾席全部采用高角度斜坡式，從第一行到最后一行的坡度高達 4.* 米。它的其他數據與敬文講堂相同，套用此模型解得從一到十四排的視角為：排數123456*視角 40.66543.8*744.9*344.79643.*7642.276*0.521排數8*10111213*視角 38.65736.7*934.94233.1823*.516*9.*5128.491仰角為：排數1234567仰角 70.1*4*5.06760.*9155.

16、29*0.7294*.43242.425排數8910111213*4仰角 38.71*5.29632.15829.28526.65624.*5222.052得到在此電影院觀影，最優位置為第 *4 排中央的位置，這主要是由它寬大的屏幕決定的，坐的靠后，反而觀影滿意度高，而影院也大力宣傳："最后一排的觀眾感覺尤其奇妙，由于坡度高，會產生一種'空中看電影'的感覺"。這點驗證了模型的合理性。上述數據摘自新快報文章-到天河城"空中看電影"。模型 2：尋找好位置最優位置只有一個，去搶座位看電影的同學能競爭到那個位子可謂十分不易，那么下面我們就來進一步

17、分析，在搶不到最優位置的情況下，再選擇哪里的位子可以達到一個也算不錯的觀影效果。- 8 -數學模型期末論文下圖為敬文講堂俯視圖：w屏幕中軸面dx座位區s2W敬文講堂俯視圖這樣，問題就不能只考慮垂直的情況，還要考慮水平的情況，具體的說，就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁邊和后面的位置都還空著，那么是坐在最佳位置的后面還是坐在最佳位置的旁邊，可以更好的享受這次觀影呢？同樣，在考慮水平的情況時，根據人的視覺感受，坐的太偏離屏幕中心，需扭轉頸部才能達到更好的觀影效果，因此，和水平情況的討論結果相同，水平視角d 越大越好，斜角x 越小越好。于是，問題就變成一個空間立體幾何問題，考慮到對稱性，我們只討論最

18、中間一列位置和它左邊區域的位置。而同時討論水平視角d 、水平斜角x 、垂直視角h 、垂直仰角a ，就是說有四個目標要優化，無疑使問題得討論非常復雜，在衡量目標的主次上也會比兩兩比較困難。所以，為化簡問題，我們將四個目標化簡為 1 個-"基本視效"。定義為：人直視屏幕時，屏幕在人的視野中所占比例。1) 模型的假設A. 人的觀影感受只與視覺感受與頸部舒適度有關。B. 忽略人頭頂到眼鏡的距離，忽略人兩眼之間的距離。- 9 -數學模型期末論文C. 人的有效視野為椎定為 20°的正 4 棱錐，人只能看見以其眼睛為錐定，錐角為 20°的 4 棱錐范圍內的事物。且忽略

19、圍墻和屋頂的阻擋作用（如下圖所示）觀眾L2屏幕座位q*. 將每個座位所在區域視為一個矩形，觀眾的眼睛位于矩形的上面一條邊的垂直地面的中垂線上。2) 比模型 1 增加的參量、變量w：屏幕寬W：一排座位的總寬度s*：觀眾眼睛到講堂中軸面的距離s：屏幕所在的區域：屏幕所在的平面y：觀眾眼睛所在的平面Ss：視線 * 棱錐在平面的投影與s 區域重合部分的面積SP：視線錐在屏幕所在平面的投影面積L2：觀眾眼睛距屏幕中截面的高度k:基本視效值Ss SP/測量得 *=3 米W=7 米-10-數學模型期末論文3) 模型的解釋此模型將人的視線看成光線，于是眼睛被看成一個特殊的光源，只能射出一個正 4 棱錐形的光束

20、，錐角固定為 2*°。那么，看電影的問題就轉化成投影問題。即光源垂直地向屏幕所在的平面 發射光線，最終在 平面上得到一個正方形光區，那么屏幕與光區重合部分在光區中所占比例越大，基本視效越好。依據此思想，建立 3 維直角坐標系，分析此問題。s1*P*sos2*2i如上圖，以屏幕的中心為坐標原點 O,建立O；i, j,k 單位右手標架。使向量i, j 張成平面 ，空間中任一點 A（s*，s1，L2）關于單位右手正交基i, j,k 的分量就為三元有序實數組（s2，s1，L2）。其中 s2 的幾何意義為觀眾眼睛到講堂中軸面的距離，s1 的幾何意義為觀眾眼睛到屏幕的水平距離，L* 的幾何意義為

21、觀眾眼睛距屏幕中截面的有向高度。觀眾的眼睛 P 在平面y 上移動，由模型 1的假設y 面可以參數化：r=r(s2,s1)=(*2,s1,*-h/*-(s1-d)ta*q )，那么當觀眾眼睛在y 面上移動時，以 P 為定點的 4 棱錐在空間內做平移運動，圖中陰影部分為 4 棱錐在 平面的投影與s 區域的重合部分，則隨點 P 的運動，陰影與投影部分的面積及其二者的比例比值 k 也會發生變化。-11-數學模型期末論文4) 模型的求解為使基本視覺效果L2達到最好，則只需在y 面x1x21.5上找一點 P，使得其對應的*1k 值最大。左圖為 s2oL2y2(*2,L*)平面圖：*.5空間內一點 P（s2

22、,s1,*2）s2o-1.*在 該 平 面 的 投 影 點 為屏幕（s2,L2），由于只考慮講堂最中間一列位置和它左-1.*(s*,L2)邊 區 域 的 位 置 ， 所 以0£ s*£ 3.5,4£ s1£ 17,-1.4£ L2£ 1.5。且投影點只在、象限運動。以 P 點為頂點的上述 4 棱錐在此平面截出一個正方形，其邊長為 *s1*t*n(10°)=1.4*s1,其到屏幕上、下、左、右邊的距離為：1.5-L2，L2+*.5，|1.5-s2|,s2+1.5其中,L2=(s1-d)*a*q +*-h/2+(*-h)=(s1

23、-4)*3/14+1.*-2.5由此可以給出陰影部分面積計算方法：圖中標明了 4 個變量 x1,x2,y1,y*,為正數，表示分別表示投影點到陰影部分，左、右、上、下 4 邊的距離：x1=*in|1.5-s2|,0.699*s1x2=mins2+*.5,0.6997*s1y1=min1.5-L2,0.6997*s1*2=m*nL*+1.5,0.6997*s1當 s2£ 1.5 時陰影部分的面積為Ss =（x1+x2）(y1+y2)當 s2*.5 時陰影部分的面積為Ss =（x2-x*）(y1+y*)4 棱錐在屏幕所在平面的投影面積為S =（1.4*s1）2P-12-數學模型期末論文S

24、 s則基本視效 k=SP用 Matlab 軟件可計算出有 14 排×*3 列，282 個座位的 k 值,下表為中央一列和他右側共 98 個座位的基本視效值，表格安排與座位安排相同：0.5*094*.570940.42*480.184210000.678370.678370.4*7520.2429*.018352000.749990.700140.4932*0.*63*0.079406*0.80*14*.6*280.50883*.31938*.1299300*.839510.6927*0.*19020.3*5310.1716000.822310.6859*0.*2*040.366150

25、.2*6250.0463600.72*7*.6*7*.506180.36526*.224340.08342300.5*89*0.569*70.45351*.337050.22*580.104*200.503280.503280.410630.312770.21491*.*17050.0191920.4*8830.428830.375070.29169*.2*8310.124*20.041539*.3*9*60.369760.345120.273220.20133*.129430.0*7*340.32210.32210.3195*0.25693*.1*430.131670.0690360.283

26、09*.283*90.283090.2*24*0.18740.132*50.0773040.*50770.2*0*70.*077*.2*9*0.18073*.131*7*.*832*5并畫出 14 排×*3 列，*82 個座位 k 值的三維圖形，可更直觀的看出各個座位的觀影適合程度，圖形中方格的分布與敬文講堂俯視圖中座位的分布相同。其中越突出的地方越適合觀影：-1*-數學模型期末論文從上面表格及圖形可看出，前 9 排靠近中央的座位都比較適合觀影，其中 3到 7 排中央 3 列的座位觀影滿意度更佳。因此在敬文講堂看電影時，可優先選擇這些位子。且最佳的那 *5 個位子滿意度相差不多，選擇

27、時不必過度苛求。而對于相對較偏的位子，靠后坐一些可以得到比坐在前排可好的視覺效果。5) 模型的分析我們定義"基本視效"這一標準來衡量座位的優良是有其合理性的。因為觀眾在觀看電影時，視野中屏幕所占的比例越大，視覺效果越好，它與專業上所說的視角越大，視效越好是同理的，只不過一個用的是角度的度量，一個用的是比例系數的度量。當觀眾的基本視效較小時，他總會通過扭轉頸部的方法使基本視效最大化。例如，坐在第一排的觀眾沒有誰是不仰頭看電影的，而坐在邊上的觀眾也都不是直視前方的。因此，這一模型就是將視角和仰角整合成一個變量，"基本視效"值 k 小既意味著視角不夠大，也暗含

28、著，你需要更大地扭轉頸部來達到滿意的視效，從而要影響觀影的舒適度。這樣，模型就很好地把一個多目標規劃變成了一個單目標的規劃。而假設人的水平和垂直有效視角均為 20°，將人的有效視覺區域看成一個 4棱錐，雖然看似荒唐，但對問題的解決上是不存在太大影響的，因為這是一個比較問題，只需比較座位之中哪個的"基本視效"最大。而采取 20°，而不是其他角度，是與醫學上認為，2*°以內能正確識別圖形等信息，并稱為有效視野相符合的，后來帶入程序也驗證采用其他角度建立模型，得到的結果并不滿意。從模型 2 的結果，光看中央一列的基本視效 * 值，正好是第 * 排達到

29、最優，與模型 1 的結果一致，可以說相互作了驗證，模型是合理的。四、 參考文獻劉來福，曾文藝.數學模型與數學建模.北京師范大學出版社席少霖，趙鳳治.最優化計算方法.上?？茖W技術出版社范玉妹，徐爾，周漢良.數學規劃及其應用（第 2 版）.冶金工業出版社-14-數學模型期末論文歐陽崇森.實用最優化技術.湖北科學技術出版社清源計算機工作室.Ma*lab 基礎及其應用.機械工業出版社五、 心得體會經過了兩周的奮戰，終于完成了這篇凝聚了自己心血的論文。一周的選題，大海撈針，頭暈眼花，一周的寫論文，反復推敲，辛酸苦辣。最后近 20 頁沉甸甸、思想不是 *trl+C 加 Ct*+V 的論文，還是帶給自己非凡

30、的滿足感。選題時階段，無論何時何地，都在想眼前的東西，可不可以建模分析一下，道邊的垃圾桶、教九樓的電梯、耳中的音樂、超市發的商品價格¼¼最后選擇了看電影的題目，還算比較適合自己的能力。初次接觸這種多目標規劃的題目，首先聯想到了微觀經濟學中學到的"效用函數"的概念，后來查找資料，真的有類似的分析方法-權重法。但仔細思考，發現此種方法的主觀性太大，不易把握，所以換了一個角度思考，使得模型的準確性更高。特別是模型 * 的建立，將它轉化成一個單目標規劃，依據了醫學的一些基本原理，提出了大膽的假設，可以說盡量少的摻雜主觀成分。開始，模型 2 是用圓錐形來做的，后來

31、在計算上過于復雜，因而改用 4 棱錐。在角度的選擇上也費了不少心思，最后還是發現用醫學上的有效視野的角度數最合適。模型的結果還是和平時的經驗比較符合的，因此對于模型 2 這個靈感迸發，還是十分滿意的。寫論文過程中，每晚對著電腦，有一種探索的感覺，不知道模型是否合理，所有努力是否會付之東流，只是一步步地前進著，期待著一個滿意的結果。其中也出現了反復，因為忘了一種的情況的討論，而懷疑整個模型的正確性，一時間萬念俱灰，因為打錯了一個字母，對著短短的程序發了一下午呆，欲哭無淚。所以作完了這次論文，也使自己充分領悟了細心的重要性?？傊?，感謝這學期開設的數學模型課，讓我們體驗到了數學的魔力與探索的樂趣，讓

32、我對著家教的學生可以講出數學的萬般用處，感謝老師和助教的辛勤輔導，讓我們的建模和建算機能力都有了提高。最后對于論文中眾多的不足之處，還懇請老師指正。-15-數學模型期末論文附錄：附 Matl*b 程序如下：模型 1 程序：建立 M-文件function f=f(s)f=(3*(s-4)/14-3.*)/(s2+(3*(s-4)/14-3.2)2)-(3*(s-4)/14-0.2)/(s2+(3*(s-4)/14-0.2)2)fz*ro('f',4)fplot('f',4,17)建立 M-文件function y=*(x)y=atan(4.3-(x-4)*3/14

33、+1.1)./x)+atan(x-4)*3/14+1.1)-1.*)./x)func*ion y2=y2(x)y2=atan(4.3-(x-4)*/14+1.1)./x)s=4:1:*7；y=y(*);y=y.*180/*.1*Colu*ns 1 through 735.815631.*272*.987823.699*21.029618.846*17.0420Columns 8 through 1415.533214.2*213.166612.225211.*05410.685810.0496y1=*1(s)y1=y*.*180/3.14Columns 1 t*rough 738.679430

34、.858924.80502*.077716.*313*3.313110.8424Columns 8 *hrough *48.78987.06*45.58874.32*43.21*72.25*91.396*建立 M-文件function y3=y3(x)-16-數學模型期末論文y3=a*an(12-(x-4.5)*0.3214+1.1)./x)+a*an(*-4.5)*0.3214+1.1)-3.2)./*)y3=y3(s)y3 =Columns 1 th*ough 70.7094*.76510.78490.78*40.76360.73750.*069Columns 8 throu* 140.67440.641*0.60950.57880.*4980.52250.4970模型 2 程序：tan(1*3.*4/180)a*s =*.1762k=;s2=linspace(0,3.5,*);s1=4:1:17;fo* i=1:14for j=1:7a=s1(i)b=*2(j)x1=0.1762*