1、-1 - 專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第 2 講函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 是 f (x)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng) x 0 , n 時(shí)，0V f (x) V 1;當(dāng) x (0 , 0,則函數(shù)y = f (x) - sin x在2n , 2 n 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A. 2 B. 4 C. 5 Qx, x0, 2 .(2012 陜西高考，文 11)設(shè)函數(shù)f (x)=fVX 2j, x0, 1)在1,2上的最大值為 4, 最小值為m,且函數(shù)g(x) = (1 -4n)寸x在0 ,+)上是增函數(shù)，則 a= _ . (x+ 1)2+ sin x 4. (2012 課標(biāo)全國(guó)高考，文 16)設(shè)函數(shù)f(x)= 2+1 的最大值為 M最小值

2、為 x十 I 知千來 (1) 求炮的最大射程； (2) 設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為 3.2 千米，試問它的橫坐標(biāo) a 不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由. 考向分析 通過分析近幾年的高考試題可以看到，對(duì)函數(shù)與方程的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： 一、結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)；二、結(jié)合根的存在性定理或函數(shù)的圖象，對(duì)函 數(shù)是否存在零點(diǎn)(方程是否存在實(shí)根)進(jìn)行判斷；三、利用零點(diǎn) (方程實(shí)根)的存在求相關(guān)參數(shù) 的值或范圍對(duì)函數(shù)的實(shí)_r U i!克匚丁 f出和i月厲鳥船X J * .1廿工界A 4； 真題試做 1.(2012 湖南高考，文 9)設(shè)定義在 R 上的函數(shù)

3、f(x)是最小正周期為 2n的偶函數(shù)，f ( X) n n )且XM 時(shí)， ). D. 8 X-2 f (x) m,則 M+ m= 5. (1) (2012 陜西高考，文 21)設(shè)函數(shù) f (x) = xn+ bx+ c(n N+, b, c R). -1,證明：f (x)在區(qū)間|2, 1 內(nèi)存在唯一零點(diǎn)； 設(shè)n為偶數(shù)，| f( -1)| 1, |f (1)| 1,求b+ 3c的最小值和最大值； 設(shè)n= 2，若對(duì)任意X1, X2 - 1,1，有|f(x -f(X2)| 0)表示的曲線上，其中 k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo). 護(hù)千米 單位長(zhǎng)度為 1 千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知

4、炮彈發(fā)射后的軌跡在方程 則 f(f( - 4)= -2 - 際應(yīng)用問題的考查，題目大多以社會(huì)實(shí)際生活為背景，設(shè)問新穎、 靈活，而解決這些問題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中教材和課標(biāo)中所要求 掌握的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)和方法. 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一確定函數(shù)的零點(diǎn) 1 【例 1】設(shè)函數(shù) f (x) = - ln x(x 0)，則 y = f (x)( ). B. 在區(qū)間|, 1 I, (1 , e)內(nèi)均無零點(diǎn) C. 在區(qū)間 I 1 內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1 , e)內(nèi)無零點(diǎn) D. 在區(qū)間 e 1內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1 , e)內(nèi)有零點(diǎn) - 規(guī)律方法確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法： (1) 解

5、方程判定法，方程易解時(shí)用此法； (2) 利用零點(diǎn)存在的判定定理； (3) 利用數(shù)形結(jié)合，尤其是那些方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同時(shí)多以數(shù)形結(jié)合法求解. 變式訓(xùn)練 1 方程 I X| = COS X在(8,+ )內(nèi)( ). A.沒有根 B.有且僅有一個(gè)根 C.有且僅有兩個(gè)根 D.有無窮多個(gè)根 熱點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 【例 2 (1) m為何值時(shí)，f (x) = x2+ 2mx+ 3n+ 4, 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)？ 有兩個(gè)零點(diǎn)且均比1 大？ (2)若函數(shù) H x) = |4x x2| + a有 4 個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 規(guī)律方法 解決由函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利

6、 用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解，再者，對(duì)于存在零點(diǎn) 求參數(shù)范圍問題，可通過分離參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題. -，x2， 變式訓(xùn)練 2 已知函數(shù)f(x) x 若關(guān)于x的方程f(x)= k有兩個(gè)不同 3 Jx 1)，x 3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為 y千元. 1 求年利潤(rùn)y(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； 2 求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大，并求出最大年利潤(rùn). 思想滲透 A.在區(qū)間 I1, 1 e ，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn) -3 - (1) 寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； (2) 求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的 r. 規(guī)律方法應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解應(yīng)用題的步驟： (1

7、) 正確地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解應(yīng)用題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化來源于對(duì)已知條件的 綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類. (2) 用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)，進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，確定最佳解題方案，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的計(jì)算求解. (3) 把計(jì)算獲得的結(jié)果代回到實(shí)際問題中去解釋實(shí)際問題，即對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行總結(jié)作答. 變式訓(xùn)練 3 某種產(chǎn)品每件成本為 6 元，每件售價(jià)為x元(x6)，年銷量為u萬件，若已 585 21 2 知百u與x 成正比，且售價(jià)為 10 元時(shí)，年銷量為 28 萬件.-4 - 函數(shù)與方程思想的含義 (1) 函數(shù)的思想， 是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)， 分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系， 建立函

8、數(shù)關(guān)系 或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、 轉(zhuǎn)化問題， 從而使問題獲得解決函數(shù)思 想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和 解決問題. (2) 方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程 (方程組)或者構(gòu)造方 程，通過解方程(方程組)或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方程的 思想是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程 (方程組)的觀點(diǎn)觀察、處理 問題. (3) 方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)：方程 f(x) = 0 的解就是函數(shù) y= f(x)的圖象與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù) y= f (x)也可

9、以看作二元方程 f (x) y = 0,方程f (x) = a有解，當(dāng) 且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要. E 如圖所示，長(zhǎng)方體物體 E在雨中沿面 R面積為S)的垂直方向做勻速移動(dòng)，速度為 v(v 0)，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為 C(C R) E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分： P 1 或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|vc| x S成正比，比例系數(shù)為 10； 1 其他面的淋雨量之和，其值為 2.記y為E移動(dòng)過程中的總淋雨量當(dāng)移動(dòng)距離 d= 100,面積 S= 2 時(shí), (1) 寫出y的表達(dá)式； (2) 設(shè) 0v v 10,0 v C

10、W 5,試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度 v，使總淋雨量y最 少. 3 1 解：(1)由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為 可|v c| + 2, 斗 100 (3 1、5 故 y 20|v C| + 2 = v(31 v c| + 10) (2)由(1)知， r 亠 5 5(3 c + 10) 當(dāng) 0 v v w c 時(shí)，y = (3c 3v+ 10) = 15； v v r 亠 5 5(10 3c) 當(dāng) c v v W 10 時(shí)，y= v(3v 3c + 10) = j + 15. 當(dāng) 0v cw 3 時(shí)，y是關(guān)于v的減函數(shù).故當(dāng)v = 10 時(shí)，ymin= 20 當(dāng)號(hào)v cw5時(shí)，

11、在(0 , c 上, y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c, 10 上, y是關(guān)于v的增函數(shù). 5(3 c+ 10) v 故y = * 5(10 3c) -v 15, + 15, 0v c, c0), 2 ax + bx( x0), 已知函數(shù)f (x) = 2 -x - 4x( x0 ), A. 0 對(duì) B. 1 對(duì) 則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有 ( ). C. 2 對(duì) D. 3 對(duì) ；1、 Afo, 5丿 D. 1,3 給出下列結(jié)論: ax+ 1, - K x0, f (x) = bx+ 2 x + 1 0 x 0 可知: 當(dāng) X 0, n 時(shí)，f(x) v 0, f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x 守,n時(shí)，f(

12、x) 0, f(x)單調(diào)遞增. .f(f( 4) = f(16) = 16 = 4. 1 x , 1 3.4 解析：當(dāng) 0vav 1 時(shí)，f(x) = &在1,2上的最大值為 a = 4,即a=-,最小值 為a2= m 從而m=箱，這時(shí)g(x) = 1 4x 5 ,X，即g( x) = 4 y x在0 , )上是增函數(shù).當(dāng) 1 a 1 時(shí)，f(x) = ax在1,2上的最大值為a2= 4，得a= 2，最小值為a1= m即 m=，這時(shí) 設(shè) g(x) = x,貝y g( x) = g(x), g(x)是奇函數(shù). 由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知 g(X)max+ g(x) min= 0, M+ m= g(x

13、) + 1 max+ g(x) + 1 min =2 + g( x) max+ g( x) min = 2. 5. (1)證明：當(dāng) b= 1, c= 1, n2 時(shí)，f (x) = xn + x 1. 1 1 1 - f 2 f(1) = 2n 2 X 1v 0, ,1 f (x)在 i, 1 內(nèi)存在零點(diǎn). 又當(dāng) x 2 1 時(shí)，f(x) = nxn 1+ 1 0, f (x)在|2, 1 上是單調(diào)遞增的. f(x)在 2, 1 內(nèi)存在唯一零點(diǎn). K f 1 Wl, 0 b cw2, 解：方法一：由題意知* 1 廠 即* 、1 w f 7：1, 2w b + cw 0. 由下圖知，b+ 3c在

14、點(diǎn)(0， 2)取到最小值一 6, g(x) = (1 4m& = &在0 ,+s)上為減函數(shù)，不合題意，舍去.所以 a=4. 4. 2 解析：f(x)= 12 + sin x2+ 1 2x+ sin x2+ 1 又 x 0 , n 時(shí)，f(x) (0,1)，且f (x)是最小正周期為 2 n的偶函數(shù)，可畫出 f(x) 的草圖為： 可知在2n , 2n 上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 4. 2 . 4 解析：T f ( 4) = = 16, -9- 在點(diǎn)(0,0)取到最大值 0, b+ 3c 的最小值為一 6, 方法二：由題意知 K f(1) = 1 + b+ cw 1,即2w b+ c0, iw f( i)=

15、1 b+ cw 1,即一 2 1，即 | b| 2 時(shí)，M= | f(1) f( 1)| = 2| b| 4,與題設(shè)矛盾； 當(dāng)一 1w 0，即 0V bw2 時(shí)， M= f (1) f ( b i= + 1)w 4 恒成立； b 當(dāng) 0w專1,即一 2w bwo時(shí)， M= f( 1) f 2 = 2 1 2w4 恒成立. 綜上可知，2w bw2. 1 2 2 6. 解：(1)令y = 0，得kx 20(1 + k)x = 0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知 x0, k0, 所以炮的最大射程為 10 千米. . 1 2 2 (2)因?yàn)閍0，所以炮彈可擊中目標(biāo)：二 存在k 0,使 3.2 = ka刃(1

16、+ k ) a成立二 關(guān) 于 k 的方程 a k 2 0ak+ a + 64= 0 有正根 判別式 = ( 2 0a) 4a (a + 64)0 = aw6. 所以當(dāng)a不超過 6(千米)時(shí)，可擊中目標(biāo). 精要例析聚焦熱點(diǎn)f 方法三：由題意知f 1 = 1 b+ c, =1 + b+ c, c= f 20k 20 一 2 1 + k 1 k + 20 2 =10,當(dāng)且僅當(dāng) k= 1 時(shí)取等號(hào). 解得b= -10 - 熱點(diǎn)例析 們 1 1 11 1 1 【例 1】D 解析：法一 ： f 一 = In = + 1 0, f(1) =-In 1 = ； 0, f(e) 9 丿 3 e e 3e 3 3

17、 e e =3ln e = 31 0, f(1) f (e) 0,故y= f (x)在區(qū)間匕，1 內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1 , e)內(nèi) -e 有零點(diǎn). 圖. n n 當(dāng)x 1, y = cos x 1 , X2 1 , X1M X2. 貝U X1 + X2= 2m X1 X2= 3m+ 4, m4, m 5. 故m的取值范圍是m 5 m0, 吊3 m- 40, X1 + 1 + X2 + I 0, 2m+ 20, .X1 + 1 X2 + I 3m+ 4 + 2m + 10 故只需 1 【變式訓(xùn)練 1】C 解析：在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) y= | x|和y= cos x的圖象，如 r 兀 n 當(dāng)

18、 x 2 時(shí)，y= I x| 7t 有兩 2-11 - 3 20 令、Jc2 = m 得 m0, 8 n c 2 所以 y，= - r(r m( r2+ rm+ ni). 9 當(dāng) 0v mv 2 即c2 時(shí)， 當(dāng) r = m時(shí)，y = 0 ； 當(dāng) r (0 , m 時(shí)，y v 0; 當(dāng) r (m,2)時(shí)，y 0. 所以r = m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn). 9 當(dāng) 2, 即卩 3v cw 時(shí)， 由函數(shù)圖象知，如圖所示，當(dāng) 0 v kv 1 時(shí)直線y = k與函 , 80 n 又V=， 由于I 2 r, 4 3 V-3n r 80 2 n r 因此 0v r w 2. 所以建造費(fèi)用 4 4

19、 2 3P 3r = 3 r y = 2 n rl x 3+ 4n 幾=2n r x 57 - r x 3+ 4n & 因此 y= 4n (c 2) r2+ 0 n , 0v r w 2. 160 n 由(1)得 y = 8 n (c 2)r 孑一 8 n c 3 20 = P r 三，0 v rv 2. 由于c3,所以c 20. 2 . . 由圖象可知要使|4 x x | = a有四個(gè)根， 則需g(x)的圖象與h(x)的圖象有四個(gè)交點(diǎn), 0v av4,即一 4v av 0. 【變式訓(xùn)練 2】(0,1) 解析： -12 - 當(dāng)r (0,2)時(shí)，y v 0，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以r = 2 是函數(shù)

20、y的最小值點(diǎn).-13 - 9 9 3 20 綜上所述，當(dāng) 32 時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r = 585 f 21 【變式訓(xùn)練3】 解： 設(shè) u= kx J, 售價(jià)為 10 元時(shí)，年銷量為 28 萬件， -14 - 585 8 21 28= k 10 才， 解得k= 2. / 21、2 585 2 u= 2 x 4 2+可=2x2+ 21x+ 18. 即 y = ( 2x2 + 21x+ 18)( x 6) = 2x3+ 33x2 108x 108. 由(1)得 y= 6x + 66x 108= 6(x 11x+ 18) =6( x 2)( x 9), 由 y = 0 得 x= 2( /x6,舍去)或

21、 x= 9. 顯然，當(dāng) x (6,9)時(shí)，y 0;當(dāng) x (9 ,+)時(shí)，y 0. 函數(shù) y= 2x3 + 33x2 108x 108 在(6,9)上是增函數(shù)， 在(9 ,+)上是減函數(shù). 當(dāng)x= 9 時(shí)，y取最大值，且 ymax= 135. 售價(jià)為 9 元時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為 135 萬元. 創(chuàng)新模擬預(yù)測(cè)演練 1. C 解析：方法一：設(shè) 0 (x) = (x a)( x b)，由題意，f(n) = 3 ( m- a)( m- b) = 0, 即 0 ( m = ( m- a)( n b) = 3 0，同理可得 0 ( n) = 3 0,如圖所示，故 a m n0)，貝U Q x。，一

22、 y。). 所以 yo= log 2x0, yo= x0+ 4xo, yo = log 2X0, 即仁 x2 4x0, (1) 方程組(1)的解的個(gè)數(shù)即是“友好點(diǎn)對(duì)”數(shù)， 在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象如圖，有兩個(gè)交點(diǎn)，所以有 2 對(duì)友好點(diǎn)對(duì). 3. C 解析：作出函數(shù)f (x)在1,3上的圖象，g(x) = f (x) kx 2k的零點(diǎn)即f (x)與 g(x) = h(x)的根，也即 C. -15 - 函數(shù)y = kx + 2k = k(x+ 2)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，y= k(x+ 2)恒過定點(diǎn)(一 2,0)，結(jié)合圖象分析即可. 4. 解析：f(f(1) = f( 1) =- f(1) = 1，正確；易知f(x)的三個(gè)零點(diǎn)是一 2,0,2，正確；當(dāng)x ( a, 1時(shí)，f (x)也單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；由奇函數(shù)圖象的特點(diǎn) 知，題中的函數(shù) f(x)無對(duì)稱軸，錯(cuò)誤；奇函數(shù) f (x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù) y= f(x + 1) + 2 圖象的對(duì)稱中心應(yīng)是點(diǎn)(一 1,2)，錯(cuò)誤.f(x)不一定具有奇偶性，錯(cuò)誤.填 . 5. 10 解析：根據(jù)題意，可得 f -1 二 fl， -f (-另 1 即労+2 1 丁 =