1、熱點(diǎn)專題2規(guī)律探究問題中考要求數(shù)學(xué)中的所謂歸納，是指從許多個(gè)別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論的思維方法。探索規(guī)律性問題就是根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)“ 創(chuàng)新意識(shí) 的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”的要求，近年中考數(shù)學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)的考題.歸納規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)

2、律。它體現(xiàn)了 “特殊到一般（再到特殊）”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力.結(jié)合2019年全國各地中考的實(shí)例，我們從下面八方面探討歸納規(guī)律性問題的解法：（1）根據(jù)數(shù)的排列或運(yùn)算規(guī)律歸納；（2）根據(jù)式的排列或運(yùn)算規(guī)律歸納；（3）根據(jù)圖的變化規(guī)律歸納；（4）根據(jù)尋找的循環(huán)規(guī)律歸納；（5）根據(jù)代數(shù)式拆分規(guī)律歸納；（6）根據(jù)一階遞推規(guī)律歸納；（7）根據(jù)二階遞推規(guī)律歸納；（8）根據(jù)乘方規(guī)律歸納.I 專題集訓(xùn)考向1數(shù)字類規(guī)律探究型問題1. （2019 海南）有2019個(gè)數(shù)排成一行，對(duì)于任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩個(gè)數(shù)的和，如果第一個(gè)數(shù)是

3、0,第二個(gè)數(shù)是1,那么前6個(gè)數(shù)的和是 ,這2019個(gè)數(shù)的和是 .【答案】0, 2【解析】根據(jù)題目的規(guī)則，0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,，每 6個(gè)數(shù)是一個(gè)循環(huán)單位，前 6個(gè)數(shù)的和是 0, 2019+ 6 =336-3, 這 2019個(gè)數(shù)的和=0+1 + 1=2.2. （2019 黃石） 將被3整除余數(shù)為1的正整數(shù)，按照下列規(guī)律排成一個(gè)三角形數(shù)陣4710 13 1619 22 25 2831 34 37 40 43L L L L則第20行第19個(gè)數(shù)是.【答案】625【解析】由圖可得，第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)，則前20行的數(shù)字有：1+2+3+-

4、 + 19+20=210 個(gè)數(shù)，第 20行第20個(gè)數(shù)是：1+3 （210- 1） =628, 第20行第19個(gè)數(shù)是：628 - 3=625.3. （2019 武威）已知一列數(shù)a, b, a b, a 2b, 2a 3b, 3a 5b,，按照這個(gè)規(guī)律寫下去，第9個(gè)數(shù)是.【答案】13a 21b【解析】 由題意知第7個(gè)數(shù)是5a 8b,第8個(gè)數(shù)是8a 13b,第9個(gè)數(shù)是13a 21b ,故答案為13a 21b.4. （2019 云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x3, x5, x7, x9, x11,第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A. （ 1） nTx2nTB. （ 1） nx2nTC. （-1） n-1x2n+1D

5、. （-1） nx2n+1【答案】C【解析】本題考查了通過探究規(guī)律性列代數(shù)式的能力，;x3= （ - 1） 1x2x1+1,、,5=（1）2Tx2X2+1、,7=（1）3Tx2X3+1、,9=（1）4-1_2X4+1、J1=（1）5-1、.2X5+1由上可知，第n個(gè)單項(xiàng)式是：（-1）1x2n+1,因此本題選 C.5. （2019 聊城）數(shù)軸上O, A兩點(diǎn)的距離為4, 一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO 的中點(diǎn)A1處，第2次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到 AO的中點(diǎn)A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn) A, As, A6,，A（n>3, n是整數(shù)）處

6、，那么線段 AA的長度為（n>3, n是整數(shù)）.【解析】: AO=4 OA=2,一 一 1-11一一 1OA=1, OA=, OA=,可推測 OA=f ,AnA=AO- OA=4一-.2222n 22n 26. （2019 安順）將從1開始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，例如位于第 3行、第4列的數(shù)是12,則位于第45行、第7列的數(shù)是【答案】2019【解析】觀察圖表可知：第n行第一個(gè)數(shù)是n2, 第45行第一個(gè)數(shù)是2025, 第45行、第7列的數(shù)是2025-6=2019,故答案為 2019.7. (2019 永州)我們知道，很多數(shù)學(xué)知識(shí)相互之間都是有聯(lián)系的.如圖，圖一是“楊輝三角”數(shù)陣，其規(guī)律是：

7、從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“ 1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上數(shù)之和；圖二是二項(xiàng)和的乘方(a + b)Yq展開式(按b的升哥排列).經(jīng)觀察：圖二中某個(gè)二項(xiàng)和的乘方的展開式中，各項(xiàng)的系數(shù)與圖一中某行的數(shù)一一對(duì)應(yīng)，且這種關(guān)系可一直對(duì)應(yīng)下去.將(s+x)15的展開式按x的升哥排列得：(s+x)15=a0+ a1x + a2x2+ a15x15.依上述規(guī)律，解決下列問題：若 s=1,貝U a2=.(2)若 s=2,貝U a0+a1 + a2+ a15=.回二(5匕(一獷匕+必占:一產(chǎn)(a+AT-tT占 +1f爐一爐【答案】(1)105 (2)315【解析】(1)當(dāng)s=1時(shí)，(1 + x) 1 =

8、1 + x(1 + x) 2=1 + 2x + x2a2=1(1 + x) 3=1 + 3x + 3x2+ x3 a2=3=1 + 2(1 + x) 4=1 + 4x + 6x2+4x3+x4 a2=6=1+ 2 +3(1 + x) 5=1 + 5x + 10x2+10x3+5x4+x5 a2=10=1 + 2+3+4(1 +x)6=1 +6x + 15x2 + 20x3+15x4+6x5+x6 a2=15=1 + 2+3+4+5當(dāng) n=15 時(shí)，a2=1 + 2+3+4+ 14=1 X (1 +14)X14 =105.2（2）若 s=2, 令 x=1 ,則（2+ 1）15= a0+ai+a2

9、+ ai5,即 a0+ai+a2+ ai5=315.考向2 幾何圖形類規(guī)律探究型問題1. （2019 畢節(jié)）下面擺放的圖案，從第二個(gè)起，每個(gè)都是前一個(gè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)個(gè)圖案中箭頭的指向是（）©O 1A.上方B.右方C.下方D.左方【解析】如圖所示：每旋轉(zhuǎn) 4次一周，2019+ 4 =5043,則第2019個(gè)圖案中箭頭的指向與第 3個(gè)圖案方向一致，箭頭的指向是下方.故選C.得到，第 20192019個(gè)圖O。O O OO OOo0整件姆個(gè)OOOOOO OOOO和個(gè)OOOO OOOOO和牛2. （2019 天水）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第 形中共有

10、 個(gè)。.【答案】6058【解析】由圖可得，第1個(gè)圖象中。的個(gè)數(shù)為：1+3X 1 =4,第2個(gè)圖象中。的個(gè)數(shù)為：1+3X2 =7,第3個(gè)圖象中。的個(gè)數(shù)為：1+3X 3 =10,第4個(gè)圖象中。的個(gè)數(shù)為：1+3X4 =13,第2019個(gè)圖形中共有：1+3X 2019 =1+6057=6058個(gè)0,故答案為：6058.2幅圖中有3個(gè)3. （2019 甘肅）如圖，每一圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)菱形，筍菱形，第3幅圖中有5個(gè)菱形，如果第n幅圖中有2019個(gè)菱形，則n .O <3> <380 - <S> O第1幅 第2幅 第3幅第巾幅【答案】1010【解析】解

11、：根據(jù)題意分析可得：第 1幅圖中有1個(gè).第2幅圖中有2 2 1 3個(gè).第3幅圖中有2 3 1 5個(gè).第4幅圖中有2 4 1 7個(gè).可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多2個(gè).故第n幅圖中共有（2n 1）個(gè).當(dāng)圖中有2019個(gè)菱形時(shí),2n 1 2019, n 1010 ,故答案為 1010.4. （2019 大慶）歸納"T"字形，用棋子擺成的"T"字形如圖所示，按照圖，圖的規(guī)律擺下去，擺成第 個(gè)"T"字形需要的棋子個(gè)數(shù)為【答案】3n+2【解析】第1個(gè)圖形有5個(gè)棋子，第2個(gè)圖形有8個(gè)棋子，第3個(gè)圖形有11個(gè)棋子，所以第n個(gè)圖形有（3n+2）

12、個(gè)棋子5. （2019 龍東地區(qū)）如圖，四邊形OAAB1是邊長為1的正方形，以對(duì)角線OA為邊作第二個(gè)正方形 OAA2B2,連接AA,得到 AAA,再以對(duì)角線OA為邊作第三個(gè)正方形OAA3B3,連接AA3,得到A1AA3,再以對(duì)角線OA為邊作第三個(gè)正方形OAA4B4,連接A2As得到AAA4,，記AA1A2,AAA3,AA3A的面積分別為S , S2,S3，如此下去，則S2019=1【解析】 AAA2中，AA=1, AA邊上的圖是1,它的面積 S = - X1X1；1 A1AA3中，AA2=1X J2，AA2邊上的圖是 1 X ,2 ,它的面積 S2=- X1X 72 x 1 x 72 >

13、.一 - 一 1- AAA4 中，AA3=1x j2 x 72 ,AA 邊上的圖是 1x J2 x J2，它的面積 S3=- X1x y2 x J2 x 1 x2乂 & ；如此下去)A2018A2019A2020 中)A2018A2019=14 4 4 2 4 4 4 3 = (V2) 20184018A2019 邊上的高是(2)2"8它2018個(gè)72相乘''的面積 4019=( X (" 2018 x (揚(yáng)2018 =220176.(2019 揚(yáng)州)如圖，在 ABC中，AB 5, AC 4 ,若進(jìn)行以下操作，在邊 BC上從左到右依次取點(diǎn) D1、D2

14、、D3、D4、；過點(diǎn)D1作AB、AC的平行線分別交 AC、AB于點(diǎn)E1、E ;過點(diǎn)D1作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點(diǎn)E2、F2；過點(diǎn)D3作ab、AC的平行線分別交 AC、AB于點(diǎn)E3、F3則 4(2匕D2E2D2019E2019)5(DFD2F2D2019 F2019 )s 口： 口尹b *c【答案】40380【解析】QD1F1/AC, D1E1/ABD1F1 BF1D1F1-、 RIJ AC ABACAB D1E1AB ，Q AB 5, BC 44D1Ei5D1F120同理 4D2E2 5D2F2204 D2019 E20195 D2019 F201920 ,4( Di EiD2E

15、2D2019 E2019)5(DiFiD2F2D2019F2019)20 201940380 ；故答案為40380.考向3點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律探究型問題1. (2019 河南)如圖，在 OAB中，頂點(diǎn) O (0, 0) , A ( 3, 4) , B(3, 4) .將OABt1正方形 ABCD組成的圖形繞點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn) 90。，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A. (10, 3)B.(3, 10)(103)D.(3, 10)C.CDAOM4) ,AB=6 AB/ x 軸,【解題】延長 DA交x軸于點(diǎn)MTA （-3, 4） , B （3.四邊形 ABCM正方形，AD=AB=6 /

16、DAB=90 , . . / DM0h DAB=90 ,連結(jié) OD RtADMO, MO=3 DM=10則 D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3, 10)將 OA*正方形ABCDg點(diǎn)O每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° , RtDMCfe同步繞點(diǎn)O每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°當(dāng)圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針第一次旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)的坐標(biāo)為（10, 3）,當(dāng)圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針第二次旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)的坐標(biāo)為（3, -10）,當(dāng)圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針第三次旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)的坐標(biāo)為（-10, -3）,當(dāng)圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針第四次旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3 , 10）,當(dāng)圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針第五次旋轉(zhuǎn)90&#

17、176;后,點(diǎn)的坐標(biāo)為（10, 3）,每四次為一個(gè)循環(huán)，: 70+4=17 2, 旋轉(zhuǎn) 70次后，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3, -10）,故選D.2. （2019 荷澤）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是：從原點(diǎn)O出發(fā)，按“向上一向右一向下一向右”的方向依次不斷移動(dòng)， 每次移動(dòng)1個(gè)單位長度，其移動(dòng)路線如圖所示， 第一次移動(dòng)到點(diǎn) A, 第二次移動(dòng)到點(diǎn) A第n次移動(dòng)到點(diǎn)兒，則點(diǎn)Aoi9的坐標(biāo)是（）.Li能 血 & 抬J n n n iA. (1010, 0)B. (1010, 1)C. ( 1009, 0)D. ( 1009, 1)【答案】C【解析】A (0, 1) , A2 (1, 1

18、) , A (1, 0) , A (2, 0) , A5 (2, 1) , A (3, 1),，2019+ = =504- -3,所以A2019的坐標(biāo)為(504X2+1,0),則A2019的坐標(biāo)是( 1009, 0),故選 C.3. (2019?廣安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),以O(shè)A為直角邊作RtAOA1A2 ,并使AOA?60 ,再以O(shè)A2為直角邊作RtA OA2A3,并使A2OA360 ,再以O(shè)A3為直角邊作RkOAsA,，并使 A3OA4 60按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為.【答案(2 2017【解析】由題意得，A1的坐標(biāo)為（1,0）,與的坐標(biāo)為（1,點(diǎn)

19、），A3的坐標(biāo)為（2, 273）,A4的坐標(biāo)為（8,0） , A5的坐標(biāo)為（8, 8拘，A6的坐標(biāo)為（16, 163） , A7的坐標(biāo)為（64,0）,由上可知，A點(diǎn)的方位是每6個(gè)循環(huán)，與第一點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在 x正半軸上，其橫坐標(biāo)為 2n 1 ,其縱坐標(biāo)為0,與第二點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n 2 ,縱坐標(biāo)為2n 2芯,與第三點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n 2,縱坐標(biāo)為2n 2 73，與第四點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x負(fù)半軸上，其橫坐標(biāo)為2n 1，縱坐標(biāo)為。，與第五點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n 2,縱坐標(biāo)為2n 2J3,與第六點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2

20、n 2 ,縱坐標(biāo)為 2n 2 J3 ,Q2019 6 336 3,點(diǎn)A2019的方位與點(diǎn)A23的方位相同，在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n222017,縱坐標(biāo)為22017 J3,故答案為：（22017, 22017褥.4. （2019 東營）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y Y3x和yJ3x的圖象分別為直線11, 12,過11上3的點(diǎn)A （1,）作x軸的垂線交12于點(diǎn)A2,過點(diǎn)A2作y軸的垂線交11于點(diǎn)N,過點(diǎn)A作x軸的垂線交12 3于點(diǎn)A4，一次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的橫坐標(biāo)為1 1009-3【解析】：本題考查坐標(biāo)里的點(diǎn)規(guī)律探究題，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律:3Ai (1, -3) , A2 (1,33 ),A (-3 ,J3) , A4 (-3, 3痣)，A (9, 3<3 ) , A (9,973),A (-27 ,9V3 ),A2n+1(-3) n, 3X(-3) n (n 為自然數(shù))，2019=1009X 2+1,所以A2019 的橫坐標(biāo)為：(-3) 1009=-3 1009.15. （2019 本溪）如圖，點(diǎn)Bi在直線1 : y x上，點(diǎn)Bi的橫坐標(biāo)為2,過點(diǎn)B作BAL ,交x軸于點(diǎn)2A,以AB為邊，向右作正方形 A1B1B2