1、碩士研究生入學統考數學試卷分為四種：碩士研究生入學統考數學試卷分為四種：工學：工學： 數學一、數學二數學一、數學二經濟學和管理學：經濟學和管理學： 數學三、數學四數學三、數學四l數學一：數學一： 高等數學，線性代數，概率論與數理統計高等數學，線性代數，概率論與數理統計l數學二：數學二： 高等數學，線性代數高等數學，線性代數l數學三：數學三： 微積分，線性代數，概率論與數理統計微積分，線性代數，概率論與數理統計l數學四：數學四： 微積分，線性代數，概率論微積分，線性代數，概率論數學一內容比例：高等數學數學一內容比例：高等數學 約約56% 線性代數線性代數 約約22% 概率論與數理統計概率論與數理

2、統計 約約22%第一節第一節 多元函數的基本概念多元函數的基本概念第二節第二節 偏導數偏導數第三節第三節 全微分及其應用全微分及其應用第四節第四節 多元復合函數的求導法多元復合函數的求導法第五節第五節 隱函數的求導公式隱函數的求導公式第六節第六節 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用第七節第七節 方向導數與梯度方向導數與梯度第八節第八節 多元函數的極值及其求法多元函數的極值及其求法 |0,00PPPPU 稱為點稱為點 0P的的 去心鄰域去心鄰域. 若不需要強調鄰域半徑若不需要強調鄰域半徑, 用用0PU表示點表示點0P 的的鄰域。鄰域。 0P1. 鄰域鄰域:,0 00,PPPPU即即 .,2

3、0200 yyxxyxPU 稱為點稱為點0P的的 鄰域。鄰域。 設設 000y,xP為為面上一定點面上一定點,xOy0P2 2區域區域EP開集：開集：若點集若點集E的點都是內點的點都是內點, 則稱點集則稱點集E為開集為開集.EP邊境：邊境：E邊界點的全體稱為邊界點的全體稱為的邊界的邊界.是平面上一點，是平面上一點，P若存在若存在 ,E,PU 設設是平面上一個點集是平面上一個點集,E稱點稱點P為點集為點集E的內點。的內點。內點：內點：顯然內點顯然內點 .EP 例如例如41,221yxyxE是開集。是開集。1E的邊界是圓周：的邊界是圓周：122 yx和和.yx422 邊界點：邊界點：E稱稱P為為的

4、邊界點的邊界點.若點若點P的任一鄰域內既有屬于的任一鄰域內既有屬于的點的點,E也有不屬于也有不屬于的點的點,E41,222yxyxE連通：連通：設設D是開集，是開集，若對若對D內任意兩點，內任意兩點，都可用包含于都可用包含于D 內的內的折線連結起來折線連結起來,則稱則稱D是連通的。是連通的。區域或開區域：區域或開區域：連通的開集稱為區域或開區域連通的開集稱為區域或開區域.41,221yxyxE為區域或開區域為區域或開區域開區域連同它的邊界一起，開區域連同它的邊界一起，閉區域：閉區域：稱為閉區域。稱為閉區域。yOxyOx為閉區域。為閉區域。0,3yxyxE及及 AB AB AK3. n維空間維空

5、間有界的閉區域。有界的閉區域。例如例如,0,4yxyxE無界的開區域。無界的開區域。有界點集與無界點集：有界點集與無界點集：,E對于點集對于點集,K0 假設假設使得使得,EP P與某一定點與某一定點A間的距離間的距離,KAP 則稱則稱E為有界點集，為有界點集， 否則稱為否則稱為無界點集。無界點集。41,222yxyxE41,221yxyxE有界的開區域。有界的開區域。0,3yxyxE無界的閉區域。無界的閉區域。數軸上：數軸上： 點點實數實數平面上：平面上： 點點 y,x空間中：空間中：點點zyx,EP設設n為取定的一個自然數，為取定的一個自然數， nx,x,x21的全體為的全體為維空間。維空間

6、。n稱稱元有序數組元有序數組n維空間：維空間：n數數ix稱為該點的稱為該點的第第i個坐標個坐標維空間記為維空間記為.nRn稱為稱為 維空間中的一個點。維空間中的一個點。n nx,x,x21維空間中的兩點維空間中的兩點nnxxxP,21及及 ny,y,yQ21間間的距離為的距離為 2222211nnxyxyxyPQ 設設,RPn 0,0 維空間中點集維空間中點集n那么那么nRPPPPPU,00 0P為點為點的的 鄰域。鄰域。相應的可以定義點集的內點、邊界點、區域等概念。相應的可以定義點集的內點、邊界點、區域等概念。例如：圓柱體的體積例如：圓柱體的體積 hrv2 長方體的體積長方體的體積abcv

7、類似可定義三元、四元函數，類似可定義三元、四元函數， 二元以上的函數稱為多元函數二元以上的函數稱為多元函數 記為記為yxfz, Dyxyxfzz,定義定義 設設D是平面上一點集，是平面上一點集， ,y,xP若對若對D內每一點內每一點變量變量按照一定法則總有確定的值與之對應，按照一定法則總有確定的值與之對應，z則稱則稱是變量是變量y,xz的二元的二元函數或點函數或點P的函數），的函數），點集點集D為其定義域為其定義域y,x為其自變量，為其自變量，z也稱為因變量也稱為因變量數集數集稱為該函數的值域。稱為該函數的值域。（或（或 Pfz ）例求下列函數的定義域：例求下列函數的定義域： ; 1122yx

8、z ;ln12yxxz .arcsin322yxz解解 ; 1122 yx ;002yxx .yx1322 (1)yOx()yOx()yOx0 yxD二元函數的幾何意義：二元函數的幾何意義： y,xfz 在幾何上表示空間曲面在幾何上表示空間曲面.如如,cbyaxz 平面平面;221yxz 上半球面上半球面;22yxz 旋轉拋物面旋轉拋物面;22yxz 上半錐面上半錐面;yOxzx z , y,xM y,xfz y P 定義定義2 2若對若對 ,0 ,0 當當 20200|0yyxxPP時時, , 恒有恒有 |,|Ayxf成立成立. . 記作記作 ,lim00Ayxfyyxx或或 0, Ayxf

9、. |0PP 設函數設函數 y,xfz 在區域在區域內有定義內有定義, , D 000y,xP是是 D的內點或邊界點。的內點或邊界點。 則稱常數則稱常數 yxfz,當當00yy,xx時的極限時的極限, , 為為 A二元函數的極限稱為二重極限。二元函數的極限稱為二重極限。 注：注：1、2 二元函數的極限概念可以推廣到二元函數的極限概念可以推廣到 n元函數自己推）。元函數自己推）。 例例2設設 01sin,222222yxyxyxyxf求證求證 . 0,lim00yxfyx證證0- 22221sinyxyx,0 對對當當 2222000yxyx時時,恒有恒有 成立成立, 0- 22221sinyx

10、yx所以所以 . 0,lim00yxfyx, 取取22221sinyxyx要使要使 22yx 只要證只要證 ,0 對對 , 0 使得使得 當當 22000yx時時,成立成立, 0- 22221sinyxyx例例3證明證明 .0lim2200yxxyyx證證022 yxxy222221yxyx2221yx ,0 對對 2222220021210yxyxyxxy成立成立., 2取取所以所以 . 0lim2200yxxyyx當當 2222000yxyx時時,例例4.討論討論 2200limyxxyyx是否存在是否存在?解解220limkxxkxxx21kk 極限值與極限值與 k有關，有關， 當點當點

11、 y,xP沿直線沿直線 kxy 時，時， 趨于點趨于點 00,O2200limyxxykxyx2200limyxxyyx所以所以 不存在不存在 2200limyxxyyx二重極限的存在，二重極限的存在， 時，時， 函數值都接近于函數值都接近于 .A注：注：反之，反之， 當當 y,xP以不同方式趨于以不同方式趨于 000y,xP 時，時， 函數值函數值 趨于不同的值，趨于不同的值， 則函數的極限不存在。則函數的極限不存在。 y,xP以任何方式趨于以任何方式趨于 000y,xP是指是指 例求極限例求極限 xxyyxsinlim20解解221 xxyyxsinlim20yxyxyyxsinlim20

12、例例6求極限求極限 22222200cos1limyxyxeyxyx解解22222200cos1limyxyxeyxyx2222222002sin2limyxyxeyxyx222sin22sinlim22222200yxyxeyxyxyx0若函數若函數 y,xf在點在點 00y,x處不連續，處不連續， 則稱點則稱點 00y,x為為 yxf,的間斷點的間斷點 則稱函數則稱函數 yxf,若函數若函數 yxfz,內每一點連續，內每一點連續， 在區域在區域 D在在 D內連續，內連續， 或稱或稱 y,xf內的連續函數。內的連續函數。 是是 D定義定義 00,lim00yxfyxfyyxx假設假設 則稱函

13、數則稱函數 yxf,在點在點 00y,x處連續處連續 設函數設函數 y,xfz 在區域在區域 內有定義內有定義, , D 000y,xP是是 D的內點或邊界點的內點或邊界點, , 且且 .DP 0間斷點間斷點 (1)無定義的點無定義的點 00,lim300yxfyxfyyxx 不不yxfyyxx,lim200例如，函數例如，函數 間斷點為：間斷點為： 1,22 yxyx,11sin22yxz .yx,yx,yxxyy, xf000222222所以，點所以，點 00,是函數的間斷點。是函數的間斷點。 再如，函數再如，函數 （孤立點）（孤立點） （函數無定義的點）（函數無定義的點）21kk2200

14、limyxxyyx (極限不存在極限不存在) （曲線）（曲線） 在有界閉區域上多元連續函數具有性質：在有界閉區域上多元連續函數具有性質：性質最大值和最小值定理）性質最大值和最小值定理） 在有界閉區域在有界閉區域 D上的連續函數，上的連續函數， 一定能夠取得最大值和最小值。一定能夠取得最大值和最小值。 性質介值定理）性質介值定理） 在有界閉區域在有界閉區域 D上的連續函數上的連續函數 ，一定能夠一定能夠 取得介于最大值和最小值之間的任何數值。取得介于最大值和最小值之間的任何數值。 多元初等函數能用一個式子表示的函數在其定義區域多元初等函數能用一個式子表示的函數在其定義區域 內連續。內連續。 設函數設函數 Pf為多元初等函數，其定義域為為多元初等函數，其定義域為 ,D且且 ,0DEPE為一區域或閉區域，那么為一區域或閉區域，那么 00limPfPfPP例例7求下列極限：求下列極限： ;lim121xyyxyx .42lim200 xyxyyx 解解.232121 42lim00 xyxyxyyx421lim00 xyyx.41 xyyxyx21lim1 xyxyy