1、雙基自溜命題及其關系、充分條件與必要條件教學講義Z1HI S.HI SHU LI 即U *隨 JU Z7 CE2Hl sHl SHU LI知識梳理昆I用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句 叫做命題，其中 判斷為真 的語句叫做真命題，_判斷為假_的語句叫做假命題.2 .四種命題及其關系(1)四種命題間的相互關系(2)四種命題的真假關系若兩個命題互為逆否命題，則它們有相同 的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系3 .充分條件、必要條件與充要條件若p? q,則p是q的 充分 條件，q是p的 必要條件p是 q的 .充分不必要 _i條件p? q且q,；pp是q的 必要/、

2、充分條件產q且q? pp是q的充耍一條件p? qp是q的_既不充分乂不必要_條件p：q 且 q' ； pR ffl)怨 ZHCJMtiYALJ .Hl： LUW Lr 式重要結論幽1 .若 A = x|p(x), B=x|q(x),則若A? B,則p是q的充分條件； (2)若A? B,則p是q的必要條件；若A=B,則p是q的充要條件；（4）若A B,則p是q的充分不必要條件；（5）若A B,則p是q的必要不充分條件；（6）若AB且A?B,則p是q的既不充分也不必要條件.2 .充分條件與必要條件的兩個特征：對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“ p? q” ? “q?p”

3、.（2）傳遞性：若p是q的充分（必要）條件，q是r的充分（必要）條件，則p是r的充分（必要）條 件，即 “ p? q 且 q? r” ? “ p? r” （ "p?q 且 q?r” ? “p?r”）.J. 21 Ct雙基白涮Q|注意：不能將“若p,則q”與“ p? q”混為一談，只有“若p,則q”為真命題時，才有“ p ? q"，即“ p? q” ？ “若p,則q”為真命題.1 .下列語句為命題的是（D ）A.對角線相等的四邊形B. a<5C. x2-x+ 1= 0D.有一個內角是90°的三角形是直角三角形解析只有選項D是可以判斷真假的陳述句，故選D.2 .

4、命題“平行四邊形的對角線互相平分”的逆否命題是（A ）A.對角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形B.不是平行四邊形的四邊形對角線不互相平分C.對角線不互相平分的四邊形是平行四邊形D.不是平行四邊形的四邊形對角線互相平分解析原命題即“若四邊形是平行四邊形，則其對角線互相平分”，故其逆否命題 “若四邊形的對角線不互相平分，則其不是平行四邊形”，即“對角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形” .3 .（教材改編題）“x= 2”是“x24=0”的（A ）A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析x24=0,則x= ±2,故是充分不必要條件.故選 A.4

5、 .若命題p的否命題為r,命題r的逆命題為s,則s是p的（A ）A .逆否命題B.逆命題C.否命題D.原命題解析假設命題p為“若A,則B” .根據四種命題的關系可知，命題 r為“若？A,則?B"，命題s為“若？B,則？A"，因此s是p的逆否命題.5 .下列命題中為真命題的是 (A )A.命題“若x>y,則x>|y|"的逆命題B.命題“若x>1,則x2>1 ”的否命題C.命題“若x=1,則x2+x2=0”的否命題D.命題“若x2>0,則x>1”的逆否命題解析對于A,其逆命題是"若x>|y|,則x>y"

6、;，是真命題，這是因為x>|y|>y,必有x>y;對于B,其否命題是 “若xW1,則x2wi"，是假命題，如 x=-5, x2=25>1;對于C,其否命題是 “若xwl,則x2+x 2W0"，由于x= 2時，x2+x2=0,所以是假命題；對于D,若x2>0,則xw 0,不一定有x>1,因此原命題的逆否命題是假命題.6 . “tan”= tan 6 是 “ “=6'的()條件(D )A .充分不必要B .必要不充分C.充要D.既不充分也不必要解析 當 tan a= tan 3時，a=時 k tt, kC Z,不一定 a= 3;當 a

7、= 3= 2B, tan a, tan 3 無意義，因此也不能說 tana= tan 3,故選D.7 .寫出下列命題的否定形式和否命題：(1)若xy=0,則x, y中至少有一個為零；(2)若a + b=0,則a, b中最多有一個大于零；(3)若四邊形是平行四邊形，則其相鄰兩個內角相等；(4)有理數都能寫成分數.解析(1)否定形式：若xy=0,則x, y都不為零.否命題：若xyw0,則x, y都不為零.(2)否定形式：若 a+ b=0,則a, b都大于零.否命題：若a+bw0,則a, b都大于零.(3)否定形式：若四邊形是平行四邊形，則它的相鄰兩個內角不相等.否命題：若四邊形不是平行四邊形，則它

8、的相鄰兩個內角不相等.(4)否定形式：有理數不能都寫成分數.否命題：非有理數不能寫成分數.答案略互動探究考點1四種命題及其關系一一自主練透例1 (1)(2018長春*II擬)已知命題“：如果x<3,那么x<5,命題3：如果x>3,那 么x>5,則命題a是命題3的(A )B.逆命題A.否命題C.逆否命題D.否定形式(2)給出以下四個命題：“若x+y=0,則x、y互為相反數”的逆命題；“全等三角形面積相等”的否命題；“若qw1,則x2+x+ q=0有實數根”的逆否命題；若ab是正整數，則a、b都是正整數.其中真命題是 _(寫出所有真命題的序號).(2018北京，13)能說明

9、“若f(x)>f(0)對任意的xC (0,2都成立，則f(x)在0,2上是增函數”為假命題的一個函數是f(x) = sinx, xC 0,2(答案不唯一) .解析(1)命題“：如果x<3,那么x<5,命題3：如果x>3,那么x>5,則命題a是命題3的否命題.(2)“若x+y=0,則x、y互為相反數”的逆命題為“若x、y互為相反數，則x+y = 0”，顯然是真命題；“全等三角形面積相等”的否命題為“不全等三角形的面積不相等 ”，假命題；“若qw 1,則x2+x+q = 0有實根”的逆否命題為“若x2+x+ q=0無實根，則, O1q>1 , x2+x + q=

10、0無實根則= 14q<0,即q>4，從而q>1,故為真命題.(也可由原命題為真得出結論)；顯然是假命題，如ab=2時，可能a= 1, b=-2,故填.(3)本題主要考查函數的單調性及最值.根據函數單調性的概念，只要找到一個定義域為0,2的不單調函數，滿足在定義域內有唯一0, x= 0,的最小值點，且f(x)min=f(0)即可，除所給答案外，還可以舉出 f(x)= 1等.一，0<x< 2導師點睛函數的單調性是對一個區間上的任意兩個變量而言的.根據題意，本題只要找到一個定義域為0,2的不單調函數，滿足在0,2上有唯一的最小值點，而且f（x）min=f（0）即可. 名

11、師點撥 ？（1）由原命題寫出其他三種命題，關鍵要分清原命題的條件和結論，如果命題不是“若p,則q”的形式，應先改寫成 “若p,則q”的形式；如果命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提不變.（2）判斷一個命題為真命題， 要給出嚴格的推理證明； 判斷一個命題為假命題，只需舉出反例.（3）根據“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假.考點2充要條件的判斷一一師生共研考向1定義法判斷* 例2 （2018北京，4）設a, b, c, d是非零實數，則" ad = bc”是“a, b, c, d成 等比數列”的（

12、B ）A .充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件解析本題主要考查充分條件與必要條件，等比數列的性質.由a, b, c, d成等比數列，可得 ad=bc,即必要性成立；當 a=1, b=2, c= 4, d=8 時,ad=bc,但a, b, c, d不成等比數列，即充分性不成立，故選B.考向2集合法判斷» 例3 （文）（2018天津，3）設xCR,則X3>8”是卻>2'的（A ）A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11,（理）（2018 天津，4）設 xC R,則 “ |x 2|&

13、lt;2 是 x3<1"（ A ）A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析（文）本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷.由 x3>8 得 x>2,由 |x|>2 得 x>2 或 x< 2.因為（2, + °0） （一oo, 2）U （2, 十 °°）,所以X3>8"是X|>2 '的充分而不必要條件.故選 A.(理)本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷.,1 1111 由 |x一|<2得一2<x 2<2，解得 0<

14、x<1.c 11,由x3<1得x<1.因為(0,1) (8, 1),所以“|x2|<2 是x3<1”的充分而不必要條件.方法總結(1)充分、必要條件的判斷.解決此類問題應分三步：確定條件是什么，結論是什么；嘗試從條件推結論，從結論推條件；確定條件和結論是什么關系.(2)探究某結論成立的充要、充分、必要條件.解答此類題目，可先從結論出發，求出使結論成立的必要條件，然后驗證得到的必要條件是否滿足充分性.考向3等價轉化法判斷， 例4 (1)給定兩個條件p, q,若？p是q的必要不充分條件，則 p是？4的(A )A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不

15、充分也不必要條件(2)"已知命題p： cos a*命題q：,則命題p是命題q的(A )23A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析(1)因為？p是q的必要不充分條件，則 q? ?p，但？產q,其逆否命題為 p? ?q，但 ?-p,所以p是？q的充分不必要條件.(2)? p ： cosa=J, ?q ： 顯然？q? ?p, ?g?q,，?q是？p的充分不必要條件，從而p是23q的充分不必要條件，故選 A.1另解：右cosaw 2，則m2kjt 3(kC Z),則a也必然不等于故p? q；右并3，但行 利，依然有cosa= 2,故q±p.

16、所以p是q的充分不必要條件.故選 A.名師點撥？有關充要條件的判斷常用的方法(1)根據定義判斷：弄清條件p和結論q分別是什么；嘗試 p? q, q? p.若p? q,則p是q的充分條件；若q? p,則p是q的必要條件；若p? q, qp,則p是q的充分不必要條 件；若p-q, q? p,則p是q的必要不充分條件；若 p? q, q? p,則p是q的充要條件.(2)利用集合判斷記法A=x|p(x), B=x|q(x)關系A BB AA= BA B且 B A結論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既小充分也不必要條件(3)利用等價轉化法：對于帶有否定性詞語的命題，常

17、用此法，既要判斷p是q的什么條件，只需判斷？q是？p的什么條件.變式訓練1(1)(2018浙江，6)已知平面 &直線m, n滿足m?“，n? %貝U " m / n”是“ m/ 1的(A )A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件(2)指出下列各組中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件” “必要不充分條件” “充要條件” “既不充分也不必要條件”中選出一種作答).在 ABC 中，p： A=B, q： sinA=sinB;已知 x, yCR, p： (x1)2+(y2)2 = 0, q： (x 1)(y2)=0;非空集合 A, B 中

18、，p： xC (AU B), q： xC B；對于實數 x, y, p： x + yw8, q： xw2 或 yw6.解析(1) ：m? a, n? a, m /n, . .m / a,故充分性成立.而由 m / a, n? a,彳# m/n 或 m 與 n異面，故必要性不成立.故選 A .(2)在4ABC中，A=B? sinA=sinB;反之，若sinA = sinB,因為A與B不可能互補(三角形三個內角之和為180 °,)所以只有A=B,故p是q的充要條件.條件p： x= 1且y= 2,條件q： x= 1或y=2,所以p? q但 滬p,故p是q的充分不必 要條件.顯然xC (AU

19、 B)不一定有xC B, 1 xC B 一定有xC (AUB),所以p是q的必要不充分條 件.易知？p： x+y=8, ?q： x=2且y=6,顯然？q? ?p,但？產？q,但？q是？p的充分不必要 條件，根據原命題和逆否命題的等價性知，p是q的充分不必要條件.考點3充要條件的應用多維探究角度1充要條件的探究， 例5 (2018山東煙臺診斷)若條件p： |x|W2,條件q： xWa,且p是q的充分不必要 條件，則實數a的取值范圍是(A )A. 2, +oo)B. ( oo, 2C一2, +00 )D(-00, 一 2解析p： |x|W2等價于一2WxW2.因為p是q的充分不必要條件，所以 2,

20、2? ( 8, a,即 a>2.角度2等價轉化思想的應用例 6 (2018 福建三明月考)設命題 p： |4x 3|W1, q： x2-(2a+ 1)x+a(a+1)< 0,若?p是？q的必要不充分條件，則實數 a的取值范圍是(A )11A. 0, 2B. (0, 2)11、C. (8, 0 U2", +00 )D. (8, 0)U(2, +8)1解析 由 |4x3|W1 得 2wxw 1,由 x2-(2a+ 1)x+ a(a+1)=(x a)x(a+1) w 0得 a<x<a+ 1,因為？p是？q的必要不充分條件，1awg,1所以p是q的充分不必要條件，有

21、2 得0waw,故選A .a+ 1 > 1名師點撥 ？充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上.解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解；(2)一定要注意端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象.(3)注意區別以下兩種不同說法： p是q的充分不必要條件，是指 p? q但 滬'p；p的充分不必要條件是 q,是指q? p但pkq.(4)注意下列條件的等價轉化： p是q的什么條件等價于？q是？p的什么條件，p是？q的什么條件等價于q是？p的什么條件.變式訓練2（1）（角度1）（2018山西45校聯考）下列選項中， «>的的一個充分不必要條件的是（D ）A . ->-B. ea>eba bC. a2>b2D. lga>lgb（2）（角度2）已知命題p：x+2>0,x-10< 0,命題q：1