1、 數學建模常用的十種解題方法 摘要 當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言，把它表述為數學式子，也就是數學模型，然后用通過計算得到的模型結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數學模型的全過程就稱為數學建模。數學建模的十種常用方法有蒙特卡羅算法；數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法；解決線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題的數學規劃算法；圖論算法；動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法；最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法；網格算法和窮

2、舉法；一些連續離散化方法；數值分析算法；圖象處理算法。關鍵詞：數學建模；蒙特卡羅算法；數據處理算法；數學規劃算法；圖論算法 一、蒙特卡羅算法蒙特卡羅算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法。在工程、通訊、金融等技術問題中, 實驗數據很難獲取, 或實驗數據的獲取需耗費很多的人力、物力, 對此, 用計算機隨機模擬就是最簡單、經濟、實用的方法; 此外, 對一些復雜的計算問題, 如非線性議程組求解、最優化、積分微分方程及一些偏微分方程的解, 蒙特卡羅方法也是非常有效的。一般情況下, 蒙特卜羅算法在二重積分中用均勻隨機數計算

3、積分比較簡單, 但精度不太理想。通過方差分析, 論證了利用有利隨機數, 可以使積分計算的精度達到最優。本文給出算例, 并用MA TA LA B實現。1蒙特卡羅計算重積分的最簡算法-均勻隨機數法二重積分的蒙特卡羅方法(均勻隨機數) 實際計算中常常要遇到如的二重積分, 也常常發現許多時候被積函數的原函數很難求出, 或者原函數根本就不是初等函數, 對于這樣的重積分, 可以設計一種蒙特卡羅的方法計算。 定理1 設式區域D 上的有界函數, 用均勻隨機數計算的方法:(l) 取一個包含D 的矩形區域,a x b, c y d , 其面積A =(b 一a) (d 一c) ;,i=1,n在上的均勻分布隨機數列,

4、不妨設, j=1，k為落在D 中的k個隨機數, 則n 充分大時, 有定理2 用定理1的公式（1）作近似計算時，其方差為證略。 2 蒙特卡羅計算重積分的一般方法-任意隨機數法2.1 二重積分的蒙特卡羅算法(一般隨機數)定理3 設區域D上的有界函數，用一般的隨機數計算的方法：(l) 取一個包含D 的矩形區域,a x b, c y d , 其面積A =(b 一a) (d 一c) ;取任一概率密度函數，滿足；，i=1,n,是以為概率密度的隨機數列，設，i-1,k,為落在D中的隨機數，則n充分大時，有證略。3 蒙特卡羅計算重積分的最優算法有利隨機數法 任意隨機數都能用于積分計算, 對于不同的隨機數, 計

5、算結果的方差顯然不同, 在定理3 中, 取時，計算方差為零,即方差最小，稱為有利密度函數，以為概率密度的隨機數稱為有利隨機數。這樣得到方差最優的蒙特卡羅算法, 敘述如下:定理5 根據二重積分的最優蒙特卡羅算法(有利隨機數), 設區域D上的有界函數，0，那么按如下步驟得到方差最優值。(l) 取一個包含D 的矩形區域；取有利概率密度其中c=；，i=1,n,是以為概率密度的隨機數列，設，i-1,k,為落在D中的隨機數，則n充分大時，有 實際計算中, 由于c 是要計算的, 不可能事先得到, 所以只能先估算c 。二、數據處理算法 數據處理算法有數據擬合、參數估計、插值等，比賽中通常會遇到大量的數據需要處

6、理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具。1數據擬合在實驗中，實驗和戡測常常會產生大量的數據。為了解釋這些數據或者根據這些數據做出預測、判斷，給決策者提供重要的依據。需要對測量數據進行擬合，尋找一個反映數據變化規律的函數。它所處理的數據量大而且不能保證每一個數據沒有誤差，所以要求一個函數嚴格通過每一個數據點是不合理的。數據擬合方法求擬合函數。例：在某化學反應中，測得生成物的質量濃度y(10/cm)與時間t（min）的關系如表所示 顯然，連續函數關系y(t)是客觀存在的。但是通過表中的數據不可能確切地得到這種關系。何況，由于儀器和環境的影響，測量數據難免有誤差。因此只能尋

7、求一個近擬表達式 y=(t)尋求合理的近擬表達式，以反映數據變化的規律，這種方法就是數據擬合方法。數據擬合需要解決兩個問題：第一，選擇什么類型的函數(t)作為擬合函數（數學模型）；第二，對于選定的擬合函數，如何確定擬合函數中的參數。 數學模型應建立在合理假設的基礎上，假設的合理性首先體現在選擇某種類型的擬合函數使之符合數據變化的趨勢（總體的變化規律）。擬合函數的選擇比較靈活，可以選擇線性函數、多項式函數、指數函數、三角函數或其它函數，這應根據數據分布的趨勢作出選擇。為了問題敘述的方便，將例1的數據表寫成一般的形式 （1）線性擬合（線性模型）假設擬合函數是線性函數，即擬合函數的圖形是一條平面上的

8、直線。而表中的數據點未能精確地落在一條直線上的原因是實驗數據的誤差。則下一步是確定函數 y= a + b x 中系數a和b各等于多少？從幾何背景來考慮，就是要以a和b作為待定系數，確定一條平面直線使得表中數據所對應的10個點盡可能地靠近這條直線。一般來講，數據點將不會全部落在這條直線上，如果第k個點的數據恰好落在這條直線上，則這個點的坐標滿足直線的方程，即 a+bx=y如果這個點不在直線上，則它的坐標不滿足直線方程，有一個絕對值為|a+bx-y|的差異（殘差）。于是全部點處的總誤差是|a+bx-y|這是關于a和b的一個二元函數，合理的做法是選取a和b，使得這個函數取最小值。但是在實際求解問題時

9、為了操作上的方便，常常是求a和b使得函數 F=（a+bx-y）達到極小。為了求該函數的極小值點，令 得求解這個二元線性方程組便得待定系數a和b，從而得線性擬合函數y=a+bx。下圖中直線是數據的線性擬合的結果。（2）二次函數擬合（二次多項式模型）假設擬合函數不是線性函數，而是一個二次多項式函數。即擬合函數的圖形是一條平面上的拋物線，而表中的數據點未能精確地落在這條拋物線上的原因是實驗數據的誤差。則下一步是確定函數 y=a+ax+ax中系數a,a和a各等于多少？從幾何背景來考慮，就是要以a,a和a為待定系數，確定二次曲線使得表中數據所對應的10個點盡可能地靠近這條曲線。一般來講，數據點將不會全部

10、落在這條曲線上，如果第k個點的數據恰好落在曲線上，則這個點的坐標滿足二次曲線的方程，即 a+ax+ax=y這是關于a,a和a的一個三元函數，合理的做法是選取a,a和a，使得這個函數取最小值。為了求該函數的極小值點，令 得 這是關于待定系數a,a和a的線性方程組，寫成等價的形式為 這就是法方程，求解這一方程組可得二次擬合函數中的三個待定系數。下圖反映了例題所給數據的二次曲線擬合的結果（3） 數據的n次多項式擬合（略）2. 參數估計 數學建模的一個重要工作是建立變量間的數學關系式，但公式中總是涉及一些參數。 求模型中的參數的估計值有三種常用的方法：圖解法，統計法，機理分析法 。（1） 圖解法：對經驗模型的精度不高，只需對參數做出粗略估計時刻采用圖解法。（2） 統計法：參數估計的統計處理，往往用最小二乘法估計。（3） 機理分析法：統計分析法應用于變量間