1、勾股定理的證明方法D1班 張靜一 證法1：作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c.把它們拼成一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點P. D、E、F在一條直線上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90°， BED + GEF = 90°， BEG =180°90°= 90° 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個邊長為c的正方形. ABC + CBE = 90° RtABC RtEBD, ABC = EBD.

2、 EBD + CBE = 90° 即 CBD= 90° 又 BDE = 90°，BCP = 90°， BC = BD = a. BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S，則 BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a2+b2=c2證法2：作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QPBC，交AC于點P. 過點B作BMPQ，垂足為M；再過點

3、 F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90°，QPBC， MPC = 90°， BMPQ， BMP = 90°， BCPM是一個矩形，即MBC = 90°. QBM + MBA = QBA = °， ABC + MBA = MBC = 90°， QBM = ABC， 又 BMP = 90°，BCA = 90°，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可證RtQNF RtAEF.即a2+b2=c2證法3：作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一

4、個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J在同一直線上， CJ=CF=a，CB=CD=c， CJB = CFD = 90°， RtCJB RtCFD ， 同理，RtABG RtADE， RtCJB RtCFD RtABG RtADE ABG = BCJ, BCJ +CBJ= 90°, ABG +CBJ= 90°, ABC= 90°, G,B,I,J在同一直線上， a2+b2=c2證法4：三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖

5、所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結 BF、CD. 過C作CLDE， 交AB于點M，交DE于點L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， 同理可證，矩形ADLM的面積 =.矩形MLEB的面積. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 a2+b2=c2證法5：設ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下： 如果兩個三角形有

6、兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉并轉換成下方的兩個同等面積的長方形。 其證明如下： 設ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 CAB和BAG都是直角

7、，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 CBD和FBA皆為直角，所以ABD等于FBC。 因為 AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以ABD 必須相等于FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC2。 把這兩個結果相加， AB2+ AC2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個正方形，因此AB2 + AC2= BC2。證法6：在RtABC中，ABC=90°，AD是斜邊BC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下： 1）（BD）2;=AD·DC，（2）（AB）2;=AD·AC ，（3）（BC）2;